Страница 99 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

412. Представьте выражение в виде арифметического квадратного корня или выражения, ему противоположного:

а) $3\sqrt{\frac{1}{3}};$

б) $2\sqrt{\frac{3}{4}};$

в) $\frac{1}{3}\sqrt{18};$

г) $-10\sqrt{0,02};$

д) $5\sqrt{\frac{a}{5}};$

е) $-\frac{1}{2}\sqrt{12x};$

ж) $-0,1\sqrt{1,2a};$

з) $-\frac{1}{3}\sqrt{0,9a};$

и) $-6\sqrt{6b}.$

а) Чтобы внести положительный множитель $3$ под знак арифметического квадратного корня, необходимо возвести этот множитель в квадрат и умножить на подкоренное выражение:
$3\sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{3^2 \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt{9 \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{9}{3}} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

б) Вносим положительный множитель $2$ под знак корня, возведя его в квадрат:
$2\sqrt{\frac{3}{4}} = \sqrt{2^2 \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt{4 \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

в) Вносим положительный множитель $\frac{1}{3}$ под знак корня, возведя его в квадрат:
$\frac{1}{3}\sqrt{18} = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 \cdot 18} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 18} = \sqrt{\frac{18}{9}} = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.

г) Чтобы внести отрицательный множитель $-10$ под знак корня, мы оставляем знак "минус" перед корнем, а сам множитель $10$ возводим в квадрат и вносим под корень:
$-10\sqrt{0,02} = -\sqrt{10^2 \cdot 0,02} = -\sqrt{100 \cdot 0,02} = -\sqrt{2}$.
Ответ: $-\sqrt{2}$.

д) Вносим положительный множитель $5$ под знак корня. Данное выражение имеет смысл при условии, что подкоренное выражение неотрицательно, то есть $\frac{a}{5} \ge 0$, откуда $a \ge 0$.
$5\sqrt{\frac{a}{5}} = \sqrt{5^2 \cdot \frac{a}{5}} = \sqrt{25 \cdot \frac{a}{5}} = \sqrt{5a}$.
Ответ: $\sqrt{5a}$.

е) Оставляем знак "минус" перед корнем, а множитель $\frac{1}{2}$ вносим под знак корня, возведя его в квадрат. Выражение имеет смысл при $12x \ge 0$, то есть $x \ge 0$.
$-\frac{1}{2}\sqrt{12x} = -\sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 12x} = -\sqrt{\frac{1}{4} \cdot 12x} = -\sqrt{3x}$.
Ответ: $-\sqrt{3x}$.

ж) Оставляем знак "минус" перед корнем, а множитель $0,1$ вносим под знак корня, возведя его в квадрат. Выражение имеет смысл при $1,2a \ge 0$, то есть $a \ge 0$.
$-0,1\sqrt{1,2a} = -\sqrt{0,1^2 \cdot 1,2a} = -\sqrt{0,01 \cdot 1,2a} = -\sqrt{0,012a}$.
Ответ: $-\sqrt{0,012a}$.

з) Оставляем знак "минус" перед корнем, а множитель $\frac{1}{3}$ вносим под знак корня. Выражение имеет смысл при $0,9a \ge 0$, то есть $a \ge 0$.
$-\frac{1}{3}\sqrt{0,9a} = -\sqrt{(\frac{1}{3})^2 \cdot 0,9a} = -\sqrt{\frac{1}{9} \cdot \frac{9}{10}a} = -\sqrt{\frac{1}{10}a} = -\sqrt{0,1a}$.
Ответ: $-\sqrt{0,1a}$.

и) Оставляем знак "минус" перед корнем, а множитель $6$ вносим под знак корня. Выражение имеет смысл при $6b \ge 0$, то есть $b \ge 0$.
$-6\sqrt{6b} = -\sqrt{6^2 \cdot 6b} = -\sqrt{36 \cdot 6b} = -\sqrt{216b}$.
Ответ: $-\sqrt{216b}$.

414. Сравните значения выражений:

a) $3\sqrt{3}$ и $\sqrt{12}$;

б) $\sqrt{20}$ и $3\sqrt{5}$;

в) $5\sqrt{4}$ и $4\sqrt{5}$;

г) $2\sqrt{5}$ и $3\sqrt{2}$;

д) $-\sqrt{14}$ и $-3\sqrt{2}$;

е) $-7\sqrt{0,17}$ и $-11\sqrt{0,05}$.

а) Чтобы сравнить $3\sqrt{3}$ и $\sqrt{12}$, приведем оба выражения к виду, где все числа находятся под знаком корня. Для этого внесем множитель 3 под знак корня в первом выражении.

$3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$.

Теперь сравним полученное выражение $\sqrt{27}$ с $\sqrt{12}$.

Поскольку оба числа положительные, а $27 > 12$, то и $\sqrt{27} > \sqrt{12}$.

Следовательно, $3\sqrt{3} > \sqrt{12}$.

Ответ: $3\sqrt{3} > \sqrt{12}$.

б) Чтобы сравнить $\sqrt{20}$ и $3\sqrt{5}$, внесем множитель 3 под знак корня во втором выражении.

$3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$.

Теперь сравним $\sqrt{20}$ и $\sqrt{45}$.

Так как $20 < 45$, и оба числа положительные, то $\sqrt{20} < \sqrt{45}$.

Следовательно, $\sqrt{20} < 3\sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{20} < 3\sqrt{5}$.

в) Чтобы сравнить $5\sqrt{4}$ и $4\sqrt{5}$, внесем множители перед корнями под знак корня в обоих выражениях.

$5\sqrt{4} = \sqrt{5^2 \cdot 4} = \sqrt{25 \cdot 4} = \sqrt{100}$.

$4\sqrt{5} = \sqrt{4^2 \cdot 5} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80}$.

Теперь сравним $\sqrt{100}$ и $\sqrt{80}$.

Так как $100 > 80$, то $\sqrt{100} > \sqrt{80}$.

Следовательно, $5\sqrt{4} > 4\sqrt{5}$.

Ответ: $5\sqrt{4} > 4\sqrt{5}$.

г) Чтобы сравнить $2\sqrt{5}$ и $3\sqrt{2}$, внесем множители под знаки корней.

$2\sqrt{5} = \sqrt{2^2 \cdot 5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}$.

$3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$.

Теперь сравним $\sqrt{20}$ и $\sqrt{18}$.

Так как $20 > 18$, то $\sqrt{20}

416. Расположите в порядке возрастания числа:

a) $3\sqrt{3}$, $2\sqrt{6}$, $\sqrt{29}$, $4\sqrt{2}$, $2\sqrt{11}$;

б) $6\sqrt{2}$, $\sqrt{58}$, $3\sqrt{7}$, $2\sqrt{14}$, $5\sqrt{3}$;

В) $-\sqrt{11}$, $-2\sqrt{5}$, $\sqrt{2}$, $-2\sqrt{6}$, $-\sqrt{51}$;

Г) $-\sqrt{83}$, $-9\sqrt{2}$, $-\sqrt{17}$, $-5\sqrt{8}$, $-\frac{1}{3}\sqrt{18}$.

Чтобы расположить числа $3\sqrt{3}, 2\sqrt{6}, \sqrt{29}, 4\sqrt{2}, 2\sqrt{11}$ в порядке возрастания, сравним их квадраты. Так как все числа положительные, то чем больше квадрат числа, тем больше само число. Вычислим квадраты каждого числа:
$(3\sqrt{3})^2 = 3^2 \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$
$(2\sqrt{6})^2 = 2^2 \cdot 6 = 4 \cdot 6 = 24$
$(\sqrt{29})^2 = 29$
$(4\sqrt{2})^2 = 4^2 \cdot 2 = 16 \cdot 2 = 32$
$(2\sqrt{11})^2 = 2^2 \cdot 11 = 4 \cdot 11 = 44$
Расположим полученные квадраты в порядке возрастания: $24 < 27 < 29 < 32 < 44$. Этому порядку соответствуют исходные числа: $2\sqrt{6} < 3\sqrt{3} < \sqrt{29} < 4\sqrt{2} < 2\sqrt{11}$.

Ответ: $2\sqrt{6}, 3\sqrt{3}, \sqrt{29}, 4\sqrt{2}, 2\sqrt{11}$.

Сравним числа $6\sqrt{2}, \sqrt{58}, 3\sqrt{7}, 2\sqrt{14}, 5\sqrt{3}$ путем возведения их в квадрат:
$(6\sqrt{2})^2 = 6^2 \cdot 2 = 36 \cdot 2 = 72$
$(\sqrt{58})^2 = 58$
$(3\sqrt{7})^2 = 3^2 \cdot 7 = 9 \cdot 7 = 63$
$(2\sqrt{14})^2 = 2^2 \cdot 14 = 4 \cdot 14 = 56$
$(5\sqrt{3})^2 = 5^2 \cdot 3 = 25 \cdot 3 = 75$
Расположим квадраты в порядке возрастания: $56 < 58 < 63 < 72 < 75$. Соответственно, исходные числа в порядке возрастания: $2\sqrt{14} < \sqrt{58} < 3\sqrt{7} < 6\sqrt{2} < 5\sqrt{3}$.

Ответ: $2\sqrt{14}, \sqrt{58}, 3\sqrt{7}, 6\sqrt{2}, 5\sqrt{3}$.

В наборе чисел $-\sqrt{11}, -2\sqrt{5}, \sqrt{2}, -2\sqrt{6}, -\sqrt{51}$ есть одно положительное число $\sqrt{2}$, которое будет наибольшим. Остальные числа отрицательные. Чтобы сравнить отрицательные числа, сравним их модули. Чем больше модуль отрицательного числа, тем оно меньше. Найдем квадраты модулей:
$|-\sqrt{11}|^2 = (\sqrt{11})^2 = 11$
$|-2\sqrt{5}|^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$
$|-2\sqrt{6}|^2 = (2\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24$
$|-\sqrt{51}|^2 = (\sqrt{51})^2 = 51$
Расположим квадраты модулей в порядке возрастания: $11 < 20 < 24 < 51$. Этому соответствует порядок модулей: $\sqrt{11} < 2\sqrt{5} < 2\sqrt{6} < \sqrt{51}$. Для отрицательных чисел порядок будет обратным: $-\sqrt{51} < -2\sqrt{6} < -2\sqrt{5} < -\sqrt{11}$. Добавив положительное число, получаем окончательный порядок.

Ответ: $-\sqrt{51}, -2\sqrt{6}, -2\sqrt{5}, -\sqrt{11}, \sqrt{2}$.

Все числа в наборе $-\sqrt{83}, -9\sqrt{2}, -\sqrt{17}, -5\sqrt{8}, -\frac{1}{3}\sqrt{18}$ отрицательные. Сравним их по модулю, возведя модули в квадрат. Чем больше модуль, тем меньше само отрицательное число.
$|-\sqrt{83}|^2 = 83$
$|-9\sqrt{2}|^2 = (9\sqrt{2})^2 = 81 \cdot 2 = 162$
$|-\sqrt{17}|^2 = 17$
$|-5\sqrt{8}|^2 = (5\sqrt{8})^2 = 25 \cdot 8 = 200$
$|-\frac{1}{3}\sqrt{18}|^2 = (\frac{1}{3}\sqrt{18})^2 = \frac{1}{9} \cdot 18 = 2$
Расположим квадраты модулей в порядке возрастания: $2 < 17 < 83 < 162 < 200$. Этому соответствует порядок модулей: $\frac{1}{3}\sqrt{18} < \sqrt{17} < \sqrt{83} < 9\sqrt{2} < 5\sqrt{8}$. Так как числа отрицательные, их порядок будет обратным.

Ответ: $-5\sqrt{8}, -9\sqrt{2}, -\sqrt{83}, -\sqrt{17}, -\frac{1}{3}\sqrt{18}$.

413. Замените выражение арифметическим квадратным корнем или выражением, ему противоположным:

а) $2\sqrt{2}$;

б) $5\sqrt{y}$;

в) $-7\sqrt{3}$;

г) $-6\sqrt{2a}$;

д) $\frac{1}{2}\sqrt{18b}$;

е) $-0,1\sqrt{200c}$.

а) Чтобы внести положительный множитель перед корнем под знак корня, нужно возвести этот множитель в квадрат и умножить на подкоренное выражение.
$2\sqrt{2} = \sqrt{2^2 \cdot 2} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8}$
Ответ: $\sqrt{8}$

б) Аналогично вносим положительный множитель 5 под знак корня. Подразумевается, что подкоренное выражение неотрицательно, то есть $y \ge 0$.
$5\sqrt{y} = \sqrt{5^2 \cdot y} = \sqrt{25y}$
Ответ: $\sqrt{25y}$

в) Если множитель перед корнем отрицательный, то знак "минус" остается перед корнем, а под корень вносится модуль этого множителя (положительное число), возведенный в квадрат.
$-7\sqrt{3} = -\sqrt{7^2 \cdot 3} = -\sqrt{49 \cdot 3} = -\sqrt{147}$
Ответ: $-\sqrt{147}$

г) Множитель -6 отрицательный, поэтому знак "минус" оставляем перед корнем, а 6 вносим под корень. Подразумевается, что $a \ge 0$.
$-6\sqrt{2a} = -\sqrt{6^2 \cdot 2a} = -\sqrt{36 \cdot 2a} = -\sqrt{72a}$
Ответ: $-\sqrt{72a}$

д) Вносим положительный множитель $\frac{1}{2}$ под знак корня. Подразумевается, что $b \ge 0$.
$\frac{1}{2}\sqrt{18b} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 18b} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 18b} = \sqrt{\frac{18b}{4}} = \sqrt{\frac{9b}{2}}$
Ответ: $\sqrt{\frac{9b}{2}}$

е) Множитель -0,1 отрицательный. Оставляем знак "минус" перед корнем, а под корень вносим 0,1 в квадрате. Подразумевается, что $c \ge 0$.
$-0,1\sqrt{200c} = -\sqrt{0,1^2 \cdot 200c} = -\sqrt{0,01 \cdot 200c} = -\sqrt{2c}$
Ответ: $-\sqrt{2c}$

415. Сравните значения выражений:

a) $\frac{1}{3}\sqrt{351}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{188}$;

б) $\frac{1}{3}\sqrt{54}$ и $\frac{1}{5}\sqrt{150}$;

в) $\sqrt{24}$ и $\frac{1}{3}\sqrt{216}$;

г) $\frac{2}{3}\sqrt{72}$ и $7\sqrt{\frac{2}{3}}$.

а) Чтобы сравнить значения выражений, удобно привести их к виду $\sqrt{A}$ и $\sqrt{B}$ и затем сравнить числа $A$ и $B$. Для этого внесем множитель перед корнем под знак корня, предварительно возведя его в квадрат.

Первое выражение: $\frac{1}{3}\sqrt{351} = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 \cdot 351} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 351} = \sqrt{\frac{351}{9}} = \sqrt{39}$.

Второе выражение: $\frac{1}{2}\sqrt{188} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 188} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 188} = \sqrt{\frac{188}{4}} = \sqrt{47}$.

Теперь сравним полученные подкоренные выражения: $39$ и $47$.

Так как $39 < 47$, то и $\sqrt{39} < \sqrt{47}$.

Следовательно, $\frac{1}{3}\sqrt{351} < \frac{1}{2}\sqrt{188}$.

Ответ: $\frac{1}{3}\sqrt{351} < \frac{1}{2}\sqrt{188}$.

б) Сравним выражения $\frac{1}{3}\sqrt{54}$ и $\frac{1}{5}\sqrt{150}$. Внесем множители под знак корня.

Первое выражение: $\frac{1}{3}\sqrt{54} = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 \cdot 54} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 54} = \sqrt{\frac{54}{9}} = \sqrt{6}$.

Второе выражение: $\frac{1}{5}\sqrt{150} = \sqrt{(\frac{1}{5})^2 \cdot 150} = \sqrt{\frac{1}{25} \cdot 150} = \sqrt{\frac{150}{25}} = \sqrt{6}$.

Полученные значения равны.

Следовательно, $\frac{1}{3}\sqrt{54} = \frac{1}{5}\sqrt{150}$.

Ответ: $\frac{1}{3}\sqrt{54} = \frac{1}{5}\sqrt{150}$.

в) Сравним выражения $\sqrt{24}$ и $\frac{1}{3}\sqrt{216}$.

Преобразуем второе выражение, внеся множитель под знак корня:

$\frac{1}{3}\sqrt{216} = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 \cdot 216} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 216} = \sqrt{\frac{216}{9}} = \sqrt{24}$.

Сравниваем $\sqrt{24}$ и $\sqrt{24}$. Значения равны.

Следовательно, $\sqrt{24} = \frac{1}{3}\sqrt{216}$.

Ответ: $\sqrt{24} = \frac{1}{3}\sqrt{216}$.

г) Сравним выражения $\frac{2}{3}\sqrt{72}$ и $7\sqrt{\frac{2}{3}}$.

Внесем множители под знак корня для обоих выражений.

Первое выражение: $\frac{2}{3}\sqrt{72} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 \cdot 72} = \sqrt{\frac{4}{9} \cdot 72} = \sqrt{4 \cdot \frac{72}{9}} = \sqrt{4 \cdot 8} = \sqrt{32}$.

Второе выражение: $7\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{7^2 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{49 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{98}{3}}$.

Теперь сравним подкоренные выражения: $32$ и $\frac{98}{3}$.

Для сравнения представим $32$ в виде дроби со знаменателем $3$: $32 = \frac{32 \cdot 3}{3} = \frac{96}{3}$.

Сравниваем дроби $\frac{96}{3}$ и $\frac{98}{3}$. Так как $96 < 98$, то $\frac{96}{3} < \frac{98}{3}$.

Это означает, что $32 < \frac{98}{3}$, и, следовательно, $\sqrt{32} < \sqrt{\frac{98}{3}}$.

Таким образом, $\frac{2}{3}\sqrt{72} < 7\sqrt{\frac{2}{3}}$.

Ответ: $\frac{2}{3}\sqrt{72} < 7\sqrt{\frac{2}{3}}$.

417. (Задача-исследование.) Проверьте, верны ли равенства

$\sqrt{2\frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$, $\sqrt{3\frac{3}{8}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}}$, $\sqrt{4\frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}}$.

Выясните, каким должно быть соотношение между числами $a$ и $b$, чтобы было верно равенство $\sqrt{a + \frac{a}{b}} = a\sqrt{\frac{a}{b}}$, где $a \in \mathbb{N}$ и $b \in \mathbb{N}$.

1) Возведите в квадрат обе части равенства.

2) Установите, каким должно быть соотношение между числами $a$ и $b$.

3) Проиллюстрируйте правильность вашего вывода на примерах.

Сначала проверим верность равенств, представленных в условии. В левой части каждого равенства смешанное число $a\frac{a}{b}$ можно записать как сумму $a+\frac{a}{b}$.

- Для $\sqrt{2\frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$: левая часть $\sqrt{2+\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}}$; правая часть $2\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{4 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}}$. Равенство верно.
- Для $\sqrt{3\frac{3}{8}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}}$: левая часть $\sqrt{3+\frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{27}{8}}$; правая часть $3\sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{9 \cdot \frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{27}{8}}$. Равенство верно.
- Для $\sqrt{4\frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}}$: левая часть $\sqrt{4+\frac{4}{15}} = \sqrt{\frac{64}{15}}$; правая часть $4\sqrt{\frac{4}{15}} = \sqrt{16 \cdot \frac{4}{15}} = \sqrt{\frac{64}{15}}$. Равенство верно.

Все три равенства верны. Теперь выясним, каким должно быть соотношение между натуральными числами $a$ и $b$, чтобы было верно равенство $\sqrt{a + \frac{a}{b}} = a\sqrt{\frac{a}{b}}$.

1) Возведите в квадрат обе части равенства.
Дано равенство $\sqrt{a + \frac{a}{b}} = a\sqrt{\frac{a}{b}}$.
Возводим в квадрат левую часть: $(\sqrt{a + \frac{a}{b}})^2 = a + \frac{a}{b}$.
Возводим в квадрат правую часть: $(a\sqrt{\frac{a}{b}})^2 = a^2 \cdot (\sqrt{\frac{a}{b}})^2 = a^2 \cdot \frac{a}{b} = \frac{a^3}{b}$.
Приравнивая полученные выражения, получаем: $a + \frac{a}{b} = \frac{a^3}{b}$.
Ответ: $a + \frac{a}{b} = \frac{a^3}{b}$.

2) Установите, каким должно быть соотношение между числами a и b.
Начнем с равенства, полученного в предыдущем пункте: $a + \frac{a}{b} = \frac{a^3}{b}$.
Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{ab + a}{b} = \frac{a^3}{b}$.
Поскольку $b$ - натуральное число ($b \in N$), то $b \neq 0$. Умножим обе части равенства на $b$:
$ab + a = a^3$.
Вынесем $a$ за скобки в левой части: $a(b+1) = a^3$.
Поскольку $a$ - натуральное число ($a \in N$), то $a \neq 0$. Разделим обе части равенства на $a$:
$b+1 = a^2$.
Отсюда находим искомое соотношение: $b = a^2 - 1$.
Так как по условию $b$ должно быть натуральным числом ($b \in N$), то должно выполняться условие $b \ge 1$.
$a^2 - 1 \ge 1 \implies a^2 \ge 2$.
Учитывая, что $a \in N$, получаем $a \ge 2$.
Ответ: Соотношение между $a$ и $b$ выражается формулой $b = a^2 - 1$, при условии, что $a$ - натуральное число, $a \ge 2$.

3) Проиллюстрируйте правильность вашего вывода на примерах.
Проверим найденное соотношение $b = a^2 - 1$ на примерах из условия задачи.
- Для примера $\sqrt{2\frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$, имеем $a=2, b=3$. Проверка: $3 = 2^2 - 1 \implies 3 = 4 - 1 \implies 3=3$. Верно.
- Для примера $\sqrt{3\frac{3}{8}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}}$, имеем $a=3, b=8$. Проверка: $8 = 3^2 - 1 \implies 8 = 9 - 1 \implies 8=8$. Верно.
- Для примера $\sqrt{4\frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}}$, имеем $a=4, b=15$. Проверка: $15 = 4^2 - 1 \implies 15 = 16 - 1 \implies 15=15$. Верно.
Примеры подтверждают правильность выведенного соотношения.
Ответ: Для данных примеров ($a=2, b=3$), ($a=3, b=8$), ($a=4, b=15$) соотношение $b=a^2-1$ выполняется.