Номер 407, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Вынесение множителя за знак корня. Внесение множителя под знак корня. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 407, страница 98.

407. Вынесите множитель за знак корня:

а) $\sqrt{12}$;

б) $\sqrt{18}$;

в) $\sqrt{80}$;

г) $\sqrt{48}$;

д) $\sqrt{125}$;

е) $\sqrt{108}$;

ж) $\sqrt{363}$;

з) $\sqrt{845}$.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня $\sqrt{12}$, необходимо разложить подкоренное выражение 12 на множители таким образом, чтобы один из них был полным квадратом. Наибольшим таким множителем является 4.
Представим 12 как произведение $4 \cdot 3$.
Используя свойство корня $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, получаем:
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
Ответ: $2\sqrt{3}$

б) Для выражения $\sqrt{18}$ разложим число 18 на множители. Наибольший множитель, являющийся полным квадратом, это 9.
Представим 18 как $9 \cdot 2$.
Тогда:
$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.
Ответ: $3\sqrt{2}$

в) Разложим подкоренное выражение 80 на множители, выделив наибольший полный квадрат. $80 = 16 \cdot 5$.
Число 16 является квадратом числа 4.
Следовательно:
$\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{5} = 4\sqrt{5}$.
Ответ: $4\sqrt{5}$

г) Разложим число 48 на множители. Наибольший множитель, являющийся полным квадратом, это 16. $48 = 16 \cdot 3$.
Применим свойство корня:
$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.
Ответ: $4\sqrt{3}$

д) Разложим число 125 на множители. Наибольший множитель, являющийся полным квадратом, это 25. $125 = 25 \cdot 5$.
Вынесем множитель за знак корня:
$\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$.
Ответ: $5\sqrt{5}$

е) Разложим число 108 на множители. Наибольший множитель, являющийся полным квадратом, это 36. $108 = 36 \cdot 3$.
Выполним преобразование:
$\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.
Ответ: $6\sqrt{3}$

ж) Разложим число 363 на множители. Сумма цифр числа $3+6+3=12$ делится на 3, значит, число 363 делится на 3. $363 = 3 \cdot 121$.
Множитель 121 является полным квадратом числа 11.
Таким образом:
$\sqrt{363} = \sqrt{121 \cdot 3} = \sqrt{121} \cdot \sqrt{3} = 11\sqrt{3}$.
Ответ: $11\sqrt{3}$

з) Разложим число 845 на множители. Так как число оканчивается на 5, оно делится на 5. $845 = 5 \cdot 169$.
Множитель 169 является полным квадратом числа 13.
Следовательно:
$\sqrt{845} = \sqrt{169 \cdot 5} = \sqrt{169} \cdot \sqrt{5} = 13\sqrt{5}$.
Ответ: $13\sqrt{5}$