Номер 392, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

16. Квадратный корень из произведения и дроби. § 6. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 392, страница 93.

392. Решите уравнение:

а) $ \frac{2x}{5} - \frac{x+18}{6} = 23 + \frac{x}{30} $

б) $ \frac{x-1}{3} + \frac{2x+1}{5} = \frac{3x-1}{4} $

а) $ \frac{2x}{5} - \frac{x+18}{6} = 23 + \frac{x}{30} $

Чтобы решить уравнение, избавимся от дробей. Для этого найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для чисел 5, 6 и 30. НОЗ(5, 6, 30) = 30.

Умножим обе части уравнения на 30:

$ 30 \cdot \left(\frac{2x}{5} - \frac{x+18}{6}\right) = 30 \cdot \left(23 + \frac{x}{30}\right) $

$ \frac{30 \cdot 2x}{5} - \frac{30 \cdot (x+18)}{6} = 30 \cdot 23 + \frac{30 \cdot x}{30} $

Сократим дроби, разделив числитель и знаменатель на общий множитель:

$ 6 \cdot 2x - 5 \cdot (x+18) = 690 + x $

Теперь раскроем скобки. Важно помнить, что знак "минус" перед дробью относится ко всему числителю:

$ 12x - 5x - 90 = 690 + x $

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$ 7x - 90 = 690 + x $

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные слагаемые (числа) — в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный:

$ 7x - x = 690 + 90 $

$ 6x = 780 $

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 6:

$ x = \frac{780}{6} $

$ x = 130 $

Ответ: $x = 130$.

б) $ \frac{x-1}{3} + \frac{2x+1}{5} = \frac{3x-1}{4} $

Для решения этого уравнения также избавимся от дробей. Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 3, 5 и 4. Так как числа взаимно простые, НОЗ(3, 5, 4) = $3 \cdot 5 \cdot 4 = 60$.

Умножим обе части уравнения на 60:

$ 60 \cdot \left(\frac{x-1}{3} + \frac{2x+1}{5}\right) = 60 \cdot \frac{3x-1}{4} $

$ \frac{60 \cdot (x-1)}{3} + \frac{60 \cdot (2x+1)}{5} = \frac{60 \cdot (3x-1)}{4} $

Сократим дроби:

$ 20 \cdot (x-1) + 12 \cdot (2x+1) = 15 \cdot (3x-1) $

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$ 20x - 20 + 24x + 12 = 45x - 15 $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ (20x + 24x) + (-20 + 12) = 45x - 15 $

$ 44x - 8 = 45x - 15 $

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а числа — в левую, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$ 15 - 8 = 45x - 44x $

Выполним вычисления:

$ 7 = x $

Ответ: $x = 7$.