Номер 418, страница 100 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Вынесение множителя за знак корня. Внесение множителя под знак корня. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 418, страница 100.

418. (Для работы в парах.) Площадь треугольника S см² со сторонами a см, b см и с см можно вычислить по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$

где p — полупериметр треугольника.

Пользуясь калькулятором, найдите площадь треугольника, стороны которого равны:

а) 12 см, 16 см, 24 см; б) 18 см, 22 см, 26 см.

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните вычисления.

2) Проверьте друг у друга правильность вычислений.

3) Обсудите, как изменится площадь треугольника, если каждую из его сторон увеличить в 2 раза. Выскажите предположение и выполните необходимые преобразования.

1) Для выполнения этого пункта необходимо распределить задания а) и б) и выполнить вычисления.

а) Найдем площадь треугольника со сторонами $a = 12$ см, $b = 16$ см, $c = 24$ см по формуле Герона.

1. Сначала вычислим полупериметр $p$ треугольника:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{12+16+24}{2} = \frac{52}{2} = 26$ см.

2. Теперь подставим значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{26(26-12)(26-16)(26-24)}$

$S = \sqrt{26 \cdot 14 \cdot 10 \cdot 2}$

$S = \sqrt{7280}$

3. Используя калькулятор, извлечем квадратный корень:

$S \approx 85.32$ см$^2$.

Ответ: $S \approx 85.32$ см$^2$.

б) Найдем площадь треугольника со сторонами $a = 18$ см, $b = 22$ см, $c = 26$ см по формуле Герона.

1. Сначала вычислим полупериметр $p$ треугольника:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{18+22+26}{2} = \frac{66}{2} = 33$ см.

2. Теперь подставим значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{33(33-18)(33-22)(33-26)}$

$S = \sqrt{33 \cdot 15 \cdot 11 \cdot 7}$

$S = \sqrt{38115}$

3. Используя калькулятор, извлечем квадратный корень:

$S \approx 195.23$ см$^2$.

Ответ: $S \approx 195.23$ см$^2$.

2) Этот пункт предполагает взаимную проверку вычислений, выполненных в пунктах а) и б).

3) Обсудим, как изменится площадь треугольника, если каждую из его сторон увеличить в 2 раза.

Предположение: Если стороны треугольника увеличить в 2 раза, то его площадь увеличится в $2^2 = 4$ раза. Это связано с тем, что площадь является двумерной величиной.

Выполним необходимые преобразования, чтобы доказать это.

Пусть у нас есть исходный треугольник со сторонами $a, b, c$. Его полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$, а его площадь $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

Теперь создадим новый треугольник, увеличив каждую сторону в 2 раза. Новые стороны будут $a' = 2a$, $b' = 2b$ и $c' = 2c$.

Найдем полупериметр нового треугольника, $p'$:

$p' = \frac{a'+b'+c'}{2} = \frac{2a+2b+2c}{2} = \frac{2(a+b+c)}{2} = 2 \cdot \frac{a+b+c}{2} = 2p$.

Как видим, новый полупериметр в 2 раза больше исходного.

Теперь вычислим площадь нового треугольника, $S'$, используя формулу Герона с новыми сторонами и новым полупериметром:

$S' = \sqrt{p'(p'-a')(p'-b')(p'-c')}$

Подставим выражения для $p'$, $a'$, $b'$, $c'$:

$p' - a' = 2p - 2a = 2(p-a)$

$p' - b' = 2p - 2b = 2(p-b)$

$p' - c' = 2p - 2c = 2(p-c)$

Теперь подставим эти выражения в формулу для $S'$:

$S' = \sqrt{(2p) \cdot (2(p-a)) \cdot (2(p-b)) \cdot (2(p-c))}$

Сгруппируем множители "2" под корнем:

$S' = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S' = \sqrt{16 \cdot p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Вынесем $\sqrt{16}$ из-под знака корня:

$S' = \sqrt{16} \cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S' = 4 \cdot S$

Таким образом, мы доказали, что площадь нового треугольника в 4 раза больше площади исходного треугольника.

Ответ: Если каждую сторону треугольника увеличить в 2 раза, его площадь увеличится в 4 раза.