Номер 412, страница 99 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Вынесение множителя за знак корня. Внесение множителя под знак корня. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 412, страница 99.

412. Представьте выражение в виде арифметического квадратного корня или выражения, ему противоположного:

а) $3\sqrt{\frac{1}{3}};$

б) $2\sqrt{\frac{3}{4}};$

в) $\frac{1}{3}\sqrt{18};$

г) $-10\sqrt{0,02};$

д) $5\sqrt{\frac{a}{5}};$

е) $-\frac{1}{2}\sqrt{12x};$

ж) $-0,1\sqrt{1,2a};$

з) $-\frac{1}{3}\sqrt{0,9a};$

и) $-6\sqrt{6b}.$

а) Чтобы внести положительный множитель $3$ под знак арифметического квадратного корня, необходимо возвести этот множитель в квадрат и умножить на подкоренное выражение:
$3\sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{3^2 \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt{9 \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{9}{3}} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

б) Вносим положительный множитель $2$ под знак корня, возведя его в квадрат:
$2\sqrt{\frac{3}{4}} = \sqrt{2^2 \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt{4 \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

в) Вносим положительный множитель $\frac{1}{3}$ под знак корня, возведя его в квадрат:
$\frac{1}{3}\sqrt{18} = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 \cdot 18} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 18} = \sqrt{\frac{18}{9}} = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.

г) Чтобы внести отрицательный множитель $-10$ под знак корня, мы оставляем знак "минус" перед корнем, а сам множитель $10$ возводим в квадрат и вносим под корень:
$-10\sqrt{0,02} = -\sqrt{10^2 \cdot 0,02} = -\sqrt{100 \cdot 0,02} = -\sqrt{2}$.
Ответ: $-\sqrt{2}$.

д) Вносим положительный множитель $5$ под знак корня. Данное выражение имеет смысл при условии, что подкоренное выражение неотрицательно, то есть $\frac{a}{5} \ge 0$, откуда $a \ge 0$.
$5\sqrt{\frac{a}{5}} = \sqrt{5^2 \cdot \frac{a}{5}} = \sqrt{25 \cdot \frac{a}{5}} = \sqrt{5a}$.
Ответ: $\sqrt{5a}$.

е) Оставляем знак "минус" перед корнем, а множитель $\frac{1}{2}$ вносим под знак корня, возведя его в квадрат. Выражение имеет смысл при $12x \ge 0$, то есть $x \ge 0$.
$-\frac{1}{2}\sqrt{12x} = -\sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 12x} = -\sqrt{\frac{1}{4} \cdot 12x} = -\sqrt{3x}$.
Ответ: $-\sqrt{3x}$.

ж) Оставляем знак "минус" перед корнем, а множитель $0,1$ вносим под знак корня, возведя его в квадрат. Выражение имеет смысл при $1,2a \ge 0$, то есть $a \ge 0$.
$-0,1\sqrt{1,2a} = -\sqrt{0,1^2 \cdot 1,2a} = -\sqrt{0,01 \cdot 1,2a} = -\sqrt{0,012a}$.
Ответ: $-\sqrt{0,012a}$.

з) Оставляем знак "минус" перед корнем, а множитель $\frac{1}{3}$ вносим под знак корня. Выражение имеет смысл при $0,9a \ge 0$, то есть $a \ge 0$.
$-\frac{1}{3}\sqrt{0,9a} = -\sqrt{(\frac{1}{3})^2 \cdot 0,9a} = -\sqrt{\frac{1}{9} \cdot \frac{9}{10}a} = -\sqrt{\frac{1}{10}a} = -\sqrt{0,1a}$.
Ответ: $-\sqrt{0,1a}$.

и) Оставляем знак "минус" перед корнем, а множитель $6$ вносим под знак корня. Выражение имеет смысл при $6b \ge 0$, то есть $b \ge 0$.
$-6\sqrt{6b} = -\sqrt{6^2 \cdot 6b} = -\sqrt{36 \cdot 6b} = -\sqrt{216b}$.
Ответ: $-\sqrt{216b}$.