Номер 432, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 432, страница 103.

432. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

a) $\frac{m}{\sqrt{x}};$

б) $\frac{1}{\sqrt{2}};$

В) $\frac{3}{5\sqrt{c}};$

Г) $\frac{a}{2\sqrt{3}};$

Д) $\frac{3}{2\sqrt{3}};$

е) $\frac{5}{4\sqrt{15}}.$

Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, содержащей квадратный корень, необходимо умножить и числитель, и знаменатель этой дроби на выражение, содержащее этот корень. Это действие основано на свойстве арифметического квадратного корня: $(\sqrt{a})^2 = a$ для $a \ge 0$. Умножение на дробь, у которой числитель и знаменатель равны, не изменяет значения исходной дроби, так как это эквивалентно умножению на единицу.

а)

Дана дробь $\frac{m}{\sqrt{x}}$.

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{x}$. При этом, по определению квадратного корня, должно выполняться условие $x > 0$.

$\frac{m}{\sqrt{x}} = \frac{m \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \frac{m\sqrt{x}}{x}$

Ответ: $\frac{m\sqrt{x}}{x}$

б)

Дана дробь $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$.

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

в)

Дана дробь $\frac{3}{5\sqrt{c}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{c}$. Подразумевается, что $c > 0$.

$\frac{3}{5\sqrt{c}} = \frac{3 \cdot \sqrt{c}}{5\sqrt{c} \cdot \sqrt{c}} = \frac{3\sqrt{c}}{5c}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{c}}{5c}$

г)

Дана дробь $\frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$.

$\frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{3}}{6}$

д)

Дана дробь $\frac{3}{2\sqrt{3}}$.

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$.

$\frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{3\sqrt{3}}{6}$

Сократим полученную дробь на 3:

$\frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

е)

Дана дробь $\frac{5}{4\sqrt{15}}$.

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{15}$.

$\frac{5}{4\sqrt{15}} = \frac{5 \cdot \sqrt{15}}{4\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = \frac{5\sqrt{15}}{4 \cdot 15} = \frac{5\sqrt{15}}{60}$

Сократим полученную дробь на 5:

$\frac{5\sqrt{15}}{60} = \frac{\sqrt{15}}{12}$

Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{12}$