Страница 92 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

376. Вычислите значение выражения:

а) $\sqrt{13^2 - 12^2}$;

б) $\sqrt{8^2 + 6^2}$;

в) $\sqrt{313^2 - 312^2}$;

г) $\sqrt{122^2 - 22^2}$;

д) $\sqrt{45,8^2 - 44,2^2}$;

е) $\sqrt{21,8^2 - 18,2^2}$.

а) Для вычисления выражения $\sqrt{13^2 - 12^2}$ воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$\sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{(13 - 12)(13 + 12)} = \sqrt{1 \cdot 25} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: 5.

б) Для вычисления выражения $\sqrt{8^2 + 6^2}$ сначала возведем числа в квадрат, а затем сложим результаты.

$\sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: 10.

в) Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к подкоренному выражению.

$\sqrt{313^2 - 312^2} = \sqrt{(313 - 312)(313 + 312)} = \sqrt{1 \cdot 625} = \sqrt{625} = 25$.

Ответ: 25.

г) Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$\sqrt{122^2 - 22^2} = \sqrt{(122 - 22)(122 + 22)} = \sqrt{100 \cdot 144} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{144} = 10 \cdot 12 = 120$.

Ответ: 120.

д) Выражение под корнем является разностью квадратов. Применим соответствующую формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$\sqrt{45,8^2 - 44,2^2} = \sqrt{(45,8 - 44,2)(45,8 + 44,2)} = \sqrt{1,6 \cdot 90} = \sqrt{144} = 12$.

Ответ: 12.

е) Снова используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$\sqrt{21,8^2 - 18,2^2} = \sqrt{(21,8 - 18,2)(21,8 + 18,2)} = \sqrt{3,6 \cdot 40} = \sqrt{144} = 12$.

Ответ: 12.

378. Представьте выражение в виде произведения корней:

а) $\sqrt{15}$;

б) $\sqrt{21}$;

в) $\sqrt{7a}$;

г) $\sqrt{3c}$.

а) Чтобы представить выражение $\sqrt{15}$ в виде произведения корней, воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ для неотрицательных $a$ и $b$.
Сначала разложим подкоренное выражение 15 на множители: $15 = 3 \cdot 5$.
Теперь применим свойство корня:
$\sqrt{15} = \sqrt{3 \cdot 5} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}$.

б) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
Разложим число 21 на множители: $21 = 3 \cdot 7$.
Применяем свойство:
$\sqrt{21} = \sqrt{3 \cdot 7} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{7}$.
Ответ: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}$.

в) Для выражения $\sqrt{7a}$ также используем свойство корня из произведения. Данное выражение определено при $a \ge 0$.
Подкоренное выражение $7a$ уже представлено в виде произведения $7 \cdot a$.
Применяем свойство:
$\sqrt{7a} = \sqrt{7 \cdot a} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{a}$.
Ответ: $\sqrt{7} \cdot \sqrt{a}$.

г) Для выражения $\sqrt{3c}$ поступаем так же. Данное выражение имеет смысл при $c \ge 0$.
Подкоренное выражение $3c$ является произведением $3 \cdot c$.
Применяем свойство корня из произведения:
$\sqrt{3c} = \sqrt{3 \cdot c} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{c}$.
Ответ: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{c}$.

380. Докажите, что при любом неотрицательном $a$:

а) $10\sqrt{\frac{a}{100}}=\sqrt{a}$;

б) $\sqrt{a}=\frac{a}{10}\sqrt{100a}$.

Требуется доказать равенства для любого неотрицательного значения $a$, то есть при условии $a \ge 0$. Мы будем доказывать каждое равенство путем преобразования одной из его частей до тех пор, пока она не станет идентичной другой части.

а) Докажем тождество $10\sqrt{\frac{a}{100}}=\sqrt{a}$.

Для доказательства преобразуем левую часть выражения. Воспользуемся свойством квадратного корня из частного: $\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$ (при $x \ge 0, y > 0$).

$10\sqrt{\frac{a}{100}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{100}}$

Так как $\sqrt{100}=10$, подставим это значение в выражение:

$10 \cdot \frac{\sqrt{a}}{10} = \frac{10\sqrt{a}}{10}$

Сократив на 10, получим:

$\sqrt{a}$

В результате преобразования левая часть стала равна правой части ($\sqrt{a} = \sqrt{a}$), следовательно, равенство верно для любого $a \ge 0$.

Ответ: равенство доказано.

б) Рассмотрим равенство, данное в условии: $\sqrt{a}=\frac{a}{10}\sqrt{100a}$.

Преобразуем правую часть. Для этого используем свойство квадратного корня из произведения: $\sqrt{x \cdot y}=\sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ (при $x \ge 0, y \ge 0$).

$\frac{a}{10}\sqrt{100a} = \frac{a}{10}\sqrt{100 \cdot a} = \frac{a}{10} \cdot \sqrt{100} \cdot \sqrt{a}$

Поскольку $\sqrt{100}=10$, получаем:

$\frac{a}{10} \cdot 10 \cdot \sqrt{a} = a\sqrt{a}$

Таким образом, исходное равенство эквивалентно равенству $\sqrt{a} = a\sqrt{a}$. Это равенство выполняется только в двух случаях: при $a=0$ (получим $0=0$) и при $a=1$ (получим $1=1$). Оно не является верным для всех неотрицательных $a$. Это означает, что в условии задачи, вероятнее всего, содержится опечатка.

Предположим, что правильное равенство должно выглядеть так: $\sqrt{a}=\frac{1}{10}\sqrt{100a}$. Докажем это исправленное тождество.

Преобразуем правую часть:

$\frac{1}{10}\sqrt{100a} = \frac{1}{10}\sqrt{100 \cdot a} = \frac{1}{10} \cdot \sqrt{100} \cdot \sqrt{a}$

Подставим значение $\sqrt{100}=10$:

$\frac{1}{10} \cdot 10 \cdot \sqrt{a} = 1 \cdot \sqrt{a} = \sqrt{a}$

В результате преобразования правая часть стала равна левой ($\sqrt{a} = \sqrt{a}$), следовательно, исправленное равенство верно для любого $a \ge 0$.

Ответ: равенство $\sqrt{a}=\frac{a}{10}\sqrt{100a}$ неверно для всех неотрицательных $a$. Вероятно, в условии опечатка, и имелось в виду тождество $\sqrt{a}=\frac{1}{10}\sqrt{100a}$, которое является верным.

382. Используя приближённое равенство $\sqrt{75} \approx 8,7$, найдите приближённое значение выражения:

а) $\sqrt{7500}$;

б) $\sqrt{750 000}$;

в) $\sqrt{0,75}$;

г) $\sqrt{0,0075}$.

а)

Для того чтобы найти приближённое значение $\sqrt{7500}$, представим подкоренное выражение в виде произведения, где один из множителей равен 75. Ключевая идея — выделить множитель, являющийся полным квадратом (в данном случае 100).

$7500 = 75 \times 100$

Теперь воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$:

$\sqrt{7500} = \sqrt{75 \times 100} = \sqrt{75} \times \sqrt{100}$

Мы знаем, что $\sqrt{100} = 10$, а по условию задачи дано приближенное равенство $\sqrt{75} \approx 8,7$. Подставим эти значения в выражение:

$\sqrt{7500} \approx 8,7 \times 10 = 87$

Ответ: 87.

б)

Аналогично пункту а), представим подкоренное выражение $750 000$ в виде произведения с множителем 75 и множителем, являющимся полным квадратом.

$750 000 = 75 \times 10 000$

Применим свойство корня из произведения:

$\sqrt{750 000} = \sqrt{75 \times 10 000} = \sqrt{75} \times \sqrt{10 000}$

Так как $\sqrt{10 000} = \sqrt{100^2} = 100$ и $\sqrt{75} \approx 8,7$, получаем:

$\sqrt{750 000} \approx 8,7 \times 100 = 870$

Ответ: 870.

в)

Для нахождения $\sqrt{0,75}$ представим десятичную дробь в виде частного, чтобы в числителе оказалось число 75.

$0,75 = \frac{75}{100}$

Воспользуемся свойством корня из частного $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$\sqrt{0,75} = \sqrt{\frac{75}{100}} = \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{100}}$

Подставляем известные значения $\sqrt{75} \approx 8,7$ и $\sqrt{100} = 10$:

$\sqrt{0,75} \approx \frac{8,7}{10} = 0,87$

Ответ: 0,87.

г)

Представим подкоренное выражение $0,0075$ в виде частного так, чтобы в числителе было 75, а знаменатель являлся полным квадратом.

$0,0075 = \frac{75}{10000}$

Применим свойство корня из частного:

$\sqrt{0,0075} = \sqrt{\frac{75}{10000}} = \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{10000}}$

Подставляем известные значения $\sqrt{75} \approx 8,7$ и $\sqrt{10000} = 100$:

$\sqrt{0,0075} \approx \frac{8,7}{100} = 0,087$

Ответ: 0,087.

384. Найдите значение выражения:

а) $ \sqrt{44100}; $ б) $ \sqrt{435600}; $ в) $ \sqrt{0,0729}; $ г) $ \sqrt{15,21}. $

а) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{44100}$, представим подкоренное выражение как произведение множителей, из которых легко извлечь квадратный корень. $44100 = 441 \times 100$. Используя свойство корня из произведения ($\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$), получаем: $\sqrt{44100} = \sqrt{441 \times 100} = \sqrt{441} \times \sqrt{100}$. Поскольку $\sqrt{441} = 21$ и $\sqrt{100} = 10$, то $21 \times 10 = 210$.
Ответ: 210.

б) Для вычисления $\sqrt{435600}$ воспользуемся аналогичным методом. Представим число $435600$ как произведение $4356 \times 100$. $\sqrt{435600} = \sqrt{4356 \times 100} = \sqrt{4356} \times \sqrt{100}$. Мы знаем, что $\sqrt{100} = 10$. Чтобы найти $\sqrt{4356}$, оценим его: $60^2 = 3600$, а $70^2 = 4900$. Так как число $4356$ оканчивается на 6, его корень должен оканчиваться на 4 или 6. Проверим $66^2$: $66 \times 66 = 4356$. Значит, $\sqrt{4356} = 66$. Таким образом, $\sqrt{435600} = 66 \times 10 = 660$.
Ответ: 660.

в) Чтобы найти значение $\sqrt{0,0729}$, представим десятичную дробь в виде обыкновенной дроби. $0,0729 = \frac{729}{10000}$. Используя свойство корня из дроби ($\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$), получаем: $\sqrt{0,0729} = \sqrt{\frac{729}{10000}} = \frac{\sqrt{729}}{\sqrt{10000}}$. Мы знаем, что $\sqrt{729} = 27$ (поскольку $27^2 = 729$) и $\sqrt{10000} = 100$. Следовательно, $\frac{27}{100} = 0,27$.
Ответ: 0,27.

г) Для вычисления $\sqrt{15,21}$ также преобразуем десятичную дробь в обыкновенную. $15,21 = \frac{1521}{100}$. Применим свойство корня из дроби: $\sqrt{15,21} = \sqrt{\frac{1521}{100}} = \frac{\sqrt{1521}}{\sqrt{100}}$. Корень из 100 равен 10. Чтобы найти $\sqrt{1521}$, оценим его: $30^2=900$, а $40^2=1600$. Число $1521$ находится ближе к $1600$ и оканчивается на 1, значит, его корень должен оканчиваться на 1 или 9. Проверим $39^2$: $39 \times 39 = 1521$. Значит, $\sqrt{1521} = 39$. Таким образом, $\frac{39}{10} = 3,9$.
Ответ: 3,9.

375. Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{75 \cdot 48}$;

б) $\sqrt{45 \cdot 80}$;

в) $\sqrt{4,9 \cdot 360}$;

г) $\sqrt{160 \cdot 6,4}$.

а) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{75 \cdot 48}$, разложим числа под корнем на удобные множители, из которых легко извлечь квадратный корень.
Представим число 75 как произведение $25 \cdot 3$.
Представим число 48 как произведение $16 \cdot 3$.
Получим следующее выражение:
$\sqrt{75 \cdot 48} = \sqrt{(25 \cdot 3) \cdot (16 \cdot 3)}$
Теперь сгруппируем множители так, чтобы выделить полные квадраты:
$\sqrt{25 \cdot 16 \cdot (3 \cdot 3)} = \sqrt{25 \cdot 16 \cdot 9}$
Используя свойство "корень из произведения равен произведению корней" ($\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$), извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{25} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{9} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$
Ответ: 60

б) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{45 \cdot 80}$, разложим подкоренные числа на множители.
Представим число 45 как $9 \cdot 5$.
Представим число 80 как $16 \cdot 5$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\sqrt{45 \cdot 80} = \sqrt{(9 \cdot 5) \cdot (16 \cdot 5)}$
Сгруппируем множители:
$\sqrt{9 \cdot 16 \cdot (5 \cdot 5)} = \sqrt{9 \cdot 16 \cdot 25}$
Извлечем корень из каждого множителя по отдельности:
$\sqrt{9} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{25} = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$
Ответ: 60

в) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{4,9 \cdot 360}$, преобразуем подкоренное произведение так, чтобы избавиться от десятичной дроби.
Для этого "перенесем" множитель 10 от числа 360 к числу 4,9:
$4,9 \cdot 360 = 4,9 \cdot (10 \cdot 36) = (4,9 \cdot 10) \cdot 36 = 49 \cdot 36$
Теперь исходное выражение имеет вид:
$\sqrt{4,9 \cdot 360} = \sqrt{49 \cdot 36}$
Числа 49 и 36 являются полными квадратами. Извлечем из них корни:
$\sqrt{49} \cdot \sqrt{36} = 7 \cdot 6 = 42$
Ответ: 42

г) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{160 \cdot 6,4}$, также преобразуем произведение для удобства вычислений.
"Перенесем" множитель 10 от числа 160 к числу 6,4:
$160 \cdot 6,4 = (16 \cdot 10) \cdot 6,4 = 16 \cdot (10 \cdot 6,4) = 16 \cdot 64$
Таким образом, выражение преобразуется к виду:
$\sqrt{160 \cdot 6,4} = \sqrt{16 \cdot 64}$
Извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{16} \cdot \sqrt{64} = 4 \cdot 8 = 32$
Ответ: 32

377. Извлеките корень:

а) $\sqrt{17^2 - 8^2}$;

б) $\sqrt{3^2 + 4^2}$;

в) $\sqrt{82^2 - 18^2}$;

г) $\sqrt{117^2 - 108^2}$;

д) $\sqrt{6,8^2 - 3,2^2}$;

е) $\sqrt{\left(1\frac{1}{16}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}$.

а) Для вычисления значения выражения под корнем воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$\sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{(17 - 8)(17 + 8)} = \sqrt{9 \cdot 25}$

Далее, используя свойство корня из произведения ($\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$), получаем:

$\sqrt{9} \cdot \sqrt{25} = 3 \cdot 5 = 15$

Ответ: 15

б) В данном случае под корнем находится сумма квадратов. Для таких выражений нет формулы сокращенного умножения, поэтому сначала выполним возведение в степень, а затем сложение.

$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}$

Теперь извлечем корень:

$\sqrt{25} = 5$

Ответ: 5

в) Снова применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$\sqrt{82^2 - 18^2} = \sqrt{(82 - 18)(82 + 18)} = \sqrt{64 \cdot 100}$

Извлекаем корень из произведения:

$\sqrt{64 \cdot 100} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{100} = 8 \cdot 10 = 80$

Ответ: 80

г) Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$\sqrt{117^2 - 108^2} = \sqrt{(117 - 108)(117 + 108)} = \sqrt{9 \cdot 225}$

Извлекаем корень из каждого множителя:

$\sqrt{9} \cdot \sqrt{225} = 3 \cdot 15 = 45$

Ответ: 45

д) Формула разности квадратов также применима и для десятичных дробей.

$\sqrt{6,8^2 - 3,2^2} = \sqrt{(6,8 - 3,2)(6,8 + 3,2)} = \sqrt{3,6 \cdot 10}$

Выполним умножение под корнем:

$\sqrt{36} = 6$

Ответ: 6

е) Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную, а затем воспользуемся формулой разности квадратов.

$1\frac{1}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{17}{16}$

Выражение принимает вид:

$\sqrt{(\frac{17}{16})^2 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{(\frac{17}{16} - \frac{1}{2})(\frac{17}{16} + \frac{1}{2})}$

Приведем дроби к общему знаменателю 16: $\frac{1}{2} = \frac{8}{16}$.

$\sqrt{(\frac{17}{16} - \frac{8}{16})(\frac{17}{16} + \frac{8}{16})} = \sqrt{\frac{9}{16} \cdot \frac{25}{16}}$

Извлечем корень из произведения дробей:

$\sqrt{\frac{9 \cdot 25}{16 \cdot 16}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 25}}{\sqrt{16^2}} = \frac{\sqrt{9} \cdot \sqrt{25}}{16} = \frac{3 \cdot 5}{16} = \frac{15}{16}$

Ответ: $\frac{15}{16}$

379. Представьте выражение в виде частного корней:

а) $\sqrt{\frac{2}{7}}$;

б) $\sqrt{\frac{3}{10}}$;

в) $\sqrt{\frac{5}{a}}$;

г) $\sqrt{\frac{b}{3}}$.

Для решения данной задачи используется свойство корня из частного. Корень из дроби равен частному корней из числителя и знаменателя этой дроби. Математически это свойство записывается так: для любых неотрицательных $a$ и положительных $b$ справедливо равенство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

а)

Применим свойство корня из частного к выражению $\sqrt{\frac{2}{7}}$:

$\sqrt{\frac{2}{7}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$

б)

Аналогично применим свойство к выражению $\sqrt{\frac{3}{10}}$:

$\sqrt{\frac{3}{10}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$

в)

Для выражения $\sqrt{\frac{5}{a}}$ (которое имеет смысл при $a > 0$), применим свойство корня из частного:

$\sqrt{\frac{5}{a}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{a}}$

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{a}}$

г)

Для выражения $\sqrt{\frac{b}{3}}$ (которое имеет смысл при $b \geq 0$), применим свойство корня из частного:

$\sqrt{\frac{b}{3}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{3}}$

Ответ: $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{3}}$

381. Укажите натуральные значения $n$, при которых $\sqrt{n^2 - 75}$ является натуральным числом.

Для того чтобы выражение $\sqrt{n^2 - 75}$ было натуральным числом, необходимо, чтобы подкоренное выражение $n^2 - 75$ было полным квадратом некоторого натурального числа. Обозначим это натуральное число как $m$.

Тогда должно выполняться равенство:

$\sqrt{n^2 - 75} = m$, где $n, m \in \mathbb{N}$ (натуральные числа).

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$n^2 - 75 = m^2$

Перенесем $m^2$ в левую часть, а 75 – в правую:

$n^2 - m^2 = 75$

Применим формулу разности квадратов:

$(n - m)(n + m) = 75$

Поскольку $n$ и $m$ — натуральные числа, то $(n - m)$ и $(n + m)$ — целые числа.Так как $n \ge 1$ и $m \ge 1$, их сумма $(n + m)$ является натуральным числом, большим или равным 2.Произведение $(n - m)(n + m) = 75$ положительно, и $(n + m)$ положительно, следовательно, $(n - m)$ также должно быть положительным числом. Значит, $(n - m)$ — натуральное число.

Кроме того, поскольку $m > 0$, очевидно, что $n + m > n - m$.

Таким образом, нам нужно найти все пары натуральных чисел, произведение которых равно 75, и первое число в паре меньше второго. Разложим число 75 на множители: $75 = 1 \cdot 75 = 3 \cdot 25 = 5 \cdot 15$.

Получаем три возможные системы уравнений:

1) $\begin{cases} n - m = 1 \\ n + m = 75 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения: $(n - m) + (n + m) = 1 + 75$, что дает $2n = 76$. Отсюда $n = 38$.Подставив $n = 38$ во второе уравнение, получим $38 + m = 75$, откуда $m = 37$.Оба числа, $n=38$ и $m=37$, являются натуральными. Это решение подходит.

2) $\begin{cases} n - m = 3 \\ n + m = 25 \end{cases}$

Сложим уравнения: $2n = 3 + 25$, что дает $2n = 28$. Отсюда $n = 14$.Подставив $n = 14$ во второе уравнение, получим $14 + m = 25$, откуда $m = 11$.Оба числа, $n=14$ и $m=11$, являются натуральными. Это решение подходит.

3) $\begin{cases} n - m = 5 \\ n + m = 15 \end{cases}$

Сложим уравнения: $2n = 5 + 15$, что дает $2n = 20$. Отсюда $n = 10$.Подставив $n = 10$ во второе уравнение, получим $10 + m = 15$, откуда $m = 5$.Оба числа, $n=10$ и $m=5$, являются натуральными. Это решение подходит.

Мы рассмотрели все возможные пары множителей числа 75. Таким образом, мы нашли все натуральные значения $n$, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: 10, 14, 38.

383. Используя свойства квадратного корня, найдите с помощью таблицы квадратов значение выражения:

а) $\sqrt{57600};$

б) $\sqrt{230400};$

в) $\sqrt{152100};$

г) $\sqrt{129600};$

д) $\sqrt{20,25};$

е) $\sqrt{9,61};$

ж) $\sqrt{0,0484};$

з) $\sqrt{0,3364}.$

а)

Чтобы найти значение выражения $ \sqrt{57600} $, воспользуемся свойством корня из произведения: $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $. Представим подкоренное выражение в виде произведения: $ 57600 = 576 \cdot 100 $. Тогда получаем:

$ \sqrt{57600} = \sqrt{576 \cdot 100} = \sqrt{576} \cdot \sqrt{100} $

По таблице квадратов находим, что $ \sqrt{576} = 24 $ и $ \sqrt{100} = 10 $.

Следовательно, $ 24 \cdot 10 = 240 $.

Ответ: 240

б)

Чтобы найти значение выражения $ \sqrt{230400} $, представим подкоренное выражение как $ 2304 \cdot 100 $ и используем свойство корня из произведения:

$ \sqrt{230400} = \sqrt{2304 \cdot 100} = \sqrt{2304} \cdot \sqrt{100} $

По таблице квадратов находим, что $ \sqrt{2304} = 48 $ и $ \sqrt{100} = 10 $.

Таким образом, $ 48 \cdot 10 = 480 $.

Ответ: 480

в)

Чтобы найти значение выражения $ \sqrt{152100} $, представим подкоренное выражение как $ 1521 \cdot 100 $ и используем свойство корня из произведения:

$ \sqrt{152100} = \sqrt{1521 \cdot 100} = \sqrt{1521} \cdot \sqrt{100} $

По таблице квадратов находим, что $ \sqrt{1521} = 39 $ и $ \sqrt{100} = 10 $.

Следовательно, $ 39 \cdot 10 = 390 $.

Ответ: 390

г)

Чтобы найти значение выражения $ \sqrt{129600} $, представим подкоренное выражение как $ 1296 \cdot 100 $ и используем свойство корня из произведения:

$ \sqrt{129600} = \sqrt{1296 \cdot 100} = \sqrt{1296} \cdot \sqrt{100} $

По таблице квадратов находим, что $ \sqrt{1296} = 36 $ и $ \sqrt{100} = 10 $.

Таким образом, $ 36 \cdot 10 = 360 $.

Ответ: 360

д)

Чтобы найти значение выражения $ \sqrt{20,25} $, воспользуемся свойством корня из частного: $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной:

$ \sqrt{20,25} = \sqrt{\frac{2025}{100}} = \frac{\sqrt{2025}}{\sqrt{100}} $

По таблице квадратов находим, что $ \sqrt{2025} = 45 $ и $ \sqrt{100} = 10 $.

Следовательно, $ \frac{45}{10} = 4,5 $.

Ответ: 4,5

е)

Чтобы найти значение выражения $ \sqrt{9,61} $, представим подкоренное число как дробь и используем свойство корня из частного:

$ \sqrt{9,61} = \sqrt{\frac{961}{100}} = \frac{\sqrt{961}}{\sqrt{100}} $

По таблице квадратов находим, что $ \sqrt{961} = 31 $ и $ \sqrt{100} = 10 $.

Таким образом, $ \frac{31}{10} = 3,1 $.

Ответ: 3,1

ж)

Чтобы найти значение выражения $ \sqrt{0,0484} $, представим подкоренное число как дробь и используем свойство корня из частного:

$ \sqrt{0,0484} = \sqrt{\frac{484}{10000}} = \frac{\sqrt{484}}{\sqrt{10000}} $

По таблице квадратов находим, что $ \sqrt{484} = 22 $ и $ \sqrt{10000} = 100 $.

Следовательно, $ \frac{22}{100} = 0,22 $.

Ответ: 0,22

з)

Чтобы найти значение выражения $ \sqrt{0,3364} $, представим подкоренное число как дробь и используем свойство корня из частного:

$ \sqrt{0,3364} = \sqrt{\frac{3364}{10000}} = \frac{\sqrt{3364}}{\sqrt{10000}} $

По таблице квадратов находим, что $ \sqrt{3364} = 58 $ и $ \sqrt{10000} = 100 $.

Таким образом, $ \frac{58}{100} = 0,58 $.

Ответ: 0,58

385. Найдите значение произведения:

а) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8};$

б) $\sqrt{27} \cdot \sqrt{3};$

в) $\sqrt{28} \cdot \sqrt{7};$

г) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32};$

д) $\sqrt{13} \cdot \sqrt{52};$

е) $\sqrt{63} \cdot \sqrt{7};$

ж) $\sqrt{50} \cdot \sqrt{4,5};$

з) $\sqrt{1,2} \cdot \sqrt{3\frac{1}{3}}.$

а) Чтобы найти значение произведения $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$, воспользуемся свойством умножения квадратных корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
Применим это свойство: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16}$.
Квадратный корень из 16 равен 4. Таким образом, $\sqrt{16} = 4$.
Ответ: 4

б) Найдем произведение $\sqrt{27} \cdot \sqrt{3}$. Используем то же свойство, что и в предыдущем пункте: произведение корней равно корню из произведения подкоренных выражений.
$\sqrt{27} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{27 \cdot 3} = \sqrt{81}$.
Известно, что $9^2 = 81$, поэтому $\sqrt{81} = 9$.
Ответ: 9

в) Вычислим значение выражения $\sqrt{28} \cdot \sqrt{7}$.
$\sqrt{28} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{28 \cdot 7}$.
Чтобы упростить вычисление, разложим число 28 на множители: $28 = 4 \cdot 7$.
$\sqrt{28 \cdot 7} = \sqrt{(4 \cdot 7) \cdot 7} = \sqrt{4 \cdot 7^2}$.
Теперь воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:
$\sqrt{4 \cdot 7^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{7^2} = 2 \cdot 7 = 14$.
Ответ: 14

г) Найдем значение произведения $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$.
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64}$.
Корень из 64 равен 8, так как $8^2=64$.
$\sqrt{64}=8$.
Ответ: 8

д) Вычислим $\sqrt{13} \cdot \sqrt{52}$.
$\sqrt{13} \cdot \sqrt{52} = \sqrt{13 \cdot 52}$.
Разложим 52 на множители, чтобы найти полные квадраты. Заметим, что $52 = 4 \cdot 13$.
$\sqrt{13 \cdot (4 \cdot 13)} = \sqrt{4 \cdot 13^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{13^2} = 2 \cdot 13 = 26$.
Ответ: 26

е) Найдем значение произведения $\sqrt{63} \cdot \sqrt{7}$.
$\sqrt{63} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{63 \cdot 7}$.
Разложим 63 на множители: $63 = 9 \cdot 7$.
$\sqrt{(9 \cdot 7) \cdot 7} = \sqrt{9 \cdot 7^2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{7^2} = 3 \cdot 7 = 21$.
Ответ: 21

ж) Вычислим $\sqrt{50} \cdot \sqrt{4,5}$.
$\sqrt{50} \cdot \sqrt{4,5} = \sqrt{50 \cdot 4,5}$.
Выполним умножение под корнем: $50 \cdot 4,5 = 50 \cdot (4 + 0,5) = 200 + 25 = 225$.
Другой способ: $50 \cdot 4,5 = 50 \cdot \frac{9}{2} = \frac{50 \cdot 9}{2} = 25 \cdot 9 = 225$.
Получаем $\sqrt{225}$.
Так как $15^2 = 225$, то $\sqrt{225} = 15$.
Ответ: 15

з) Найдем значение произведения $\sqrt{1,2} \cdot \sqrt{3\frac{1}{3}}$.
Сначала преобразуем десятичную дробь и смешанное число в неправильные дроби.
$1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$
$3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$
Теперь перемножим корни: $\sqrt{\frac{6}{5}} \cdot \sqrt{\frac{10}{3}} = \sqrt{\frac{6}{5} \cdot \frac{10}{3}}$.
Выполним умножение дробей под корнем: $\frac{6}{5} \cdot \frac{10}{3} = \frac{6 \cdot 10}{5 \cdot 3} = \frac{60}{15} = 4$.
Получаем $\sqrt{4}$, что равно 2.
Ответ: 2