Номер 427, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 427, страница 102.

427. Разложите на множители, используя формулу разности квадратов:

а) $x^2 - 7;$

б) $5 - c^2;$

в) $4a^2 - 3;$

г) $11 - 16b^2;$

д) $y - 3,$ где $y \ge 0;$

е) $x - y,$ где $x > 0$ и $y > 0.$

Для разложения на множители будем использовать формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Для этого представим каждый член выражения в виде квадрата некоторого числа или выражения.

а) В выражении $x^2 - 7$ первый член $x^2$ уже является квадратом $x$. Второй член $7$ можно представить как квадрат его корня, то есть $7 = (\sqrt{7})^2$.

Применяем формулу разности квадратов:

$x^2 - 7 = x^2 - (\sqrt{7})^2 = (x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7})$.

Ответ: $(x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7})$

б) В выражении $5 - c^2$ представим $5$ как $(\sqrt{5})^2$, а $c^2$ является квадратом $c$.

Применяем формулу:

$5 - c^2 = (\sqrt{5})^2 - c^2 = (\sqrt{5} - c)(\sqrt{5} + c)$.

Ответ: $(\sqrt{5} - c)(\sqrt{5} + c)$

в) В выражении $4a^2 - 3$ представим $4a^2$ как $(2a)^2$ и $3$ как $(\sqrt{3})^2$.

Применяем формулу:

$4a^2 - 3 = (2a)^2 - (\sqrt{3})^2 = (2a - \sqrt{3})(2a + \sqrt{3})$.

Ответ: $(2a - \sqrt{3})(2a + \sqrt{3})$

г) В выражении $11 - 16b^2$ представим $11$ как $(\sqrt{11})^2$ и $16b^2$ как $(4b)^2$.

Применяем формулу:

$11 - 16b^2 = (\sqrt{11})^2 - (4b)^2 = (\sqrt{11} - 4b)(\sqrt{11} + 4b)$.

Ответ: $(\sqrt{11} - 4b)(\sqrt{11} + 4b)$

д) В выражении $y - 3$ дано условие $y \ge 0$, что позволяет нам представить $y$ как $(\sqrt{y})^2$. Число $3$ представим как $(\sqrt{3})^2$.

Применяем формулу:

$y - 3 = (\sqrt{y})^2 - (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{y} - \sqrt{3})(\sqrt{y} + \sqrt{3})$.

Ответ: $(\sqrt{y} - \sqrt{3})(\sqrt{y} + \sqrt{3})$

е) В выражении $x - y$ даны условия $x > 0$ и $y > 0$. Это позволяет представить $x$ как $(\sqrt{x})^2$ и $y$ как $(\sqrt{y})^2$.

Применяем формулу разности квадратов:

$x - y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$.

Ответ: $(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$