Страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

394. Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{x^2}$ при $x = 22$; $-35$; $-1\frac{2}{3}$; $0$;

б) $2\sqrt{a^2}$ при $a = -7$; $12$;

в) $0,1\sqrt{y^2}$ при $y = -15$; $27$.

а) Для нахождения значения выражения $ \sqrt{x^2} $ воспользуемся свойством арифметического квадратного корня, согласно которому $ \sqrt{a^2} = |a| $. Это означает, что корень из квадрата числа равен модулю этого числа.
При $ x = 22 $: $ \sqrt{22^2} = |22| = 22 $.
При $ x = -35 $: $ \sqrt{(-35)^2} = |-35| = 35 $.
При $ x = -1\frac{2}{3} $: $ \sqrt{\left(-1\frac{2}{3}\right)^2} = \left|-1\frac{2}{3}\right| = 1\frac{2}{3} $.
При $ x = 0 $: $ \sqrt{0^2} = |0| = 0 $.
Ответ: $22; 35; 1\frac{2}{3}; 0$.

б) Упростим выражение $ 2\sqrt{a^2} $, используя тождество $ \sqrt{a^2} = |a| $. Получим $ 2\sqrt{a^2} = 2 \cdot |a| $. Теперь подставим заданные значения $a$.
При $ a = -7 $: $ 2\sqrt{(-7)^2} = 2 \cdot |-7| = 2 \cdot 7 = 14 $.
При $ a = 12 $: $ 2\sqrt{12^2} = 2 \cdot |12| = 2 \cdot 12 = 24 $.
Ответ: $14; 24$.

в) Выражение $ 0,1\sqrt{y^2} $ можно преобразовать к виду $ 0,1 \cdot |y| $, так как $ \sqrt{y^2} = |y| $. Подставим значения $y$ в это выражение.
При $ y = -15 $: $ 0,1\sqrt{(-15)^2} = 0,1 \cdot |-15| = 0,1 \cdot 15 = 1,5 $.
При $ y = 27 $: $ 0,1\sqrt{27^2} = 0,1 \cdot |27| = 0,1 \cdot 27 = 2,7 $.
Ответ: $1,5; 2,7$.

396. Упростите выражение:

а) $\sqrt{a^2}$, если $a > 0$;

б) $\sqrt{n^2}$, если $n < 0$;

в) $3\sqrt{c^2}$, если $c \ge 0$;

г) $-5\sqrt{y^2}$, если $y > 0$;

д) $\sqrt{36x^2}$, если $x \le 0$;

е) $-\sqrt{9y^2}$, если $y < 0$;

ж) $-5\sqrt{4x^2}$, если $x \ge 0$;

з) $0,5\sqrt{16a^2}$, если $a < 0$.

Для решения всех подпунктов используется основное свойство арифметического квадратного корня: $\sqrt{x^2} = |x|$, где $|x|$ — модуль числа $x$. Модуль числа определяется следующим образом:

• $|x| = x$, если $x \ge 0$
• $|x| = -x$, если $x < 0$

а) Упростим выражение $\sqrt{a^2}$ при условии, что $a > 0$.
Согласно свойству корня, $\sqrt{a^2} = |a|$.
Поскольку по условию $a > 0$, то по определению модуля $|a| = a$.
Ответ: $a$

б) Упростим выражение $\sqrt{n^2}$ при условии, что $n < 0$.
Согласно свойству корня, $\sqrt{n^2} = |n|$.
Поскольку по условию $n < 0$, то по определению модуля $|n| = -n$.
Ответ: $-n$

в) Упростим выражение $3\sqrt{c^2}$ при условии, что $c \ge 0$.
Сначала упростим корень: $\sqrt{c^2} = |c|$.
Тогда выражение принимает вид $3|c|$.
Поскольку по условию $c \ge 0$, то $|c| = c$.
Следовательно, $3|c| = 3c$.
Ответ: $3c$

г) Упростим выражение $-5\sqrt{y^2}$ при условии, что $y > 0$.
Упростим корень: $\sqrt{y^2} = |y|$.
Выражение принимает вид $-5|y|$.
Поскольку по условию $y > 0$, то $|y| = y$.
Следовательно, $-5|y| = -5y$.
Ответ: $-5y$

д) Упростим выражение $\sqrt{36x^2}$ при условии, что $x \le 0$.
Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $36x^2 = (6x)^2$.
Тогда $\sqrt{36x^2} = \sqrt{(6x)^2} = |6x|$.
Поскольку по условию $x \le 0$, то и $6x \le 0$.
Следовательно, по определению модуля $|6x| = -(6x) = -6x$.
Ответ: $-6x$

е) Упростим выражение $-\sqrt{9y^2}$ при условии, что $y < 0$.
Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $9y^2 = (3y)^2$.
Тогда выражение принимает вид $-\sqrt{(3y)^2} = -|3y|$.
Поскольку по условию $y < 0$, то и $3y < 0$.
Следовательно, $|3y| = -(3y) = -3y$.
Подставляем это в выражение: $-(-3y) = 3y$.
Ответ: $3y$

ж) Упростим выражение $-5\sqrt{4x^2}$ при условии, что $x \ge 0$.
Представим выражение под корнем в виде квадрата: $4x^2 = (2x)^2$.
Тогда выражение принимает вид $-5\sqrt{(2x)^2} = -5|2x|$.
Поскольку по условию $x \ge 0$, то и $2x \ge 0$.
Следовательно, $|2x| = 2x$.
Подставляем в выражение: $-5(2x) = -10x$.
Ответ: $-10x$

з) Упростим выражение $0,5\sqrt{16a^2}$ при условии, что $a < 0$.
Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $16a^2 = (4a)^2$.
Тогда выражение принимает вид $0,5\sqrt{(4a)^2} = 0,5|4a|$.
Поскольку по условию $a < 0$, то и $4a < 0$.
Следовательно, $|4a| = -(4a) = -4a$.
Подставляем в выражение: $0,5(-4a) = -2a$.
Ответ: $-2a$

398. (Для работы в парах.) Пользуясь калькулятором, найдите значение выражения $ \sqrt{9 - 6\sqrt{x} + x} $ при $x$, равном: а) 2,71; б) 12,62.

1) Обсудите, как можно упростить выражение, и выполните намеченное преобразование.

2) Распределите, кто вычисляет значение выражения для случая а), а кто — для случая б), и выполните вычисления.

3) Проверьте друг у друга правильность выполненных преобразований и вычислений.

1)

Рассмотрим подкоренное выражение $9 - 6\sqrt{x} + x$. Его можно преобразовать, заметив, что оно похоже на формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Представим члены выражения в следующем виде:

$9 = 3^2$

$x = (\sqrt{x})^2$

$6\sqrt{x} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{x}$

Таким образом, подкоренное выражение является полным квадратом:

$9 - 6\sqrt{x} + x = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 = (3 - \sqrt{x})^2$.

Теперь исходное выражение можно записать как:

$\sqrt{9 - 6\sqrt{x} + x} = \sqrt{(3 - \sqrt{x})^2}$

Используя свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем упрощенное выражение:

$\sqrt{(3 - \sqrt{x})^2} = |3 - \sqrt{x}|$.

Ответ: Выражение $\sqrt{9 - 6\sqrt{x} + x}$ можно упростить до вида $|3 - \sqrt{x}|$.

2)

Теперь вычислим значение упрощенного выражения $|3 - \sqrt{x}|$ для заданных значений $x$ с помощью калькулятора.

а) При $x = 2,71$:

Подставляем значение $x$ в упрощенное выражение: $|3 - \sqrt{2,71}|$.

Сравним числа $3$ и $\sqrt{2,71}$. Так как $3^2 = 9$, а $(\sqrt{2,71})^2 = 2,71$, и $9 > 2,71$, то $3 > \sqrt{2,71}$.

Следовательно, разность $3 - \sqrt{2,71}$ положительна, и модуль раскрывается со знаком плюс:

$|3 - \sqrt{2,71}| = 3 - \sqrt{2,71}$.

С помощью калькулятора находим:

$3 - \sqrt{2,71} \approx 3 - 1,6462077... \approx 1,3537923$.

Ответ: 1,3537923

б) При $x = 12,62$:

Подставляем значение $x$ в упрощенное выражение: $|3 - \sqrt{12,62}|$.

Сравним числа $3$ и $\sqrt{12,62}$. Так как $3^2 = 9$, а $(\sqrt{12,62})^2 = 12,62$, и $9 < 12,62$, то $3 < \sqrt{12,62}$.

Следовательно, разность $3 - \sqrt{12,62}$ отрицательна, и модуль раскрывается со знаком минус:

$|3 - \sqrt{12,62}| = -(3 - \sqrt{12,62}) = \sqrt{12,62} - 3$.

С помощью калькулятора находим:

$\sqrt{12,62} - 3 \approx 3,5524639... - 3 \approx 0,5524639$.

Ответ: 0,5524639

400. Упростите выражение:

а) $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$;

б) $\sqrt{6-2\sqrt{5}}$;

в) $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$;

г) $\sqrt{3-\sqrt{8}}$.

Для упрощения данных выражений мы воспользуемся формулой для сложных радикалов, которая позволяет представить подкоренное выражение в виде полного квадрата. Общая формула: $\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}} = \sqrt{(\sqrt{x} \pm \sqrt{y})^2} = |\sqrt{x} \pm \sqrt{y}|$, где $x+y=A$ и $xy=B$.

а) $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$

Сначала приведем выражение к виду $\sqrt{A+2\sqrt{B}}$.

$\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{7+2 \cdot 2\sqrt{3}} = \sqrt{7+2\sqrt{4 \cdot 3}} = \sqrt{7+2\sqrt{12}}$.

Теперь нам нужно найти два числа, $x$ и $y$, для которых выполняются условия:

$x+y=7$

$xy=12$

По теореме Виета или методом подбора легко находим, что эти числа — 4 и 3.

Теперь мы можем представить подкоренное выражение в виде квадрата суммы:

$7+2\sqrt{12} = (4+3) + 2\sqrt{4 \cdot 3} = (\sqrt{4})^2 + (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{4}\sqrt{3} = (\sqrt{4}+\sqrt{3})^2 = (2+\sqrt{3})^2$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = |2+\sqrt{3}|$.

Так как $2+\sqrt{3}$ — положительное число, модуль можно опустить.

$\sqrt{7+4\sqrt{3}} = 2+\sqrt{3}$.

Ответ: $2+\sqrt{3}$.

б) $\sqrt{6-2\sqrt{5}}$

Данное выражение уже имеет вид $\sqrt{A-2\sqrt{B}}$, где $A=6$ и $B=5$.

Ищем два числа, $x$ и $y$, такие что:

$x+y=6$

$xy=5$

Очевидно, что этими числами являются 5 и 1.

Представим подкоренное выражение в виде квадрата разности. Важно, чтобы результат извлечения корня был положительным, поэтому из большего числа вычитаем меньшее: $\sqrt{x} > \sqrt{y}$.

$6-2\sqrt{5} = (5+1) - 2\sqrt{5 \cdot 1} = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{1})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{1} = (\sqrt{5}-1)^2$.

Тогда:

$\sqrt{6-2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} = |\sqrt{5}-1|$.

Поскольку $\sqrt{5} \approx 2.236$, то $\sqrt{5}-1 > 0$, поэтому модуль можно убрать.

$\sqrt{6-2\sqrt{5}} = \sqrt{5}-1$.

Ответ: $\sqrt{5}-1$.

в) $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$

Выражение имеет вид $\sqrt{A+2\sqrt{B}}$, где $A=5$ и $B=6$.

Найдём два числа, $x$ и $y$, удовлетворяющие системе уравнений:

$x+y=5$

$xy=6$

Нетрудно видеть, что это числа 3 и 2.

Представим подкоренное выражение как полный квадрат:

$5+2\sqrt{6} = (3+2) + 2\sqrt{3 \cdot 2} = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$.

Следовательно, можем упростить исходное выражение:

$\sqrt{5+2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2} = |\sqrt{3}+\sqrt{2}| = \sqrt{3}+\sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{3}+\sqrt{2}$.

г) $\sqrt{3-\sqrt{8}}$

Сначала преобразуем радикал $\sqrt{8}$, чтобы выделить множитель 2 перед ним:

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Исходное выражение принимает вид $\sqrt{3-2\sqrt{2}}$.

Теперь оно соответствует форме $\sqrt{A-2\sqrt{B}}$, где $A=3$ и $B=2$.

Ищем числа $x$ и $y$, для которых:

$x+y=3$

$xy=2$

Этими числами являются 2 и 1.

Запишем подкоренное выражение в виде квадрата разности (учитывая, что $\sqrt{2} > \sqrt{1}$):

$3-2\sqrt{2} = (2+1) - 2\sqrt{2 \cdot 1} = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{1})^2 - 2\sqrt{2}\sqrt{1} = (\sqrt{2}-1)^2$.

Тогда:

$\sqrt{3-\sqrt{8}} = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = |\sqrt{2}-1|$.

Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $\sqrt{2}-1 > 0$, и модуль можно опустить.

$\sqrt{3-\sqrt{8}} = \sqrt{2}-1$.

Ответ: $\sqrt{2}-1$.

393. Вычислите:

а) $\sqrt{(0,1)^2}$;

б) $\sqrt{(-0,4)^2}$;

в) $\sqrt{(-0,8)^2}$;

г) $\sqrt{(1,7)^2}$;

д) $\sqrt{(-19)^2}$;

е) $\sqrt{24^2}$;

ж) $2\sqrt{(-23)^2}$;

з) $5\sqrt{52^2}$;

и) $0,2\sqrt{(-61)^2}$.

а) Для любого числа $a$ справедливо равенство $\sqrt{a^2} = |a|$. Модуль неотрицательного числа равен самому числу.
$\sqrt{(0,1)^2} = |0,1| = 0,1$.
Ответ: 0,1

б) Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.
$\sqrt{(-0,4)^2} = |-0,4| = 0,4$.
Ответ: 0,4

в) Согласно свойству квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$:
$\sqrt{(-0,8)^2} = |-0,8| = 0,8$.
Ответ: 0,8

г) Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:
$\sqrt{(1,7)^2} = |1,7| = 1,7$.
Ответ: 1,7

д) Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:
$\sqrt{(-19)^2} = |-19| = 19$.
Ответ: 19

е) Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:
$\sqrt{24^2} = |24| = 24$.
Ответ: 24

ж) Сначала вычислим значение корня, а затем умножим на коэффициент перед ним.
$\sqrt{(-23)^2} = |-23| = 23$.
$2 \cdot \sqrt{(-23)^2} = 2 \cdot 23 = 46$.
Ответ: 46

з) Вычислим значение выражения по частям.
$\sqrt{52^2} = |52| = 52$.
$5 \cdot \sqrt{52^2} = 5 \cdot 52 = 260$.
Ответ: 260

и) Вычислим значение выражения по частям.
$\sqrt{(-61)^2} = |-61| = 61$.
$0,2 \cdot \sqrt{(-61)^2} = 0,2 \cdot 61 = 12,2$.
Ответ: 12,2

395. Замените выражение тождественно равным:

а) $\sqrt{p^2}$;

б) $\sqrt{y^2}$;

в) $3\sqrt{b^2}$;

г) $-0,2\sqrt{x^2}$;

д) $\sqrt{25a^2}$.

Для решения данной задачи мы будем использовать основное тождество, связанное с арифметическим квадратным корнем: для любого действительного числа $a$ справедливо равенство $\sqrt{a^2} = |a|$. Модуль числа $a$ ($|a|$) равен самому числу $a$, если $a \ge 0$, и равен $-a$, если $a < 0$.

а) Применим тождество $\sqrt{a^2} = |a|$ к выражению $\sqrt{p^2}$.
В данном случае роль $a$ играет переменная $p$. Таким образом, получаем:
$\sqrt{p^2} = |p|$.
Ответ: $|p|$.

б) Аналогично пункту а), заменим выражение $\sqrt{y^2}$, используя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$.
Здесь $a = y$, следовательно:
$\sqrt{y^2} = |y|$.
Ответ: $|y|$.

в) В выражении $3\sqrt{b^2}$ сначала упростим корень.
Согласно тождеству $\sqrt{a^2} = |a|$, имеем $\sqrt{b^2} = |b|$.
Теперь умножим полученный результат на коэффициент 3:
$3\sqrt{b^2} = 3 \cdot |b| = 3|b|$.
Ответ: $3|b|$.

г) Для выражения $-0,2\sqrt{x^2}$ поступим так же, как и в предыдущем пункте.
Сначала упростим $\sqrt{x^2}$:
$\sqrt{x^2} = |x|$.
Затем умножим результат на числовой коэффициент $-0,2$:
$-0,2\sqrt{x^2} = -0,2 \cdot |x| = -0,2|x|$.
Ответ: $-0,2|x|$.

д) Рассмотрим выражение $\sqrt{25a^2}$. Сначала представим подкоренное выражение в виде полного квадрата.
$25a^2 = 5^2 \cdot a^2 = (5a)^2$.
Теперь исходное выражение можно переписать как $\sqrt{(5a)^2}$.
Применяем тождество $\sqrt{x^2} = |x|$, где $x = 5a$:
$\sqrt{(5a)^2} = |5a|$.
Используя свойство модуля произведения, $|cd| = |c| \cdot |d|$, получаем:
$|5a| = |5| \cdot |a| = 5|a|$.
Ответ: $5|a|$.

397. Упростите выражение $\sqrt{a^2 - 4a + 4}$, зная, что:

а) $0 \le a < 2$;

б) $a \ge 2$.

Для упрощения выражения $\sqrt{a^2-4a+4}$ сначала заметим, что подкоренное выражение является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.

В нашем случае $x=a$ и $y=2$, поэтому:

$a^2-4a+4 = a^2-2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a-2)^2$.

Теперь исходное выражение можно записать в виде $\sqrt{(a-2)^2}$.

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{x^2} = |x|$. Следовательно:

$\sqrt{(a-2)^2} = |a-2|$.

Далее рассмотрим два случая, раскрывая модуль в зависимости от знака выражения $a-2$.

a) Дано условие $0 \le a < 2$.

При этом условии разность $a-2$ будет отрицательной, так как $a$ меньше 2. Например, если $a=1$, то $a-2 = 1-2 = -1 < 0$.

По определению модуля, если выражение под ним отрицательно, то $|x| = -x$.

Следовательно, $|a-2| = -(a-2) = -a+2 = 2-a$.

Ответ: $2-a$.

б) Дано условие $a \ge 2$.

При этом условии разность $a-2$ будет неотрицательной (то есть больше или равна нулю). Например, если $a=3$, то $a-2 = 3-2 = 1 > 0$; если $a=2$, то $a-2 = 2-2=0$.

По определению модуля, если выражение под ним неотрицательно, то $|x| = x$.

Следовательно, $|a-2| = a-2$.

Ответ: $a-2$.

399. Верно ли равенство:

a) $\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1$;

б) $\sqrt{9-4\sqrt{5}}=2-\sqrt{5}$?

а) Чтобы проверить верность равенства $\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1$, необходимо убедиться в двух вещах: что выражение в правой части неотрицательно, и что его квадрат равен подкоренному выражению в левой части.

1. Оценим знак выражения $\sqrt{3}-1$. Поскольку $3 > 1$, то $\sqrt{3} > \sqrt{1} = 1$, а значит, $\sqrt{3}-1 > 0$. Правая часть положительна, это условие выполняется.

2. Возведем правую часть в квадрат, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:
$(\sqrt{3}-1)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2\cdot\sqrt{3}\cdot1 + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$.
Результат в точности совпадает с выражением под корнем в левой части. Это условие также выполняется.

Так как оба условия выполнены, исходное равенство верно.

Альтернативный способ решения — упростить левую часть. Для этого представим подкоренное выражение в виде полного квадрата:
$4-2\sqrt{3} = 3-2\sqrt{3}+1 = (\sqrt{3})^2 - 2\cdot\sqrt{3}\cdot1 + 1^2 = (\sqrt{3}-1)^2$.
Тогда $\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2} = |\sqrt{3}-1|$.
Поскольку мы уже установили, что $\sqrt{3}-1>0$, то модуль можно опустить: $|\sqrt{3}-1| = \sqrt{3}-1$.
Таким образом, левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: да, равенство верно.

б) Проверим верность равенства $\sqrt{9-4\sqrt{5}}=2-\sqrt{5}$.

По определению, арифметический квадратный корень (выражение в левой части равенства) должен быть неотрицательным числом, то есть $\sqrt{9-4\sqrt{5}} \ge 0$.

Теперь оценим знак выражения в правой части: $2-\sqrt{5}$. Сравним числа $2$ и $\sqrt{5}$, для чего возведем их в квадрат: $2^2=4$ и $(\sqrt{5})^2=5$.
Так как $4<5$, то $2<\sqrt{5}$. Следовательно, разность $2-\sqrt{5}$ является отрицательным числом.

В левой части равенства стоит неотрицательное число, а в правой — отрицательное. Неотрицательное число не может равняться отрицательному, поэтому данное равенство неверно.

Для полноты решения найдем правильное значение левой части. Упростим подкоренное выражение, выделив в нем полный квадрат:
$9-4\sqrt{5} = 5-4\sqrt{5}+4 = (\sqrt{5})^2 - 2\cdot\sqrt{5}\cdot2 + 2^2 = (\sqrt{5}-2)^2$.
Следовательно, $\sqrt{9-4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}-2)^2} = |\sqrt{5}-2|$.
Так как $\sqrt{5}>\sqrt{4}=2$, то разность $\sqrt{5}-2$ положительна, и модуль можно опустить: $|\sqrt{5}-2|=\sqrt{5}-2$.
Таким образом, верное равенство выглядит так: $\sqrt{9-4\sqrt{5}}=\sqrt{5}-2$.

Ответ: нет, равенство неверно.