Номер 403, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Квадратный корень из степени. § 6. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 403, страница 96.

403. Извлеките корень, представив подкоренное выражение в виде произведения простых множителей:

а) $ \sqrt{20736}$;

б) $ \sqrt{50625}$;

в) $ \sqrt{28224}$;

г) $ \sqrt{680625}$.

а) Чтобы извлечь корень из числа $20736$, разложим его на простые множители. Число является четным, поэтому будем последовательно делить его на $2$.

$20736 = 2 \cdot 10368 = 2^2 \cdot 5184 = 2^3 \cdot 2592 = 2^4 \cdot 1296$

Продолжая деление: $1296 = 2 \cdot 648 = 2^2 \cdot 324 = 2^3 \cdot 162 = 2^4 \cdot 81$.

Таким образом, $20736 = 2^4 \cdot (2^4 \cdot 81) = 2^8 \cdot 81$.

Число $81$ является степенью числа $3$: $81 = 3^4$.

Итак, подкоренное выражение в виде произведения простых множителей: $20736 = 2^8 \cdot 3^4$.

Теперь извлечем корень:

$\sqrt{20736} = \sqrt{2^8 \cdot 3^4} = \sqrt{(2^4)^2 \cdot (3^2)^2} = \sqrt{(2^4 \cdot 3^2)^2} = 2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144$.

Ответ: $144$.

б) Разложим число $50625$ на простые множители. Число оканчивается на $5$, значит, оно делится на $5$.

$50625 = 5 \cdot 10125 = 5^2 \cdot 2025 = 5^3 \cdot 405 = 5^4 \cdot 81$.

Число $81$ это $3^4$.

Таким образом, разложение на простые множители имеет вид: $50625 = 3^4 \cdot 5^4$.

Извлекаем корень:

$\sqrt{50625} = \sqrt{3^4 \cdot 5^4} = \sqrt{(3^2)^2 \cdot (5^2)^2} = \sqrt{(3^2 \cdot 5^2)^2} = 3^2 \cdot 5^2 = 9 \cdot 25 = 225$.

Ответ: $225$.

в) Разложим число $28224$ на простые множители. Число четное, будем делить на $2$.

$28224 = 2 \cdot 14112 = 2^2 \cdot 7056 = 2^3 \cdot 3528 = 2^4 \cdot 1764 = 2^5 \cdot 882 = 2^6 \cdot 441$.

Сумма цифр числа $441$ ($4+4+1=9$) делится на $3$ и на $9$, значит, и само число делится на $3$ и на $9$. Разложим $441$: $441 = 3 \cdot 147 = 3^2 \cdot 49$. Число $49$ это $7^2$.

Значит, $441 = 3^2 \cdot 7^2$.

Итак, $28224 = 2^6 \cdot 3^2 \cdot 7^2$.

Извлекаем корень:

$\sqrt{28224} = \sqrt{2^6 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = \sqrt{(2^3)^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = \sqrt{(2^3 \cdot 3 \cdot 7)^2} = 2^3 \cdot 3 \cdot 7 = 8 \cdot 3 \cdot 7 = 24 \cdot 7 = 168$.

Ответ: $168$.

г) Разложим число $680625$ на простые множители. Число оканчивается на $5$, делим на $5$.

$680625 = 5 \cdot 136125 = 5^2 \cdot 27225 = 5^3 \cdot 5445 = 5^4 \cdot 1089$.

Сумма цифр числа $1089$ ($1+0+8+9=18$) делится на $9$, значит, число $1089$ делится на $9$: $1089 = 9 \cdot 121$.

Число $9 = 3^2$, а $121 = 11^2$.

Таким образом, разложение на простые множители: $680625 = 3^2 \cdot 5^4 \cdot 11^2$.

Извлекаем корень:

$\sqrt{680625} = \sqrt{3^2 \cdot 5^4 \cdot 11^2} = \sqrt{3^2 \cdot (5^2)^2 \cdot 11^2} = \sqrt{(3 \cdot 5^2 \cdot 11)^2} = 3 \cdot 5^2 \cdot 11 = 3 \cdot 25 \cdot 11 = 75 \cdot 11 = 825$.

Ответ: $825$.