Номер 1, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 6. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 1, страница 96.

1. Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из произведения.

Формулировка теоремы

Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел.

Иначе говоря, для любых чисел $a$ и $b$ таких, что $a \ge 0$ и $b \ge 0$, справедливо равенство: $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

Теорема также верна для произведения трех и более неотрицательных множителей.

Доказательство

Для доказательства равенства $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ воспользуемся определением арифметического квадратного корня. Согласно этому определению, для доказательства нам необходимо установить два факта:

1) Выражение $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ является неотрицательным.

2) Квадрат выражения $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ равен $ab$.

Проверка первого условия. По условию теоремы, $a \ge 0$ и $b \ge 0$. По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$ существуют и являются неотрицательными, то есть $\sqrt{a} \ge 0$ и $\sqrt{b} \ge 0$. Произведение двух неотрицательных чисел ($\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$) также является неотрицательным числом. Следовательно, $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \ge 0$. Первое условие выполняется.

Проверка второго условия. Возведем выражение $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ в квадрат. Используя свойство степени произведения, мы получаем:
$(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2$.
Согласно определению арифметического квадратного корня, для любого неотрицательного числа $x$ верно, что $(\sqrt{x})^2 = x$. Применяя это к нашим множителям, получаем $(\sqrt{a})^2 = a$ и $(\sqrt{b})^2 = b$.
Таким образом, $(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = a \cdot b = ab$. Второе условие также выполняется.

Поскольку оба условия из определения арифметического квадратного корня выполнены, мы доказали, что при $a \ge 0$ и $b \ge 0$ равенство $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ верно.

Ответ: Теорема о квадратном корне из произведения гласит, что для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо равенство $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$. Доказательство основывается на определении арифметического квадратного корня и требует проверки двух условий: 1) неотрицательность выражения $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (что верно, так как это произведение неотрицательных корней) и 2) равенство квадрата этого выражения подкоренному выражению $ab$, то есть $(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = ab$ (что также верно, так как $(\sqrt{a})^2=a$ и $(\sqrt{b})^2=b$).