Номер 435, страница 104 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 435, страница 104.

435. Найдите с помощью калькулятора приближённое значение выражения с точностью до 0,01:

а) $\frac{1}{\sqrt{5}-2}$;

б) $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} $;

в) $\frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}$;

г) $\frac{5+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2}$.

а)

Чтобы найти приближенное значение выражения $\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ с точностью до 0,01, рекомендуется сначала избавиться от иррациональности в знаменателе. Это упрощает вычисления и уменьшает погрешность. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(\sqrt{5}+2)$.

$\frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{1 \cdot (\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \frac{\sqrt{5}+2}{1} = \sqrt{5}+2$.

Теперь воспользуемся калькулятором для нахождения значения $\sqrt{5}$. Чтобы обеспечить точность до 0,01 в итоговом ответе, возьмем значение корня с большим количеством знаков после запятой, например, $\sqrt{5} \approx 2,23607$.

Подставим это значение в упрощенное выражение:

$\sqrt{5}+2 \approx 2,23607 + 2 = 4,23607$.

Округляя результат до сотых (с точностью до 0,01), получаем $4,24$, так как первая отбрасываемая цифра (6) больше или равна 5.

Ответ: $4,24$.

б)

Найдем приближенное значение выражения $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$. Сначала избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{5}+\sqrt{3})$.

$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2} = \sqrt{5}+\sqrt{3}$.

С помощью калькулятора находим значения корней:

$\sqrt{5} \approx 2,23607$

$\sqrt{3} \approx 1,73205$

Вычисляем сумму:

$\sqrt{5}+\sqrt{3} \approx 2,23607 + 1,73205 = 3,96812$.

Округляем результат до сотых. Так как первая отбрасываемая цифра (8) больше 5, увеличиваем предыдущую цифру на единицу.

Ответ: $3,97$.

в)

Найдем приближенное значение выражения $\frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{10}-\sqrt{7})$.

$\frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}} = \frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10}+\sqrt{7})(\sqrt{10}-\sqrt{7})} = \frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{10-7} = \frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{3} = \sqrt{10}-\sqrt{7}$.

С помощью калькулятора находим значения корней:

$\sqrt{10} \approx 3,16228$

$\sqrt{7} \approx 2,64575$

Вычисляем разность:

$\sqrt{10}-\sqrt{7} \approx 3,16228 - 2,64575 = 0,51653$.

Округляем результат до сотых. Так как первая отбрасываемая цифра (6) больше 5, увеличиваем предыдущую цифру на единицу.

Ответ: $0,52$.

г)

Найдем приближенное значение выражения $\frac{5+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2}$. Перепишем знаменатель в виде $2+\sqrt{3}$ для удобства. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2-\sqrt{3})$.

$\frac{5+3\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{(5+3\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{5 \cdot 2 - 5\sqrt{3} + 3\sqrt{3} \cdot 2 - 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{10 - 5\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 3 \cdot 3}{4-3} = \frac{10 + \sqrt{3} - 9}{1} = 1+\sqrt{3}$.

С помощью калькулятора находим значение $\sqrt{3}$:

$\sqrt{3} \approx 1,73205$

Вычисляем сумму:

$1+\sqrt{3} \approx 1 + 1,73205 = 2,73205$.

Округляем результат до сотых. Так как первая отбрасываемая цифра (2) меньше 5, оставляем предыдущую цифру без изменений.

Ответ: $2,73$.