Номер 428, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 428, страница 103.

428. Разложите на множители выражение:

а) $3 + \sqrt{3}$;

б) $10 - 2\sqrt{10}$;

в) $\sqrt{x} + x$;

г) $a - 5\sqrt{a}$;

д) $\sqrt{a} - \sqrt{2a}$;

е) $\sqrt{3m} + \sqrt{5m}$;

ж) $\sqrt{14} - \sqrt{7}$;

з) $\sqrt{33} + \sqrt{22}$.

а) Чтобы разложить на множители выражение $3 + \sqrt{3}$, представим число $3$ как $(\sqrt{3})^2$.
Выражение примет вид: $(\sqrt{3})^2 + \sqrt{3}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{3}$ за скобки:
$3 + \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 + \sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)$.
Ответ: $\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)$.

б) В выражении $10 - 2\sqrt{10}$ представим число $10$ как $(\sqrt{10})^2$.
Выражение примет вид: $(\sqrt{10})^2 - 2\sqrt{10}$.
Общим множителем является $\sqrt{10}$. Вынесем его за скобки:
$10 - 2\sqrt{10} = \sqrt{10} \cdot \sqrt{10} - 2\sqrt{10} = \sqrt{10}(\sqrt{10} - 2)$.
Ответ: $\sqrt{10}(\sqrt{10} - 2)$.

в) Для разложения на множители выражения $\sqrt{x} + x$ (при $x \ge 0$) представим $x$ в виде $(\sqrt{x})^2$.
Выражение примет вид: $\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{x}$ за скобки:
$\sqrt{x} + x = \sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 = \sqrt{x}(1 + \sqrt{x})$.
Ответ: $\sqrt{x}(1 + \sqrt{x})$.

г) В выражении $a - 5\sqrt{a}$ (при $a \ge 0$) представим $a$ как $(\sqrt{a})^2$.
Выражение примет вид: $(\sqrt{a})^2 - 5\sqrt{a}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{a}$ за скобки:
$a - 5\sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 - 5\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a} - 5)$.
Ответ: $\sqrt{a}(\sqrt{a} - 5)$.

д) Чтобы разложить на множители выражение $\sqrt{a} - \sqrt{2a}$ (при $a \ge 0$), воспользуемся свойством $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$.
Представим $\sqrt{2a}$ как $\sqrt{2}\sqrt{a}$. Выражение примет вид: $\sqrt{a} - \sqrt{2}\sqrt{a}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{a}$ за скобки:
$\sqrt{a} - \sqrt{2a} = \sqrt{a} - \sqrt{2}\sqrt{a} = \sqrt{a}(1 - \sqrt{2})$.
Ответ: $\sqrt{a}(1 - \sqrt{2})$.

е) В выражении $\sqrt{3m} + \sqrt{5m}$ (при $m \ge 0$) используем свойство корня $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$.
Выражение можно записать как $\sqrt{3}\sqrt{m} + \sqrt{5}\sqrt{m}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{m}$ за скобки:
$\sqrt{3m} + \sqrt{5m} = \sqrt{3}\sqrt{m} + \sqrt{5}\sqrt{m} = \sqrt{m}(\sqrt{3} + \sqrt{5})$.
Ответ: $\sqrt{m}(\sqrt{3} + \sqrt{5})$.

ж) Для разложения на множители выражения $\sqrt{14} - \sqrt{7}$ представим $\sqrt{14}$ как $\sqrt{2 \cdot 7}$.
Используя свойство корня $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$, получим $\sqrt{2}\sqrt{7}$.
Выражение примет вид: $\sqrt{2}\sqrt{7} - \sqrt{7}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{7}$ за скобки: $\sqrt{7}(\sqrt{2} - 1)$.
Ответ: $\sqrt{7}(\sqrt{2} - 1)$.

з) В выражении $\sqrt{33} + \sqrt{22}$ представим подкоренные выражения в виде произведения: $\sqrt{3 \cdot 11} + \sqrt{2 \cdot 11}$.
Используя свойство корня, получим $\sqrt{3}\sqrt{11} + \sqrt{2}\sqrt{11}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{11}$ за скобки:
$\sqrt{33} + \sqrt{22} = \sqrt{11}(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.
Ответ: $\sqrt{11}(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.