Страница 104 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

434. Докажите, что значение выражения:

a) $\frac{1}{3\sqrt{3}-4} - \frac{1}{3\sqrt{3}+4}$ есть число рациональное;

б) $\frac{1}{5-2\sqrt{6}} - \frac{1}{5+2\sqrt{6}}$ есть число иррациональное.

а) Чтобы доказать, что значение выражения является рациональным числом, необходимо его упростить. Для этого приведем дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель равен произведению знаменателей исходных дробей: $(3\sqrt{3}-4)(3\sqrt{3}+4)$.

Это выражение соответствует формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = 3\sqrt{3}$ и $b = 4$.

Вычислим знаменатель:

$(3\sqrt{3}-4)(3\sqrt{3}+4) = (3\sqrt{3})^2 - 4^2 = 9 \cdot 3 - 16 = 27 - 16 = 11$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{1}{3\sqrt{3}-4} - \frac{1}{3\sqrt{3}+4} = \frac{1 \cdot (3\sqrt{3}+4)}{11} - \frac{1 \cdot (3\sqrt{3}-4)}{11} = \frac{(3\sqrt{3}+4) - (3\sqrt{3}-4)}{11}$

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$3\sqrt{3}+4 - 3\sqrt{3}+4 = 8$.

В результате получаем дробь $\frac{8}{11}$.

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. Число $\frac{8}{11}$ полностью соответствует этому определению. Следовательно, значение исходного выражения является рациональным числом.

Ответ: значение выражения равно $\frac{8}{11}$, что является рациональным числом.

б) Чтобы доказать, что значение выражения является иррациональным числом, упростим его, приведя дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель: $(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = 5$ и $b = 2\sqrt{6}$.

Вычислим знаменатель:

$(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6}) = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - (4 \cdot 6) = 25 - 24 = 1$.

Теперь выполним вычитание дробей:

$\frac{1}{5-2\sqrt{6}} - \frac{1}{5+2\sqrt{6}} = \frac{1 \cdot (5+2\sqrt{6})}{1} - \frac{1 \cdot (5-2\sqrt{6})}{1} = (5+2\sqrt{6}) - (5-2\sqrt{6})$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$5+2\sqrt{6} - 5+2\sqrt{6} = 4\sqrt{6}$.

В результате мы получили число $4\sqrt{6}$.

Иррациональное число — это действительное число, которое не является рациональным. Число $\sqrt{6}$ иррационально, так как не существует рационального числа, квадрат которого равен 6. Произведение ненулевого рационального числа (4) и иррационального числа ($\sqrt{6}$) всегда является иррациональным числом. Следовательно, значение исходного выражения, равное $4\sqrt{6}$, является иррациональным числом.

Ответ: значение выражения равно $4\sqrt{6}$, что является иррациональным числом.

436. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

a) $\frac{x}{x+\sqrt{y}};$

б) $\frac{b}{a-\sqrt{b}};$

в) $\frac{4}{\sqrt{10}-\sqrt{2}};$

г) $\frac{12}{\sqrt{3}+\sqrt{6}};$

д) $\frac{9}{3-2\sqrt{2}};$

е) $\frac{14}{1+5\sqrt{2}}.$

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{x}{x + \sqrt{y}} $, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным для $ x + \sqrt{y} $ является $ x - \sqrt{y} $. При умножении этих выражений используется формула разности квадратов: $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $.
$ \frac{x}{x + \sqrt{y}} = \frac{x(x - \sqrt{y})}{(x + \sqrt{y})(x - \sqrt{y})} = \frac{x^2 - x\sqrt{y}}{x^2 - (\sqrt{y})^2} = \frac{x^2 - x\sqrt{y}}{x^2 - y} $.
Ответ: $ \frac{x^2 - x\sqrt{y}}{x^2 - y} $.

б) Для дроби $ \frac{b}{a - \sqrt{b}} $ знаменатель содержит иррациональность. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ a + \sqrt{b} $.
$ \frac{b}{a - \sqrt{b}} = \frac{b(a + \sqrt{b})}{(a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b})} = \frac{ab + b\sqrt{b}}{a^2 - (\sqrt{b})^2} = \frac{ab + b\sqrt{b}}{a^2 - b} $.
Ответ: $ \frac{ab + b\sqrt{b}}{a^2 - b} $.

в) Исходная дробь $ \frac{4}{\sqrt{10} - \sqrt{2}} $. Сопряженным выражением к знаменателю $ \sqrt{10} - \sqrt{2} $ является $ \sqrt{10} + \sqrt{2} $. Умножим на него числитель и знаменатель.
$ \frac{4}{\sqrt{10} - \sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{(\sqrt{10} - \sqrt{2})(\sqrt{10} + \sqrt{2})} = \frac{4(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{4(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{10 - 2} = \frac{4(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{8} $.
Сократим полученную дробь на 4.
$ \frac{4(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{8} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2} $.

г) Исходная дробь $ \frac{12}{\sqrt{3} + \sqrt{6}} $. Сопряженным выражением к знаменателю $ \sqrt{3} + \sqrt{6} $ является $ \sqrt{3} - \sqrt{6} $. Умножим на него числитель и знаменатель.
$ \frac{12}{\sqrt{3} + \sqrt{6}} = \frac{12(\sqrt{3} - \sqrt{6})}{(\sqrt{3} + \sqrt{6})(\sqrt{3} - \sqrt{6})} = \frac{12(\sqrt{3} - \sqrt{6})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{12(\sqrt{3} - \sqrt{6})}{3 - 6} = \frac{12(\sqrt{3} - \sqrt{6})}{-3} $.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на -3.
$ \frac{12(\sqrt{3} - \sqrt{6})}{-3} = -4(\sqrt{3} - \sqrt{6}) = -4\sqrt{3} + 4\sqrt{6} = 4\sqrt{6} - 4\sqrt{3} $. Можно записать как $ 4(\sqrt{6} - \sqrt{3}) $.
Ответ: $ 4(\sqrt{6} - \sqrt{3}) $.

д) Исходная дробь $ \frac{9}{3 - 2\sqrt{2}} $. Сопряженным выражением к знаменателю $ 3 - 2\sqrt{2} $ является $ 3 + 2\sqrt{2} $. Умножим на него числитель и знаменатель.
$ \frac{9}{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{9(3 + 2\sqrt{2})}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} = \frac{9(3 + 2\sqrt{2})}{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{9(3 + 2\sqrt{2})}{9 - 4 \cdot 2} = \frac{9(3 + 2\sqrt{2})}{9 - 8} = \frac{9(3 + 2\sqrt{2})}{1} = 27 + 18\sqrt{2} $.
Ответ: $ 27 + 18\sqrt{2} $.

е) Исходная дробь $ \frac{14}{1 + 5\sqrt{2}} $. Сопряженным выражением к знаменателю $ 1 + 5\sqrt{2} $ является $ 1 - 5\sqrt{2} $. Умножим на него числитель и знаменатель.
$ \frac{14}{1 + 5\sqrt{2}} = \frac{14(1 - 5\sqrt{2})}{(1 + 5\sqrt{2})(1 - 5\sqrt{2})} = \frac{14(1 - 5\sqrt{2})}{1^2 - (5\sqrt{2})^2} = \frac{14(1 - 5\sqrt{2})}{1 - 25 \cdot 2} = \frac{14(1 - 5\sqrt{2})}{1 - 50} = \frac{14(1 - 5\sqrt{2})}{-49} $.
Сократим дробь на 7.
$ \frac{14(1 - 5\sqrt{2})}{-49} = \frac{2(1 - 5\sqrt{2})}{-7} = -\frac{2(1 - 5\sqrt{2})}{7} = \frac{-2 + 10\sqrt{2}}{7} = \frac{10\sqrt{2} - 2}{7} $.
Ответ: $ \frac{10\sqrt{2} - 2}{7} $.

438. Докажите, что числа $2 - \sqrt{3}$ и $2 + \sqrt{3}$ являются взаимно обратными, а числа $2\sqrt{6} - 5$ и $\frac{1}{2\sqrt{6} + 5}$ — противоположными.

Докажите, что числа $2-\sqrt{3}$ и $2+\sqrt{3}$ являются взаимно обратными

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Чтобы доказать утверждение, необходимо найти произведение данных чисел и проверить, равно ли оно единице.

Найдем произведение $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})$. Для этого воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

В данном случае $a=2$ и $b=\sqrt{3}$.

$(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.

Поскольку произведение данных чисел равно 1, они действительно являются взаимно обратными.

Ответ: Утверждение доказано, так как произведение чисел $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})$ равно 1.

а числа $2\sqrt{6}-5$ и $\frac{1}{2\sqrt{6}+5}$ — противоположными

Два числа называются противоположными, если их сумма равна 0. Чтобы доказать это утверждение, найдем сумму данных чисел.

Сначала преобразуем второе число $\frac{1}{2\sqrt{6}+5}$, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $2\sqrt{6}-5$.

$\frac{1}{2\sqrt{6}+5} = \frac{1 \cdot (2\sqrt{6}-5)}{(2\sqrt{6}+5)(2\sqrt{6}-5)}$

В знаменателе снова используем формулу разности квадратов:

$\frac{2\sqrt{6}-5}{(2\sqrt{6})^2 - 5^2} = \frac{2\sqrt{6}-5}{4 \cdot 6 - 25} = \frac{2\sqrt{6}-5}{24 - 25} = \frac{2\sqrt{6}-5}{-1} = -(2\sqrt{6}-5) = 5-2\sqrt{6}$.

Теперь, когда второе число упрощено, найдем сумму:

$(2\sqrt{6}-5) + (5-2\sqrt{6}) = 2\sqrt{6} - 5 + 5 - 2\sqrt{6} = 0$.

Сумма данных чисел равна 0, следовательно, они являются противоположными.

Ответ: Утверждение доказано, так как сумма чисел $(2\sqrt{6}-5) + (\frac{1}{2\sqrt{6}+5})$ равна 0.

440. Упростите выражение $\frac{9-x^2}{4x} \cdot \frac{8x}{x^2+6x+9} - 2$ и найдите его значение при $x = -2,5$.

Упрощение выражения

Исходное выражение: $ \frac{9-x^2}{4x} \cdot \frac{8x}{x^2+6x+9} - 2 $

Для упрощения выражения сначала разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби. Числитель $9-x^2$ является разностью квадратов: $9-x^2 = 3^2 - x^2 = (3-x)(3+x)$

Знаменатель $x^2+6x+9$ является полным квадратом суммы: $x^2+6x+9 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2$

Подставим разложенные многочлены в исходное выражение:

$ \frac{(3-x)(3+x)}{4x} \cdot \frac{8x}{(x+3)^2} - 2 $

Теперь выполним умножение дробей, сократив общие множители. Область допустимых значений переменной $x$ определяется условиями $4x \neq 0$ и $x^2+6x+9 \neq 0$, что равносильно $x \neq 0$ и $x \neq -3$.

$ \frac{(3-x)(x+3)}{4x} \cdot \frac{8x}{(x+3)(x+3)} - 2 = \frac{3-x}{\sout{4x}} \cdot \frac{2 \cdot \sout{4x}}{x+3} - 2 = \frac{2(3-x)}{x+3} - 2 $

Приведем полученное выражение к общему знаменателю $(x+3)$:

$ \frac{2(3-x)}{x+3} - \frac{2(x+3)}{x+3} = \frac{2(3-x) - 2(x+3)}{x+3} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{6 - 2x - 2x - 6}{x+3} = \frac{-4x}{x+3} $

Ответ: $ -\frac{4x}{x+3} $

Нахождение значения выражения

Теперь найдем значение упрощенного выражения при $x = -2,5$. Это значение входит в область допустимых значений.

Подставим $x = -2,5$ в выражение $ -\frac{4x}{x+3} $:

$ -\frac{4 \cdot (-2,5)}{-2,5 + 3} = -\frac{-10}{0,5} = \frac{10}{0,5} = 20 $

Ответ: 20

435. Найдите с помощью калькулятора приближённое значение выражения с точностью до 0,01:

а) $\frac{1}{\sqrt{5}-2}$;

б) $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} $;

в) $\frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}$;

г) $\frac{5+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2}$.

а)

Чтобы найти приближенное значение выражения $\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ с точностью до 0,01, рекомендуется сначала избавиться от иррациональности в знаменателе. Это упрощает вычисления и уменьшает погрешность. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(\sqrt{5}+2)$.

$\frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{1 \cdot (\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \frac{\sqrt{5}+2}{1} = \sqrt{5}+2$.

Теперь воспользуемся калькулятором для нахождения значения $\sqrt{5}$. Чтобы обеспечить точность до 0,01 в итоговом ответе, возьмем значение корня с большим количеством знаков после запятой, например, $\sqrt{5} \approx 2,23607$.

Подставим это значение в упрощенное выражение:

$\sqrt{5}+2 \approx 2,23607 + 2 = 4,23607$.

Округляя результат до сотых (с точностью до 0,01), получаем $4,24$, так как первая отбрасываемая цифра (6) больше или равна 5.

Ответ: $4,24$.

б)

Найдем приближенное значение выражения $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$. Сначала избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{5}+\sqrt{3})$.

$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2} = \sqrt{5}+\sqrt{3}$.

С помощью калькулятора находим значения корней:

$\sqrt{5} \approx 2,23607$

$\sqrt{3} \approx 1,73205$

Вычисляем сумму:

$\sqrt{5}+\sqrt{3} \approx 2,23607 + 1,73205 = 3,96812$.

Округляем результат до сотых. Так как первая отбрасываемая цифра (8) больше 5, увеличиваем предыдущую цифру на единицу.

Ответ: $3,97$.

в)

Найдем приближенное значение выражения $\frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{10}-\sqrt{7})$.

$\frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}} = \frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10}+\sqrt{7})(\sqrt{10}-\sqrt{7})} = \frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{10-7} = \frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{3} = \sqrt{10}-\sqrt{7}$.

С помощью калькулятора находим значения корней:

$\sqrt{10} \approx 3,16228$

$\sqrt{7} \approx 2,64575$

Вычисляем разность:

$\sqrt{10}-\sqrt{7} \approx 3,16228 - 2,64575 = 0,51653$.

Округляем результат до сотых. Так как первая отбрасываемая цифра (6) больше 5, увеличиваем предыдущую цифру на единицу.

Ответ: $0,52$.

г)

Найдем приближенное значение выражения $\frac{5+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2}$. Перепишем знаменатель в виде $2+\sqrt{3}$ для удобства. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2-\sqrt{3})$.

$\frac{5+3\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{(5+3\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{5 \cdot 2 - 5\sqrt{3} + 3\sqrt{3} \cdot 2 - 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{10 - 5\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 3 \cdot 3}{4-3} = \frac{10 + \sqrt{3} - 9}{1} = 1+\sqrt{3}$.

С помощью калькулятора находим значение $\sqrt{3}$:

$\sqrt{3} \approx 1,73205$

Вычисляем сумму:

$1+\sqrt{3} \approx 1 + 1,73205 = 2,73205$.

Округляем результат до сотых. Так как первая отбрасываемая цифра (2) меньше 5, оставляем предыдущую цифру без изменений.

Ответ: $2,73$.

437. Докажите, что:

а) $\sqrt{\frac{3}{5}} = 0,2\sqrt{15};$

б) $\sqrt{\frac{2}{a}} = \frac{1}{a}\sqrt{2a}.$

а)

Для доказательства тождества $\sqrt{\frac{3}{5}} = 0.2\sqrt{15}$ преобразуем левую и правую части равенства и покажем, что они равны одному и тому же выражению.

1. Преобразуем левую часть. Используя свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$ и избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем:

$\sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

2. Преобразуем правую часть. Представим десятичную дробь $0.2$ в виде обыкновенной дроби:

$0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Тогда правая часть равна:

$0.2\sqrt{15} = \frac{1}{5}\sqrt{15} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

Поскольку после преобразований левая и правая части равенства оказались равны одному и тому же выражению $\frac{\sqrt{15}}{5}$, исходное тождество является верным.

Ответ: Доказано.

б)

Для доказательства тождества $\sqrt{\frac{2}{a}} = \frac{1}{a}\sqrt{2a}$ преобразуем его левую часть. Заметим, что область допустимых значений переменной $a$ для данного равенства определяется условием $a > 0$, так как подкоренное выражение должно быть положительным, а знаменатель не должен равняться нулю.

1. Воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$:

$\sqrt{\frac{2}{a}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a}}$

2. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{a}$:

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{2a}}{a}$

3. Полученное выражение $\frac{\sqrt{2a}}{a}$ можно записать в виде $\frac{1}{a}\sqrt{2a}$, что в точности совпадает с правой частью исходного равенства.

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Доказано.

439. Среди чисел $15\sqrt{3}-4\sqrt{2}$, $6-\sqrt{12}$, $\sqrt{80}-5\sqrt{3}$, $\sqrt{75}-4\sqrt{5}$,

$\frac{1}{2\sqrt{3}-6}$, $\frac{1}{\sqrt{675}-\sqrt{32}}$ есть пара взаимно обратных чисел и пара противоположных чисел. Найдите эти пары.

Для того чтобы найти пары взаимно обратных и противоположных чисел среди предложенных, необходимо сначала упростить каждое выражение, приведя его к наиболее простому виду.

Упростим данные числа:

1. $15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}$ — данное выражение уже упрощено.
2. $6 - \sqrt{12} = 6 - \sqrt{4 \cdot 3} = 6 - 2\sqrt{3}$.
3. $\sqrt{80} - 5\sqrt{3} = \sqrt{16 \cdot 5} - 5\sqrt{3} = 4\sqrt{5} - 5\sqrt{3}$.
4. $\sqrt{75} - 4\sqrt{5} = \sqrt{25 \cdot 3} - 4\sqrt{5} = 5\sqrt{3} - 4\sqrt{5}$.
5. $\frac{1}{2\sqrt{3} - 6}$ — оставим это выражение без изменений для сравнения.
6. $\frac{1}{\sqrt{675} - \sqrt{32}} = \frac{1}{\sqrt{225 \cdot 3} - \sqrt{16 \cdot 2}} = \frac{1}{15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}}$.

Теперь, имея упрощенные формы выражений, найдем искомые пары.

Пара взаимно обратных чисел

Взаимно обратные числа — это два числа, произведение которых равно 1. Если одно число равно $a$, то обратное ему равно $\frac{1}{a}$.

Сравнивая полученные выражения, мы видим, что число (1), $15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}$, является знаменателем в упрощенной форме числа (6). Следовательно, эти два числа являются взаимно обратными.

Проверим их произведение:

$(15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}) \cdot \left(\frac{1}{15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}}\right) = 1$.

Таким образом, первая искомая пара состоит из исходных чисел $15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}$ и $\frac{1}{\sqrt{675} - \sqrt{32}}$.

Ответ: пара взаимно обратных чисел — $15\sqrt{3} - 4\sqrt{2}$ и $\frac{1}{\sqrt{675} - \sqrt{32}}$.

Пара противоположных чисел

Противоположные числа — это два числа, сумма которых равна 0. Если одно число равно $a$, то противоположное ему равно $-a$.

Рассмотрим упрощенные выражения (3) и (4):

• Число (3): $4\sqrt{5} - 5\sqrt{3}$.
• Число (4): $5\sqrt{3} - 4\sqrt{5}$.

Можно заметить, что $5\sqrt{3} - 4\sqrt{5} = -(4\sqrt{5} - 5\sqrt{3})$.

Проверим их сумму:

$(4\sqrt{5} - 5\sqrt{3}) + (5\sqrt{3} - 4\sqrt{5}) = 4\sqrt{5} - 4\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 0$.

Сумма равна нулю, значит, эти числа являются противоположными. Они соответствуют исходным выражениям $\sqrt{80} - 5\sqrt{3}$ и $\sqrt{75} - 4\sqrt{5}$.

Ответ: пара противоположных чисел — $\sqrt{80} - 5\sqrt{3}$ и $\sqrt{75} - 4\sqrt{5}$.

441. Решите уравнение:

a) $ \frac{3x-1}{2} + \frac{2-x}{3} + 1 = 0; $

б) $ \frac{y-10}{6} - \frac{5-2y}{4} = 2,5. $

а) Дано уравнение:
$\frac{3x-1}{2} + \frac{2-x}{3} + 1 = 0$
Чтобы избавиться от знаменателей, умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное чисел 2 и 3, то есть на 6.
$6 \cdot \frac{3x-1}{2} + 6 \cdot \frac{2-x}{3} + 6 \cdot 1 = 6 \cdot 0$
Сократим дроби:
$3(3x-1) + 2(2-x) + 6 = 0$
Раскроем скобки:
$9x - 3 + 4 - 2x + 6 = 0$
Теперь приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены, содержащие $x$, и постоянные члены:
$(9x - 2x) + (-3 + 4 + 6) = 0$
$7x + 7 = 0$
Перенесем постоянный член в правую часть уравнения, изменив его знак:
$7x = -7$
Разделим обе части уравнения на 7, чтобы найти $x$:
$x = \frac{-7}{7}$
$x = -1$
Ответ: $x = -1$.

б) Дано уравнение:
$\frac{y-10}{6} - \frac{5-2y}{4} = 2,5$
Сначала представим десятичное число 2,5 в виде обыкновенной дроби: $2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$.
Уравнение примет вид:
$\frac{y-10}{6} - \frac{5-2y}{4} = \frac{5}{2}$
Чтобы избавиться от знаменателей, умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное чисел 6, 4 и 2, то есть на 12.
$12 \cdot \frac{y-10}{6} - 12 \cdot \frac{5-2y}{4} = 12 \cdot \frac{5}{2}$
Сократим дроби:
$2(y-10) - 3(5-2y) = 6 \cdot 5$
Раскроем скобки. Важно учесть знак "минус" перед второй дробью, который изменит знаки в скобках:
$2y - 20 - 15 + 6y = 30$
Теперь приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены, содержащие $y$, и постоянные члены:
$(2y + 6y) + (-20 - 15) = 30$
$8y - 35 = 30$
Перенесем постоянный член в правую часть уравнения, изменив его знак:
$8y = 30 + 35$
$8y = 65$
Разделим обе части уравнения на 8, чтобы найти $y$:
$y = \frac{65}{8}$
Этот ответ можно также представить в виде десятичной дроби: $y = 8,125$.
Ответ: $y = \frac{65}{8}$ (или 8,125).