Номер 396, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Квадратный корень из степени. § 6. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 396, страница 95.

396. Упростите выражение:

а) $\sqrt{a^2}$, если $a > 0$;

б) $\sqrt{n^2}$, если $n < 0$;

в) $3\sqrt{c^2}$, если $c \ge 0$;

г) $-5\sqrt{y^2}$, если $y > 0$;

д) $\sqrt{36x^2}$, если $x \le 0$;

е) $-\sqrt{9y^2}$, если $y < 0$;

ж) $-5\sqrt{4x^2}$, если $x \ge 0$;

з) $0,5\sqrt{16a^2}$, если $a < 0$.

Для решения всех подпунктов используется основное свойство арифметического квадратного корня: $\sqrt{x^2} = |x|$, где $|x|$ — модуль числа $x$. Модуль числа определяется следующим образом:

• $|x| = x$, если $x \ge 0$
• $|x| = -x$, если $x < 0$

а) Упростим выражение $\sqrt{a^2}$ при условии, что $a > 0$.
Согласно свойству корня, $\sqrt{a^2} = |a|$.
Поскольку по условию $a > 0$, то по определению модуля $|a| = a$.
Ответ: $a$

б) Упростим выражение $\sqrt{n^2}$ при условии, что $n < 0$.
Согласно свойству корня, $\sqrt{n^2} = |n|$.
Поскольку по условию $n < 0$, то по определению модуля $|n| = -n$.
Ответ: $-n$

в) Упростим выражение $3\sqrt{c^2}$ при условии, что $c \ge 0$.
Сначала упростим корень: $\sqrt{c^2} = |c|$.
Тогда выражение принимает вид $3|c|$.
Поскольку по условию $c \ge 0$, то $|c| = c$.
Следовательно, $3|c| = 3c$.
Ответ: $3c$

г) Упростим выражение $-5\sqrt{y^2}$ при условии, что $y > 0$.
Упростим корень: $\sqrt{y^2} = |y|$.
Выражение принимает вид $-5|y|$.
Поскольку по условию $y > 0$, то $|y| = y$.
Следовательно, $-5|y| = -5y$.
Ответ: $-5y$

д) Упростим выражение $\sqrt{36x^2}$ при условии, что $x \le 0$.
Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $36x^2 = (6x)^2$.
Тогда $\sqrt{36x^2} = \sqrt{(6x)^2} = |6x|$.
Поскольку по условию $x \le 0$, то и $6x \le 0$.
Следовательно, по определению модуля $|6x| = -(6x) = -6x$.
Ответ: $-6x$

е) Упростим выражение $-\sqrt{9y^2}$ при условии, что $y < 0$.
Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $9y^2 = (3y)^2$.
Тогда выражение принимает вид $-\sqrt{(3y)^2} = -|3y|$.
Поскольку по условию $y < 0$, то и $3y < 0$.
Следовательно, $|3y| = -(3y) = -3y$.
Подставляем это в выражение: $-(-3y) = 3y$.
Ответ: $3y$

ж) Упростим выражение $-5\sqrt{4x^2}$ при условии, что $x \ge 0$.
Представим выражение под корнем в виде квадрата: $4x^2 = (2x)^2$.
Тогда выражение принимает вид $-5\sqrt{(2x)^2} = -5|2x|$.
Поскольку по условию $x \ge 0$, то и $2x \ge 0$.
Следовательно, $|2x| = 2x$.
Подставляем в выражение: $-5(2x) = -10x$.
Ответ: $-10x$

з) Упростим выражение $0,5\sqrt{16a^2}$ при условии, что $a < 0$.
Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $16a^2 = (4a)^2$.
Тогда выражение принимает вид $0,5\sqrt{(4a)^2} = 0,5|4a|$.
Поскольку по условию $a < 0$, то и $4a < 0$.
Следовательно, $|4a| = -(4a) = -4a$.
Подставляем в выражение: $0,5(-4a) = -2a$.
Ответ: $-2a$