Страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

422. Упростите выражение:

а) $\sqrt{8p} - \sqrt{2p} + \sqrt{18p}$;

б) $\sqrt{160c} + 2\sqrt{40c} - 3\sqrt{90c}$;

в) $5\sqrt{27m} - 4\sqrt{48m} - 2\sqrt{12m}$;

г) $\sqrt{54} - \sqrt{24} + \sqrt{150}$;

д) $3\sqrt{2} + \sqrt{32} - \sqrt{200}$;

е) $2\sqrt{72} - \sqrt{50} - 2\sqrt{8}$.

а) Чтобы упростить выражение $ \sqrt{8p} - \sqrt{2p} + \sqrt{18p} $, вынесем множители из-под знака корня в каждом слагаемом. Для этого представим подкоренные выражения в виде произведения, где один из множителей является полным квадратом.

$ \sqrt{8p} = \sqrt{4 \cdot 2p} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2p} = 2\sqrt{2p} $

$ \sqrt{18p} = \sqrt{9 \cdot 2p} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2p} = 3\sqrt{2p} $

Теперь подставим упрощенные слагаемые обратно в выражение:

$ 2\sqrt{2p} - \sqrt{2p} + 3\sqrt{2p} $

Приведем подобные слагаемые, у которых одинаковая подкоренная часть $ \sqrt{2p} $:

$ (2 - 1 + 3)\sqrt{2p} = 4\sqrt{2p} $

Ответ: $ 4\sqrt{2p} $

б) Упростим выражение $ \sqrt{160c} + 2\sqrt{40c} - 3\sqrt{90c} $. Аналогично вынесем множители из-под знака корня.

$ \sqrt{160c} = \sqrt{16 \cdot 10c} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{10c} = 4\sqrt{10c} $

$ 2\sqrt{40c} = 2\sqrt{4 \cdot 10c} = 2 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{10c} = 2 \cdot 2\sqrt{10c} = 4\sqrt{10c} $

$ 3\sqrt{90c} = 3\sqrt{9 \cdot 10c} = 3 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{10c} = 3 \cdot 3\sqrt{10c} = 9\sqrt{10c} $

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$ 4\sqrt{10c} + 4\sqrt{10c} - 9\sqrt{10c} $

Приведем подобные слагаемые с общей частью $ \sqrt{10c} $:

$ (4 + 4 - 9)\sqrt{10c} = -1\sqrt{10c} = -\sqrt{10c} $

Ответ: $ -\sqrt{10c} $

в) Упростим выражение $ 5\sqrt{27m} - 4\sqrt{48m} - 2\sqrt{12m} $. Вынесем множители из-под корней.

$ 5\sqrt{27m} = 5\sqrt{9 \cdot 3m} = 5 \cdot 3\sqrt{3m} = 15\sqrt{3m} $

$ 4\sqrt{48m} = 4\sqrt{16 \cdot 3m} = 4 \cdot 4\sqrt{3m} = 16\sqrt{3m} $

$ 2\sqrt{12m} = 2\sqrt{4 \cdot 3m} = 2 \cdot 2\sqrt{3m} = 4\sqrt{3m} $

Подставим упрощенные части в выражение:

$ 15\sqrt{3m} - 16\sqrt{3m} - 4\sqrt{3m} $

Сгруппируем подобные слагаемые с $ \sqrt{3m} $:

$ (15 - 16 - 4)\sqrt{3m} = -5\sqrt{3m} $

Ответ: $ -5\sqrt{3m} $

г) Упростим выражение $ \sqrt{54} - \sqrt{24} + \sqrt{150} $.

$ \sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6} $

$ \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} $

$ \sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6} $

Подставим и сгруппируем:

$ 3\sqrt{6} - 2\sqrt{6} + 5\sqrt{6} = (3 - 2 + 5)\sqrt{6} = 6\sqrt{6} $

Ответ: $ 6\sqrt{6} $

д) Упростим выражение $ 3\sqrt{2} + \sqrt{32} - \sqrt{200} $.

$ \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2} $

$ \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2} $

Подставим и сгруппируем:

$ 3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 10\sqrt{2} = (3 + 4 - 10)\sqrt{2} = -3\sqrt{2} $

Ответ: $ -3\sqrt{2} $

е) Упростим выражение $ 2\sqrt{72} - \sqrt{50} - 2\sqrt{8} $.

$ 2\sqrt{72} = 2\sqrt{36 \cdot 2} = 2 \cdot 6\sqrt{2} = 12\sqrt{2} $

$ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} $

$ 2\sqrt{8} = 2\sqrt{4 \cdot 2} = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} $

Подставим и сгруппируем:

$ 12\sqrt{2} - 5\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = (12 - 5 - 4)\sqrt{2} = 3\sqrt{2} $

Ответ: $ 3\sqrt{2} $

424. Выполните действия:

a) $ (2\sqrt{5}+1)(2\sqrt{5}-1); $

б) $ (5\sqrt{7}-\sqrt{13})(\sqrt{13}+5\sqrt{7}); $

в) $ (3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(2\sqrt{3}+3\sqrt{2}); $

г) $ (1+3\sqrt{5})^2; $

д) $ (2\sqrt{3}-7)^2; $

е) $ (2\sqrt{10}-\sqrt{2})^2. $

а)

Для решения этого примера воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a = 2\sqrt{5}$ и $b = 1$.

Подставим значения в формулу:

$(2\sqrt{5} + 1)(2\sqrt{5} - 1) = (2\sqrt{5})^2 - 1^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 - 1 = 4 \cdot 5 - 1 = 20 - 1 = 19$.

Ответ: 19

б)

Для удобства поменяем местами слагаемые во второй скобке: $(5\sqrt{7} - \sqrt{13})(\sqrt{13} + 5\sqrt{7}) = (5\sqrt{7} - \sqrt{13})(5\sqrt{7} + \sqrt{13})$.

Теперь мы можем применить формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = 5\sqrt{7}$ и $b = \sqrt{13}$.

$(5\sqrt{7})^2 - (\sqrt{13})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{7})^2 - 13 = 25 \cdot 7 - 13 = 175 - 13 = 162$.

Ответ: 162

в)

Поменяем местами слагаемые во второй скобке: $(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}) = (3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})$.

Снова применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = 3\sqrt{2}$ и $b = 2\sqrt{3}$.

$(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 - 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 2 - 4 \cdot 3 = 18 - 12 = 6$.

Ответ: 6

г)

Здесь мы используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае $a = 1$ и $b = 3\sqrt{5}$.

$(1 + 3\sqrt{5})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 3\sqrt{5} + (3\sqrt{5})^2 = 1 + 6\sqrt{5} + 3^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 1 + 6\sqrt{5} + 9 \cdot 5 = 1 + 6\sqrt{5} + 45 = 46 + 6\sqrt{5}$.

Ответ: $46 + 6\sqrt{5}$

д)

Для этого примера нам понадобится формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = 2\sqrt{3}$ и $b = 7$.

$(2\sqrt{3} - 7)^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 7 + 7^2 = 4 \cdot 3 - 28\sqrt{3} + 49 = 12 - 28\sqrt{3} + 49 = 61 - 28\sqrt{3}$.

Ответ: $61 - 28\sqrt{3}$

е)

Снова используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 2\sqrt{10}$ и $b = \sqrt{2}$.

$(2\sqrt{10} - \sqrt{2})^2 = (2\sqrt{10})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{10} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 10 - 4\sqrt{10 \cdot 2} + 2 = 40 - 4\sqrt{20} + 2$.

Упростим корень: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

Продолжим вычисление: $40 - 4(2\sqrt{5}) + 2 = 40 - 8\sqrt{5} + 2 = 42 - 8\sqrt{5}$.

Ответ: $42 - 8\sqrt{5}$

426. Преобразуйте выражение:

a) $(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1);$

б) $(\sqrt{x} - \sqrt{a})(\sqrt{x} + \sqrt{a});$

в) $(\sqrt{m} + \sqrt{2})^2;$

г) $(\sqrt{3} - \sqrt{x})^2;$

д) $(5\sqrt{7} - 13)(5\sqrt{7} + 13);$

е) $(2\sqrt{2} + 3\sqrt{3})(2\sqrt{2} - 3\sqrt{3});$

ж) $(6 - \sqrt{2})^2 + 3\sqrt{32};$

з) $(\sqrt{2} + \sqrt{18})^2 - 30.$

а) Для преобразования выражения $(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)$ используется формула разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В данном случае $a = \sqrt{x}$ и $b = 1$.
$(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1) = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = x - 1$.
Ответ: $x - 1$.

б) Выражение $(\sqrt{x} - \sqrt{a})(\sqrt{x} + \sqrt{a})$ также преобразуется с помощью формулы разности квадратов. Здесь $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{a}$.
$(\sqrt{x} - \sqrt{a})(\sqrt{x} + \sqrt{a}) = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{a})^2 = x - a$.
Ответ: $x - a$.

в) Для преобразования выражения $(\sqrt{m} + \sqrt{2})^2$ применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a = \sqrt{m}$ и $b = \sqrt{2}$.
$(\sqrt{m} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{m})^2 + 2 \cdot \sqrt{m} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = m + 2\sqrt{2m} + 2$.
Ответ: $m + 2\sqrt{2m} + 2$.

г) Для выражения $(\sqrt{3} - \sqrt{x})^2$ применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a = \sqrt{3}$ и $b = \sqrt{x}$.
$(\sqrt{3} - \sqrt{x})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 = 3 - 2\sqrt{3x} + x$.
Ответ: $3 - 2\sqrt{3x} + x$.

д) Выражение $(5\sqrt{7} - 13)(5\sqrt{7} + 13)$ является разностью квадратов. Здесь $a = 5\sqrt{7}$ и $b = 13$.
$(5\sqrt{7} - 13)(5\sqrt{7} + 13) = (5\sqrt{7})^2 - 13^2 = 25 \cdot 7 - 169 = 175 - 169 = 6$.
Ответ: $6$.

е) Выражение $(2\sqrt{2} + 3\sqrt{3})(2\sqrt{2} - 3\sqrt{3})$ также является разностью квадратов. Здесь $a = 2\sqrt{2}$ и $b = 3\sqrt{3}$.
$(2\sqrt{2} + 3\sqrt{3})(2\sqrt{2} - 3\sqrt{3}) = (2\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 2 - 9 \cdot 3 = 8 - 27 = -19$.
Ответ: $-19$.

ж) Преобразуем выражение $(6 - \sqrt{2})^2 + 3\sqrt{32}$ по частям.
Сначала раскроем скобки по формуле квадрата разности: $(6 - \sqrt{2})^2 = 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 36 - 12\sqrt{2} + 2 = 38 - 12\sqrt{2}$.
Теперь упростим второе слагаемое: $3\sqrt{32} = 3\sqrt{16 \cdot 2} = 3 \cdot 4\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$.
Подставим полученные значения в исходное выражение: $(38 - 12\sqrt{2}) + 12\sqrt{2} = 38$.
Ответ: $38$.

з) Преобразуем выражение $(\sqrt{2} + \sqrt{18})^2 - 30$.
Сначала упростим выражение в скобках. Так как $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$, то $\sqrt{2} + \sqrt{18} = \sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
Теперь подставим это в исходное выражение: $(4\sqrt{2})^2 - 30 = 16 \cdot 2 - 30 = 32 - 30 = 2$.
Ответ: $2$.

423. Выполните действия, используя формулы сокращённого умножения:

а) $ (x + \sqrt{y})(x - \sqrt{y})$;

б) $ (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$;

в) $ (\sqrt{11} - 3)(\sqrt{11} + 3)$;

г) $ (\sqrt{10} + \sqrt{7})(\sqrt{7} - \sqrt{10})$;

д) $ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$;

е) $ (\sqrt{m} - \sqrt{n})^2$;

ж) $ (\sqrt{2} + 3)^2$;

з) $ (\sqrt{5} - \sqrt{2})^2$.

а) Для выражения $(x+\sqrt{y})(x-\sqrt{y})$ применяется формула разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, где $a=x$ и $b=\sqrt{y}$.

$(x+\sqrt{y})(x-\sqrt{y}) = x^2 - (\sqrt{y})^2 = x^2 - y$.

Ответ: $x^2 - y$.

б) Для выражения $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ применяется формула разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=\sqrt{a}$ и $b=\sqrt{b}$.

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b$.

Ответ: $a-b$.

в) Для выражения $(\sqrt{11}-3)(\sqrt{11}+3)$ применяется формула разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=\sqrt{11}$ и $b=3$.

$(\sqrt{11}-3)(\sqrt{11}+3) = (\sqrt{11})^2 - 3^2 = 11 - 9 = 2$.

Ответ: $2$.

г) В выражении $(\sqrt{10}+\sqrt{7})(\sqrt{7}-\sqrt{10})$ можно поменять слагаемые в первой скобке местами: $(\sqrt{7}+\sqrt{10})(\sqrt{7}-\sqrt{10})$. Теперь можно применить формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, где $a=\sqrt{7}$ и $b=\sqrt{10}$.

$(\sqrt{7}+\sqrt{10})(\sqrt{7}-\sqrt{10}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{10})^2 = 7 - 10 = -3$.

Ответ: $-3$.

д) Для выражения $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$ применяется формула квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, где $a=\sqrt{a}$ и $b=\sqrt{b}$.

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2\cdot\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b$.

Ответ: $a+2\sqrt{ab}+b$.

е) Для выражения $(\sqrt{m}-\sqrt{n})^2$ применяется формула квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$, где $a=\sqrt{m}$ и $b=\sqrt{n}$.

$(\sqrt{m}-\sqrt{n})^2 = (\sqrt{m})^2 - 2\cdot\sqrt{m}\cdot\sqrt{n} + (\sqrt{n})^2 = m - 2\sqrt{mn} + n$.

Ответ: $m-2\sqrt{mn}+n$.

ж) Для выражения $(\sqrt{2}+3)^2$ применяется формула квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, где $a=\sqrt{2}$ и $b=3$.

$(\sqrt{2}+3)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\cdot\sqrt{2}\cdot3 + 3^2 = 2 + 6\sqrt{2} + 9 = 11 + 6\sqrt{2}$.

Ответ: $11+6\sqrt{2}$.

з) Для выражения $(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2$ применяется формула квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$, где $a=\sqrt{5}$ и $b=\sqrt{2}$.

$(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{10} + 2 = 7 - 2\sqrt{10}$.

Ответ: $7-2\sqrt{10}$.

425. Выполните действия:

a) $(\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}})^2;$

б) $(\sqrt{5+2\sqrt{6}}-\sqrt{5-2\sqrt{6}})^2.$

а) Чтобы возвести выражение $(\sqrt{4+\sqrt{7}} + \sqrt{4-\sqrt{7}})^2$ в квадрат, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В нашем случае $a = \sqrt{4+\sqrt{7}}$ и $b = \sqrt{4-\sqrt{7}}$.
Найдем квадрат первого слагаемого:
$a^2 = (\sqrt{4+\sqrt{7}})^2 = 4+\sqrt{7}$.
Найдем квадрат второго слагаемого:
$b^2 = (\sqrt{4-\sqrt{7}})^2 = 4-\sqrt{7}$.
Найдем удвоенное произведение первого и второго слагаемых:
$2ab = 2 \cdot \sqrt{4+\sqrt{7}} \cdot \sqrt{4-\sqrt{7}} = 2\sqrt{(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})}$.
Выражение под корнем является разностью квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$.
$2\sqrt{(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})} = 2\sqrt{4^2 - (\sqrt{7})^2} = 2\sqrt{16-7} = 2\sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$.
Теперь сложим полученные результаты:
$(\sqrt{4+\sqrt{7}} + \sqrt{4-\sqrt{7}})^2 = a^2 + b^2 + 2ab = (4+\sqrt{7}) + (4-\sqrt{7}) + 6 = 4+\sqrt{7}+4-\sqrt{7}+6 = 8+6=14$.
Ответ: 14.

б) Чтобы возвести выражение $(\sqrt{5+2\sqrt{6}} - \sqrt{5-2\sqrt{6}})^2$ в квадрат, воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a = \sqrt{5+2\sqrt{6}}$ и $b = \sqrt{5-2\sqrt{6}}$.
Найдем квадрат первого члена:
$a^2 = (\sqrt{5+2\sqrt{6}})^2 = 5+2\sqrt{6}$.
Найдем квадрат второго члена:
$b^2 = (\sqrt{5-2\sqrt{6}})^2 = 5-2\sqrt{6}$.
Найдем удвоенное произведение первого и второго членов:
$2ab = 2 \cdot \sqrt{5+2\sqrt{6}} \cdot \sqrt{5-2\sqrt{6}} = 2\sqrt{(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})}$.
Выражение под корнем является разностью квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$.
$2\sqrt{(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})} = 2\sqrt{5^2 - (2\sqrt{6})^2} = 2\sqrt{25 - 4 \cdot 6} = 2\sqrt{25-24} = 2\sqrt{1} = 2$.
Теперь подставим полученные результаты в формулу квадрата разности:
$(\sqrt{5+2\sqrt{6}} - \sqrt{5-2\sqrt{6}})^2 = a^2 + b^2 - 2ab = (5+2\sqrt{6}) + (5-2\sqrt{6}) - 2 = 5+2\sqrt{6}+5-2\sqrt{6}-2 = 10-2=8$.
Ответ: 8.

427. Разложите на множители, используя формулу разности квадратов:

а) $x^2 - 7;$

б) $5 - c^2;$

в) $4a^2 - 3;$

г) $11 - 16b^2;$

д) $y - 3,$ где $y \ge 0;$

е) $x - y,$ где $x > 0$ и $y > 0.$

Для разложения на множители будем использовать формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Для этого представим каждый член выражения в виде квадрата некоторого числа или выражения.

а) В выражении $x^2 - 7$ первый член $x^2$ уже является квадратом $x$. Второй член $7$ можно представить как квадрат его корня, то есть $7 = (\sqrt{7})^2$.

Применяем формулу разности квадратов:

$x^2 - 7 = x^2 - (\sqrt{7})^2 = (x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7})$.

Ответ: $(x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7})$

б) В выражении $5 - c^2$ представим $5$ как $(\sqrt{5})^2$, а $c^2$ является квадратом $c$.

Применяем формулу:

$5 - c^2 = (\sqrt{5})^2 - c^2 = (\sqrt{5} - c)(\sqrt{5} + c)$.

Ответ: $(\sqrt{5} - c)(\sqrt{5} + c)$

в) В выражении $4a^2 - 3$ представим $4a^2$ как $(2a)^2$ и $3$ как $(\sqrt{3})^2$.

Применяем формулу:

$4a^2 - 3 = (2a)^2 - (\sqrt{3})^2 = (2a - \sqrt{3})(2a + \sqrt{3})$.

Ответ: $(2a - \sqrt{3})(2a + \sqrt{3})$

г) В выражении $11 - 16b^2$ представим $11$ как $(\sqrt{11})^2$ и $16b^2$ как $(4b)^2$.

Применяем формулу:

$11 - 16b^2 = (\sqrt{11})^2 - (4b)^2 = (\sqrt{11} - 4b)(\sqrt{11} + 4b)$.

Ответ: $(\sqrt{11} - 4b)(\sqrt{11} + 4b)$

д) В выражении $y - 3$ дано условие $y \ge 0$, что позволяет нам представить $y$ как $(\sqrt{y})^2$. Число $3$ представим как $(\sqrt{3})^2$.

Применяем формулу:

$y - 3 = (\sqrt{y})^2 - (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{y} - \sqrt{3})(\sqrt{y} + \sqrt{3})$.

Ответ: $(\sqrt{y} - \sqrt{3})(\sqrt{y} + \sqrt{3})$

е) В выражении $x - y$ даны условия $x > 0$ и $y > 0$. Это позволяет представить $x$ как $(\sqrt{x})^2$ и $y$ как $(\sqrt{y})^2$.

Применяем формулу разности квадратов:

$x - y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$.

Ответ: $(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$