Страница 88 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

365. Расположите в порядке возрастания числа:

а) $\sqrt{2,3}$, $\sqrt{16,4}$, $\sqrt{19,5}$, $\sqrt{0,6}$, $\sqrt{0,07}$;

б) $\sqrt{18}$, $\sqrt{12}$, $4$, $\sqrt{0,3}$, $\sqrt{16,5}$;

в) $\sqrt{0,5}$, $\frac{1}{9}$, $\sqrt{\frac{1}{3}}$, $2\frac{1}{7}$, $\sqrt{2\frac{1}{9}}$;

г) $0,7$, $\sqrt{1,7}$, $-1$, $\sqrt{1\frac{1}{3}}$, $\sqrt{1,04}$.

а)

Для того чтобы расположить числа $\sqrt{2,3}$, $\sqrt{16,4}$, $\sqrt{19,5}$, $\sqrt{0,6}$, $\sqrt{0,07}$ в порядке возрастания, нужно сравнить подкоренные выражения. Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для $x \ge 0$, это означает, что чем больше значение подкоренного выражения, тем больше значение самого корня.

Сравним подкоренные выражения: $2,3$, $16,4$, $19,5$, $0,6$, $0,07$.

Расположим их в порядке возрастания:

$0,07 < 0,6 < 2,3 < 16,4 < 19,5$

Следовательно, и квадратные корни из этих чисел будут расположены в том же порядке:

$\sqrt{0,07} < \sqrt{0,6} < \sqrt{2,3} < \sqrt{16,4} < \sqrt{19,5}$

Ответ: $\sqrt{0,07}$, $\sqrt{0,6}$, $\sqrt{2,3}$, $\sqrt{16,4}$, $\sqrt{19,5}$.

б)

В наборе чисел $\sqrt{18}$, $\sqrt{12}$, $4$, $\sqrt{0,3}$, $\sqrt{16,5}$ есть число без знака корня. Чтобы сравнить все числа, представим $4$ в виде квадратного корня.

$4 = \sqrt{4^2} = \sqrt{16}$

Теперь у нас есть следующий набор чисел: $\sqrt{18}$, $\sqrt{12}$, $\sqrt{16}$, $\sqrt{0,3}$, $\sqrt{16,5}$.

Сравним подкоренные выражения: $18$, $12$, $16$, $0,3$, $16,5$.

Расположим их в порядке возрастания:

$0,3 < 12 < 16 < 16,5 < 18$

Значит, и сами корни будут в том же порядке:

$\sqrt{0,3} < \sqrt{12} < \sqrt{16} < \sqrt{16,5} < \sqrt{18}$

Заменив $\sqrt{16}$ на исходное число $4$, получаем окончательный ряд.

Ответ: $\sqrt{0,3}$, $\sqrt{12}$, $4$, $\sqrt{16,5}$, $\sqrt{18}$.

в)

Чтобы сравнить числа $\sqrt{0,5}$, $\frac{1}{9}$, $\sqrt{\frac{1}{3}}$, $2\frac{1}{7}$, $\sqrt{2\frac{1}{9}}$, приведем их все к одному виду — к квадратным корням. Для этого возведем числа без корня в квадрат и поместим результат под знак корня.

$\frac{1}{9} = \sqrt{(\frac{1}{9})^2} = \sqrt{\frac{1}{81}}$

$2\frac{1}{7} = \frac{15}{7} = \sqrt{(\frac{15}{7})^2} = \sqrt{\frac{225}{49}}$

Теперь сравним подкоренные выражения: $0,5$, $\frac{1}{81}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{225}{49}$, $2\frac{1}{9}$.

Для удобства сравнения преобразуем их: $0,5=\frac{1}{2}$, $2\frac{1}{9}=\frac{19}{9}$. Получаем ряд: $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{81}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{225}{49}$, $\frac{19}{9}$.

Сравним эти дроби. Можно привести их к десятичному виду:

$\frac{1}{81} \approx 0,012$

$\frac{1}{3} \approx 0,333$

$\frac{1}{2} = 0,5$

$\frac{19}{9} \approx 2,111$

$\frac{225}{49} \approx 4,592$

Расположим подкоренные выражения в порядке возрастания:

$\frac{1}{81} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} < \frac{19}{9} < \frac{225}{49}$

Следовательно, исходные числа в порядке возрастания:

$\frac{1}{9} < \sqrt{\frac{1}{3}} < \sqrt{0,5} < \sqrt{2\frac{1}{9}} < 2\frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{9}$, $\sqrt{\frac{1}{3}}$, $\sqrt{0,5}$, $\sqrt{2\frac{1}{9}}$, $2\frac{1}{7}$.

г)

В наборе чисел $0,7$, $\sqrt{1,7}$, $-1$, $\sqrt{1\frac{1}{3}}$, $\sqrt{1,04}$ есть одно отрицательное число, $-1$. Оно будет наименьшим, так как все остальные числа положительны.

Теперь сравним остальные числа: $0,7$, $\sqrt{1,7}$, $\sqrt{1\frac{1}{3}}$, $\sqrt{1,04}$.

Представим $0,7$ в виде квадратного корня:

$0,7 = \sqrt{0,7^2} = \sqrt{0,49}$

Сравним подкоренные выражения: $0,49$, $1,7$, $1\frac{1}{3}$, $1,04$.

Преобразуем смешанную дробь в десятичную для удобства: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3} \approx 1,333...$

Расположим подкоренные выражения в порядке возрастания:

$0,49 < 1,04 < 1,333... < 1,7$

Это соответствует следующему порядку для положительных чисел:

$0,7 < \sqrt{1,04} < \sqrt{1\frac{1}{3}} < \sqrt{1,7}$

Учитывая наименьшее число $-1$, получаем итоговый ряд.

Ответ: $-1$, $0,7$, $\sqrt{1,04}$, $\sqrt{1\frac{1}{3}}$, $\sqrt{1,7}$.

367. Имеет ли смысл выражение:

a) $ \sqrt{(-9)^2} $;

б) $ (\sqrt{-9})^2 $;

в) $ -\sqrt{9^2} $;

г) $ -\sqrt{(-9)^2} $?

а) $\sqrt{(-9)^2}$

Чтобы определить, имеет ли смысл данное выражение, необходимо проверить, является ли подкоренное выражение неотрицательным. Подкоренное выражение здесь — это $(-9)^2$.

Выполним возведение в степень: $(-9)^2 = (-9) \cdot (-9) = 81$.

Поскольку $81$ — это положительное число ($81 \ge 0$), из него можно извлечь квадратный корень. Выражение $\sqrt{81}$ равно $9$.

Таким образом, исходное выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

б) $(\sqrt{-9})^2$

В этом выражении сначала нужно вычислить значение в скобках, то есть $\sqrt{-9}$.

Согласно определению арифметического квадратного корня, подкоренное выражение не может быть отрицательным. В данном случае под корнем стоит число $-9$, которое меньше нуля.

Выражение $\sqrt{-9}$ не определено в множестве действительных чисел, поэтому и все выражение в целом не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

в) $-\sqrt{9^2}$

Рассмотрим выражение под знаком корня: $9^2$.

Вычислим его значение: $9^2 = 81$.

Так как $81 \ge 0$, выражение $\sqrt{9^2}$ имеет смысл и равно $\sqrt{81} = 9$.

Исходное выражение представляет собой число, противоположное этому значению: $-\sqrt{9^2} = -(\sqrt{81}) = -9$.

Так как мы можем вычислить значение выражения, оно имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

г) $-\sqrt{(-9)^2}$

Сначала рассмотрим выражение под знаком корня: $(-9)^2$.

Вычислим его значение: $(-9)^2 = 81$.

Так как $81 \ge 0$, выражение $\sqrt{(-9)^2}$ имеет смысл. Оно равно $\sqrt{81} = 9$.

Исходное выражение представляет собой число, противоположное этому значению: $-\sqrt{(-9)^2} = -(\sqrt{81}) = -9$.

Следовательно, выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

364. Сравните числа:

a) $\sqrt{27}$ и $\sqrt{28}$;

б) $\sqrt{1,3}$ и $\sqrt{1,5}$;

в) $\sqrt{7}$ и $3$;

г) $\sqrt{6,25}$ и $2,5$;

д) $\sqrt{\frac{1}{5}}$ и $\sqrt{\frac{1}{6}}$;

е) $\sqrt{0,8}$ и $1$;

ж) $\sqrt{0,18}$ и $0,4$;

з) $\sqrt{\frac{4}{5}}$ и $\sqrt{\frac{5}{6}}$;

и) $\sqrt{3,5}$ и $\sqrt{3\frac{2}{3}}$.

а) Для сравнения чисел $\sqrt{27}$ и $\sqrt{28}$ воспользуемся свойством квадратного корня: для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$, если $a < b$, то $\sqrt{a} < \sqrt{b}$. Сравним подкоренные выражения: $27$ и $28$. Так как $27 < 28$, то и $\sqrt{27} < \sqrt{28}$.
Ответ: $\sqrt{27} < \sqrt{28}$.

б) Сравниваем числа $\sqrt{1,3}$ и $\sqrt{1,5}$. Оба числа находятся под знаком корня. Сравним подкоренные выражения: $1,3$ и $1,5$. Так как $1,3 < 1,5$, то $\sqrt{1,3} < \sqrt{1,5}$.
Ответ: $\sqrt{1,3} < \sqrt{1,5}$.

в) Чтобы сравнить $\sqrt{7}$ и $3$, представим число $3$ в виде квадратного корня. Для любого неотрицательного числа $c$ верно, что $c = \sqrt{c^2}$. Таким образом, $3 = \sqrt{3^2} = \sqrt{9}$. Теперь сравним $\sqrt{7}$ и $\sqrt{9}$. Поскольку $7 < 9$, то $\sqrt{7} < \sqrt{9}$, а значит $\sqrt{7} < 3$.
Ответ: $\sqrt{7} < 3$.

г) Сравним $\sqrt{6,25}$ и $2,5$. Можно извлечь корень из $6,25$. Мы знаем, что $25^2 = 625$, следовательно, $(2,5)^2 = 6,25$. Таким образом, $\sqrt{6,25} = 2,5$. Числа равны. Альтернативный способ — представить $2,5$ в виде корня: $2,5 = \sqrt{(2,5)^2} = \sqrt{6,25}$. Сравнивая $\sqrt{6,25}$ и $\sqrt{6,25}$, видим, что они равны.
Ответ: $\sqrt{6,25} = 2,5$.

д) Сравним $\sqrt{\frac{1}{5}}$ и $\sqrt{\frac{1}{6}}$. Для этого сравним подкоренные выражения: дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{6}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $5 < 6$, то $\frac{1}{5} > \frac{1}{6}$. Следовательно, $\sqrt{\frac{1}{5}} > \sqrt{\frac{1}{6}}$.
Ответ: $\sqrt{\frac{1}{5}} > \sqrt{\frac{1}{6}}$.

е) Чтобы сравнить $\sqrt{0,8}$ и $1$, представим $1$ как квадратный корень: $1 = \sqrt{1^2} = \sqrt{1}$. Теперь сравним $\sqrt{0,8}$ и $\sqrt{1}$. Так как $0,8 < 1$, то $\sqrt{0,8} < \sqrt{1}$, а значит $\sqrt{0,8} < 1$.
Ответ: $\sqrt{0,8} < 1$.

ж) Сравним $\sqrt{0,18}$ и $0,4$. Представим $0,4$ в виде квадратного корня: $0,4 = \sqrt{(0,4)^2} = \sqrt{0,16}$. Теперь сравним $\sqrt{0,18}$ и $\sqrt{0,16}$. Так как $0,18 > 0,16$, то $\sqrt{0,18} > \sqrt{0,16}$, следовательно, $\sqrt{0,18} > 0,4$.
Ответ: $\sqrt{0,18} > 0,4$.

з) Сравним $\sqrt{\frac{4}{5}}$ и $\sqrt{\frac{5}{6}}$. Для этого сравним подкоренные выражения: $\frac{4}{5}$ и $\frac{5}{6}$. Чтобы сравнить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для $5$ и $6$ — это $30$. $\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{24}{30}$. $\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{25}{30}$. Так как $24 < 25$, то $\frac{24}{30} < \frac{25}{30}$, а значит $\frac{4}{5} < \frac{5}{6}$. Следовательно, $\sqrt{\frac{4}{5}} < \sqrt{\frac{5}{6}}$.
Ответ: $\sqrt{\frac{4}{5}} < \sqrt{\frac{5}{6}}$.

и) Сравним $\sqrt{3,5}$ и $\sqrt{3\frac{2}{3}}$. Сравним подкоренные выражения: $3,5$ и $3\frac{2}{3}$. Представим оба числа в виде неправильных дробей. $3,5 = 3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$. $3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$. Теперь приведем дроби $\frac{7}{2}$ и $\frac{11}{3}$ к общему знаменателю $6$. $\frac{7}{2} = \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{21}{6}$. $\frac{11}{3} = \frac{11 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{22}{6}$. Так как $21 < 22$, то $\frac{21}{6} < \frac{22}{6}$, что означает $3,5 < 3\frac{2}{3}$. Следовательно, $\sqrt{3,5} < \sqrt{3\frac{2}{3}}$.
Ответ: $\sqrt{3,5} < \sqrt{3\frac{2}{3}}$.

366. Найдите значение выражения:

а) $0,5\sqrt{121} + 3\sqrt{0,81}$;

б) $\sqrt{144} \cdot \sqrt{900} \cdot \sqrt{0,01}$;

в) $\sqrt{400 - (4\sqrt{0,5})^2}$;

г) $(-3\sqrt{\frac{1}{3}})^2 - 10\sqrt{0,64}$;

д) $(-\sqrt{\frac{1}{11}})^2 - 5\sqrt{0,16}$;

е) $(-6\sqrt{\frac{1}{6}})^2 - 4\sqrt{0,36}$.

а) Для нахождения значения выражения $0,5\sqrt{121} + 3\sqrt{0,81}$ сначала вычислим значения квадратных корней. Поскольку $11^2=121$, то $\sqrt{121} = 11$. Поскольку $0,9^2=0,81$, то $\sqrt{0,81} = 0,9$. Теперь подставим эти значения в исходное выражение и выполним вычисления: $0,5 \cdot 11 + 3 \cdot 0,9 = 5,5 + 2,7 = 8,2$.
Ответ: 8,2

б) В выражении $\sqrt{144} \cdot \sqrt{900} \cdot \sqrt{0,01}$ сначала извлечем каждый корень по отдельности: $\sqrt{144} = 12$, $\sqrt{900} = 30$, $\sqrt{0,01} = 0,1$. Затем перемножим полученные результаты: $12 \cdot 30 \cdot 0,1 = 360 \cdot 0,1 = 36$.
Ответ: 36

в) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{400 - (4\sqrt{0,5})^2}$, первым действием выполним операцию в скобках, возведя ее в квадрат. Используем свойство $(ab)^2=a^2b^2$: $(4\sqrt{0,5})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{0,5})^2 = 16 \cdot 0,5 = 8$. Теперь подставим результат в подкоренное выражение: $\sqrt{400 - 8} = \sqrt{392}$. Для упрощения корня разложим 392 на множители: $392 = 196 \cdot 2$. Тогда $\sqrt{392} = \sqrt{196 \cdot 2} = \sqrt{196} \cdot \sqrt{2} = 14\sqrt{2}$.
Ответ: $14\sqrt{2}$

г) В выражении $(-3\sqrt{\frac{1}{3}})^2 - 10\sqrt{0,64}$ сначала выполним возведение в квадрат и извлечение корня. Первое слагаемое: $(-3\sqrt{\frac{1}{3}})^2 = (-3)^2 \cdot (\sqrt{\frac{1}{3}})^2 = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3$. Второе слагаемое: $10\sqrt{0,64} = 10 \cdot 0,8 = 8$. Теперь выполним вычитание: $3 - 8 = -5$.
Ответ: -5

д) Для вычисления $(-\sqrt{\frac{1}{11}})^2 - 5\sqrt{0,16}$ выполним действия по частям. Возведение в квадрат: $(-\sqrt{\frac{1}{11}})^2 = \frac{1}{11}$. Вычисление второго члена: $5\sqrt{0,16} = 5 \cdot 0,4 = 2$. Теперь найдем разность: $\frac{1}{11} - 2 = \frac{1}{11} - \frac{22}{11} = -\frac{21}{11}$.
Ответ: $-\frac{21}{11}$

е) В выражении $(-6\sqrt{\frac{1}{6}})^2 - 4\sqrt{0,36}$ сначала упростим каждый член. Первый член: $(-6\sqrt{\frac{1}{6}})^2 = (-6)^2 \cdot (\sqrt{\frac{1}{6}})^2 = 36 \cdot \frac{1}{6} = 6$. Второй член: $4\sqrt{0,36} = 4 \cdot 0,6 = 2,4$. Найдем их разность: $6 - 2,4 = 3,6$.
Ответ: 3,6

368. Решите уравнения:

a) $x^2 = 11$ и $\sqrt{x} = 11$;

б) $2x^2 = \frac{1}{2}$ и $2\sqrt{x} = \frac{1}{2}$.

а)

Решение уравнения $x^2 = 11$:
Это квадратное уравнение. Чтобы найти $x$, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку $11$ — положительное число, уравнение имеет два действительных корня.
$x = \pm\sqrt{11}$.
Ответ: $x_1 = \sqrt{11}, x_2 = -\sqrt{11}$.

Решение уравнения $\sqrt{x} = 11$:
По определению, арифметический квадратный корень определён для неотрицательных чисел, поэтому область допустимых значений для $x$ — это $x \ge 0$.
Чтобы найти $x$, возведём обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 11^2$
$x = 121$.
Полученное значение $x = 121$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.
Ответ: $x = 121$.

б)

Решение уравнения $2x^2 = \frac{1}{2}$:
Сначала разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $x^2$:
$x^2 = \frac{1}{2} \div 2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
Теперь извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$
$x = \pm\frac{1}{2}$.
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = -\frac{1}{2}$.

Решение уравнения $2\sqrt{x} = \frac{1}{2}$:
Область допустимых значений для $x$ — это $x \ge 0$.
Разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $\sqrt{x}$:
$\sqrt{x} = \frac{1}{2} \div 2 = \frac{1}{4}$.
Возведём обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2$
$x = \frac{1}{16}$.
Полученное значение $x = \frac{1}{16}$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.
Ответ: $x = \frac{1}{16}$.

1 Сформулируйте определение арифметического квадратного корня.
При каких значениях $a$ выражение $\sqrt{a}$ имеет смысл?

Сформулируйте определение арифметического квадратного корня.

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число $b$, квадрат которого равен $a$.

Это можно записать в виде равносильной системы:
Выражение $\sqrt{a} = b$ эквивалентно выполнению двух условий:

1. $b^2 = a$
2. $b \ge 0$

Из самого определения следует, что подкоренное выражение $a$ также должно быть неотрицательным ($a \ge 0$), так как квадрат любого действительного числа ($b^2$) не может быть отрицательным.

Например: $\sqrt{25} = 5$, потому что $5 \ge 0$ и $5^2 = 25$.
Хотя $(-5)^2$ также равно $25$, число $-5$ не является арифметическим квадратным корнем из $25$, так как оно отрицательное.

Ответ: Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.

При каких значениях a выражение $\sqrt{a}$ имеет смысл?

Выражение $\sqrt{a}$ (арифметический квадратный корень) имеет смысл в области действительных чисел тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно.

Это следует из определения, так как не существует такого действительного числа $b$, квадрат которого ($b^2$) был бы отрицательным числом. Если бы мы предположили, что $a < 0$, то уравнение $b^2 = a$ не имело бы решений в множестве действительных чисел.

Таким образом, для того чтобы выражение $\sqrt{a}$ имело смысл, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: $$ a \ge 0 $$

Ответ: Выражение $\sqrt{a}$ имеет смысл при $a \ge 0$.

3 Покажите на примере, как извлекается квадратный корень с помощью калькулятора.

Извлечение квадратного корня с помощью калькулятора — это операция по нахождению числа, которое при умножении само на себя даст исходное число. На большинстве калькуляторов для этого есть специальная кнопка, которая обычно обозначается символом $ \sqrt{} $ или $ \sqrt{x} $.

Порядок действий может отличаться в зависимости от модели калькулятора, но обычно сводится к двум основным вариантам. Рассмотрим их на примерах.

Пример 1: Извлечение корня из числа, являющегося точным квадратом

Найдем квадратный корень из числа 169. В математической записи это выглядит как $ \sqrt{169} $.

Вариант А (сначала число, потом корень):

1. Включите калькулятор.
2. Введите на клавиатуре число 169.
3. Нажмите кнопку извлечения квадратного корня $ \sqrt{} $.
4. На дисплее калькулятора появится результат: 13.

Вариант Б (сначала корень, потом число):

1. Включите калькулятор.
2. Нажмите кнопку извлечения квадратного корня $ \sqrt{} $.
3. Введите число 169.
4. Нажмите кнопку "равно" =.
5. На дисплее также появится результат: 13.

Для проверки можно возвести полученный результат в квадрат: $ 13^2 = 13 \times 13 = 169 $. Результат верный.

Ответ: $ \sqrt{169} = 13 $.

Пример 2: Извлечение корня из числа, не являющегося точным квадратом

Найдем квадратный корень из числа 8. Математическая запись: $ \sqrt{8} $.

Действия выполняются аналогично первому примеру, используя один из двух вариантов, описанных выше.

1. Введите 8, затем нажмите $ \sqrt{} $.
2. Либо нажмите $ \sqrt{} $, введите 8, а затем =.

Так как 8 не является точным квадратом целого числа, результат будет иррациональным числом. Калькулятор покажет его приближенное значение, округленное до определенного количества знаков после запятой.

На дисплее появится что-то вроде 2.8284271247.

Проверка: если возвести $ 2.8284271 $ в квадрат, мы получим $ 7.9999998... $, что очень близко к 8. Расхождение связано с округлением.

Ответ: $ \sqrt{8} \approx 2.828427 $ (точное количество знаков зависит от модели калькулятора).

5 Как расположен график функции $y = \sqrt{x}$ в координатной плоскости? Пересекает ли этот график прямую $y = 25$; $y = 100$; $y = 10 000$?

Как расположен график функции y = √x в координатной плоскости?

График функции $y = \sqrt{x}$ расположен в первой координатной четверти. Это следует из свойств функции:
1. Область определения: выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Это означает, что график лежит в правой полуплоскости (справа от оси Oy или на ней).
2. Область значений: по определению, арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, то есть $y \ge 0$. Это означает, что график лежит в верхней полуплоскости (выше оси Ox или на ней).

Совмещение этих двух условий ($x \ge 0$ и $y \ge 0$) означает, что график целиком находится в I координатной четверти.
График представляет собой ветвь параболы, которая "лежит на боку" (часть параболы $x = y^2$). Он начинается в точке начала координат $(0, 0)$ и является монотонно возрастающей функцией: с увеличением $x$ значение $y$ также увеличивается.

Ответ: График функции $y=\sqrt{x}$ расположен в первой координатной четверти, начинается в точке $(0, 0)$ и монотонно возрастает.

Пересекает ли этот график прямую y = 25; y = 100; y = 10 000?

Да, график функции пересекает все три прямые.
Чтобы определить, пересекает ли график функции $y = \sqrt{x}$ горизонтальную прямую $y = c$, нужно выяснить, имеет ли уравнение $\sqrt{x} = c$ решение. Такое уравнение имеет решение для любого неотрицательного значения $c$, так как область значений функции $y=\sqrt{x}$ — это множество всех неотрицательных чисел ($y \ge 0$).

Поскольку все заданные значения $y$ (25, 100, 10 000) положительны, то пересечения существуют. Найдем точки пересечения для каждого случая:

1. Для прямой $y=25$:
Решаем уравнение $\sqrt{x} = 25$. Возводим обе части в квадрат: $x = 25^2 = 625$.
Точка пересечения — $(625, 25)$.

2. Для прямой $y=100$:
Решаем уравнение $\sqrt{x} = 100$. Возводим обе части в квадрат: $x = 100^2 = 10\;000$.
Точка пересечения — $(10\;000, 100)$.

3. Для прямой $y=10\;000$:
Решаем уравнение $\sqrt{x} = 10\;000$. Возводим обе части в квадрат: $x = (10\;000)^2 = 100\;000\;000$.
Точка пересечения — $(100\;000\;000, 10\;000)$.

Ответ: Да, график функции $y=\sqrt{x}$ пересекает прямые $y=25$, $y=100$ и $y=10\;000$.

Имеет ли уравнение $x^2 = a$ корни при $a > 0, a = 0, a < 0$, и если имеет, то сколько?

при $a > 0$
Рассмотрим уравнение $x^2 = a$. Поскольку $a$ — это положительное число, мы можем извлечь из него квадратный корень. Уравнение будет иметь два различных действительных корня, так как квадрат как положительного, так и отрицательного числа дает положительный результат. Этими корнями являются $x_1 = \sqrt{a}$ и $x_2 = -\sqrt{a}$. Например, если $a=25$, то уравнение $x^2 = 25$ имеет корни $x=5$ и $x=-5$.
Ответ: да, уравнение имеет два корня.

при $a = 0$
Уравнение принимает вид $x^2 = 0$. Единственное число, квадрат которого равен нулю, — это сам ноль. Следовательно, уравнение имеет только один корень: $x = 0$.
Ответ: да, уравнение имеет один корень.

при $a < 0$
Рассмотрим уравнение $x^2 = a$, где $a$ — отрицательное число. Левая часть уравнения, $x^2$, является квадратом действительного числа, и поэтому она всегда неотрицательна, то есть $x^2 \ge 0$. Правая часть уравнения, $a$, по условию является отрицательным числом, то есть $a < 0$. Неотрицательное число не может быть равно отрицательному, поэтому в множестве действительных чисел данное уравнение решений не имеет.
Ответ: нет, уравнение не имеет корней.

4 Какова область определения функции $y = \sqrt{x}$?

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (переменной $x$), при которых функция имеет смысл.

Рассмотрим заданную функцию $y = \sqrt{x}$. Эта функция представляет собой арифметический квадратный корень.

По определению, арифметический квадратный корень из числа $a$ — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. Из этого определения следует, что выражение под знаком корня (подкоренное выражение) не может быть отрицательным.

В нашем случае подкоренное выражение — это $x$. Следовательно, для того чтобы функция $y = \sqrt{x}$ была определена, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство:

$x \ge 0$

Это означает, что аргумент $x$ может принимать любые значения от нуля (включительно) до плюс бесконечности. Данное множество значений можно записать в виде числового промежутка.

Ответ: Областью определения функции $y = \sqrt{x}$ является промежуток $[0; +\infty)$, или, в виде неравенства, $x \ge 0$.