Номер 398, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Квадратный корень из степени. § 6. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 398, страница 95.

398. (Для работы в парах.) Пользуясь калькулятором, найдите значение выражения $ \sqrt{9 - 6\sqrt{x} + x} $ при $x$, равном: а) 2,71; б) 12,62.

1) Обсудите, как можно упростить выражение, и выполните намеченное преобразование.

2) Распределите, кто вычисляет значение выражения для случая а), а кто — для случая б), и выполните вычисления.

3) Проверьте друг у друга правильность выполненных преобразований и вычислений.

1)

Рассмотрим подкоренное выражение $9 - 6\sqrt{x} + x$. Его можно преобразовать, заметив, что оно похоже на формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Представим члены выражения в следующем виде:

$9 = 3^2$

$x = (\sqrt{x})^2$

$6\sqrt{x} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{x}$

Таким образом, подкоренное выражение является полным квадратом:

$9 - 6\sqrt{x} + x = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 = (3 - \sqrt{x})^2$.

Теперь исходное выражение можно записать как:

$\sqrt{9 - 6\sqrt{x} + x} = \sqrt{(3 - \sqrt{x})^2}$

Используя свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем упрощенное выражение:

$\sqrt{(3 - \sqrt{x})^2} = |3 - \sqrt{x}|$.

Ответ: Выражение $\sqrt{9 - 6\sqrt{x} + x}$ можно упростить до вида $|3 - \sqrt{x}|$.

2)

Теперь вычислим значение упрощенного выражения $|3 - \sqrt{x}|$ для заданных значений $x$ с помощью калькулятора.

а) При $x = 2,71$:

Подставляем значение $x$ в упрощенное выражение: $|3 - \sqrt{2,71}|$.

Сравним числа $3$ и $\sqrt{2,71}$. Так как $3^2 = 9$, а $(\sqrt{2,71})^2 = 2,71$, и $9 > 2,71$, то $3 > \sqrt{2,71}$.

Следовательно, разность $3 - \sqrt{2,71}$ положительна, и модуль раскрывается со знаком плюс:

$|3 - \sqrt{2,71}| = 3 - \sqrt{2,71}$.

С помощью калькулятора находим:

$3 - \sqrt{2,71} \approx 3 - 1,6462077... \approx 1,3537923$.

Ответ: 1,3537923

б) При $x = 12,62$:

Подставляем значение $x$ в упрощенное выражение: $|3 - \sqrt{12,62}|$.

Сравним числа $3$ и $\sqrt{12,62}$. Так как $3^2 = 9$, а $(\sqrt{12,62})^2 = 12,62$, и $9 < 12,62$, то $3 < \sqrt{12,62}$.

Следовательно, разность $3 - \sqrt{12,62}$ отрицательна, и модуль раскрывается со знаком минус:

$|3 - \sqrt{12,62}| = -(3 - \sqrt{12,62}) = \sqrt{12,62} - 3$.

С помощью калькулятора находим:

$\sqrt{12,62} - 3 \approx 3,5524639... - 3 \approx 0,5524639$.

Ответ: 0,5524639