Номер 409, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Вынесение множителя за знак корня. Внесение множителя под знак корня. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 409, страница 98.

409. Вынесите множитель за знак корня:

а) $\sqrt{20}$; в) $\sqrt{200}$; д) $0,2\sqrt{75}$; ж) $-0,125\sqrt{192}$;

б) $\sqrt{98}$; г) $\sqrt{160}$; е) $0,7\sqrt{300}$; з) $-\frac{1}{3}\sqrt{450}$.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{20}$, нужно представить подкоренное выражение в виде произведения, в котором один из множителей является наибольшим возможным квадратом целого числа. Разложим число 20 на множители: $20 = 4 \times 5$. Число 4 является полным квадратом ($4=2^2$).
Используем свойство корня $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$:
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{4} \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.
Ответ: $2\sqrt{5}$

б) Для выражения $\sqrt{98}$ найдем наибольший делитель, являющийся полным квадратом. Разложим 98 на множители: $98 = 2 \times 49$. Число 49 является квадратом числа 7 ($49=7^2$).
Следовательно:
$\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = \sqrt{49} \times \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$.
Ответ: $7\sqrt{2}$

в) Рассмотрим выражение $\sqrt{200}$. Представим число 200 в виде произведения. Наибольший делитель, являющийся полным квадратом, это 100 ($100=10^2$).
$200 = 100 \times 2$.
Тогда:
$\sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = \sqrt{100} \times \sqrt{2} = 10\sqrt{2}$.
Ответ: $10\sqrt{2}$

г) В выражении $\sqrt{160}$ нужно вынести множитель за знак корня. Разложим 160 на множители: $160 = 16 \times 10$. Число 16 является квадратом числа 4 ($16=4^2$), а число 10 не содержит полных квадратов в качестве множителей.
Получаем:
$\sqrt{160} = \sqrt{16 \times 10} = \sqrt{16} \times \sqrt{10} = 4\sqrt{10}$.
Ответ: $4\sqrt{10}$

д) В выражении $0,2\sqrt{75}$ сначала упростим корень $\sqrt{75}$. Разложим 75 на множители: $75 = 25 \times 3$. Число 25 является квадратом числа 5 ($25=5^2$).
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$0,2\sqrt{75} = 0,2 \times (5\sqrt{3}) = (0,2 \times 5)\sqrt{3} = 1\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$

е) Для выражения $0,7\sqrt{300}$ упростим $\sqrt{300}$. Разложим 300 на множители: $300 = 100 \times 3$. Число 100 является квадратом числа 10 ($100=10^2$).
$\sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = \sqrt{100} \times \sqrt{3} = 10\sqrt{3}$.
Подставим обратно в выражение:
$0,7\sqrt{300} = 0,7 \times (10\sqrt{3}) = (0,7 \times 10)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$.
Ответ: $7\sqrt{3}$

ж) В выражении $-0,125\sqrt{192}$ упростим корень $\sqrt{192}$. Разложим 192 на простые множители: $192 = 2 \times 96 = 2 \times 2 \times 48 = 4 \times 16 \times 3 = 64 \times 3$. Число 64 является квадратом числа 8 ($64=8^2$).
$\sqrt{192} = \sqrt{64 \times 3} = \sqrt{64} \times \sqrt{3} = 8\sqrt{3}$.
Подставим в исходное выражение. Заметим, что $0,125 = \frac{1}{8}$.
$-0,125\sqrt{192} = -0,125 \times (8\sqrt{3}) = (-0,125 \times 8)\sqrt{3} = -1\sqrt{3} = -\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}$

з) Рассмотрим выражение $-\frac{1}{3}\sqrt{450}$. Упростим корень $\sqrt{450}$. Разложим 450 на множители: $450 = 45 \times 10 = (9 \times 5) \times (2 \times 5) = 9 \times 25 \times 2 = 225 \times 2$. Число 225 является квадратом числа 15 ($225=15^2$).
$\sqrt{450} = \sqrt{225 \times 2} = \sqrt{225} \times \sqrt{2} = 15\sqrt{2}$.
Подставим в исходное выражение:
$-\frac{1}{3}\sqrt{450} = -\frac{1}{3} \times (15\sqrt{2}) = (-\frac{1}{3} \times 15)\sqrt{2} = -\frac{15}{3}\sqrt{2} = -5\sqrt{2}$.
Ответ: $-5\sqrt{2}$