Номер 402, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Квадратный корень из степени. § 6. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 402, страница 96.

402. Вычислите:

а) $\sqrt{11^4}$;

б) $\sqrt{4^6}$;

в) $\sqrt{(-3)^6}$;

г) $\sqrt{(-6)^4}$;

д) $\sqrt{2^8 \cdot 3^2}$;

е) $\sqrt{3^4 \cdot 5^6}$;

ж) $\sqrt{7^2 \cdot 2^8}$;

з) $\sqrt{3^6 \cdot 5^4}$;

и) $\sqrt{8^4 \cdot 5^6}$.

а) Для вычисления квадратного корня из числа в четной степени воспользуемся свойством $\sqrt{a^{2k}} = a^k$ для $a \ge 0$. В данном случае $a=11$ и показатель степени $4=2 \cdot 2$, значит $k=2$.
$\sqrt{11^4} = \sqrt{(11^2)^2} = 11^2 = 121$.
Ответ: 121

б) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство $\sqrt{a^{2k}} = a^k$ для $a \ge 0$. Здесь $a=4$ и показатель степени $6=2 \cdot 3$, значит $k=3$.
$\sqrt{4^6} = \sqrt{(4^3)^2} = 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.
Ответ: 64

в) Под знаком корня находится отрицательное число, возведенное в четную степень. Свойство четной степени: $(-a)^n = a^n$, если $n$ — четное число.
Следовательно, $(-3)^6 = 3^6$.
Теперь можем вычислить корень: $\sqrt{(-3)^6} = \sqrt{3^6} = \sqrt{(3^3)^2} = 3^3 = 27$.
Ответ: 27

г) Так же, как и в пункте в), сначала упростим подкоренное выражение, используя свойство четной степени: $(-6)^4 = 6^4$.
Теперь вычисляем корень: $\sqrt{(-6)^4} = \sqrt{6^4} = \sqrt{(6^2)^2} = 6^2 = 36$.
Ответ: 36

д) Воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a, b \ge 0$).
$\sqrt{2^8 \cdot 3^2} = \sqrt{2^8} \cdot \sqrt{3^2}$.
Вычислим каждый множитель отдельно: $\sqrt{2^8} = 2^{8/2} = 2^4 = 16$ и $\sqrt{3^2} = 3$.
Перемножим результаты: $16 \cdot 3 = 48$.
Ответ: 48

е) Применяем свойство корня из произведения:
$\sqrt{3^4 \cdot 5^6} = \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{5^6}$.
Вычисляем корни из степеней: $\sqrt{3^4} = 3^{4/2} = 3^2 = 9$ и $\sqrt{5^6} = 5^{6/2} = 5^3 = 125$.
Находим произведение: $9 \cdot 125 = 1125$.
Ответ: 1125

ж) Используем свойство корня из произведения:
$\sqrt{7^2 \cdot 2^8} = \sqrt{7^2} \cdot \sqrt{2^8}$.
Вычисляем каждый множитель: $\sqrt{7^2} = 7$ и $\sqrt{2^8} = 2^{8/2} = 2^4 = 16$.
Находим произведение: $7 \cdot 16 = 112$.
Ответ: 112

з) Используем свойство корня из произведения:
$\sqrt{3^6 \cdot 5^4} = \sqrt{3^6} \cdot \sqrt{5^4}$.
Вычисляем каждый множитель: $\sqrt{3^6} = 3^{6/2} = 3^3 = 27$ и $\sqrt{5^4} = 5^{4/2} = 5^2 = 25$.
Находим произведение: $27 \cdot 25 = 675$.
Ответ: 675

и) Используем свойство корня из произведения:
$\sqrt{8^4 \cdot 5^6} = \sqrt{8^4} \cdot \sqrt{5^6}$.
Вычисляем каждый множитель: $\sqrt{8^4} = 8^{4/2} = 8^2 = 64$ и $\sqrt{5^6} = 5^{6/2} = 5^3 = 125$.
Находим произведение: $64 \cdot 125 = 8000$.
Ответ: 8000