Номер 422, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 422, страница 102.

422. Упростите выражение:

а) $\sqrt{8p} - \sqrt{2p} + \sqrt{18p}$;

б) $\sqrt{160c} + 2\sqrt{40c} - 3\sqrt{90c}$;

в) $5\sqrt{27m} - 4\sqrt{48m} - 2\sqrt{12m}$;

г) $\sqrt{54} - \sqrt{24} + \sqrt{150}$;

д) $3\sqrt{2} + \sqrt{32} - \sqrt{200}$;

е) $2\sqrt{72} - \sqrt{50} - 2\sqrt{8}$.

а) Чтобы упростить выражение $ \sqrt{8p} - \sqrt{2p} + \sqrt{18p} $, вынесем множители из-под знака корня в каждом слагаемом. Для этого представим подкоренные выражения в виде произведения, где один из множителей является полным квадратом.

$ \sqrt{8p} = \sqrt{4 \cdot 2p} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2p} = 2\sqrt{2p} $

$ \sqrt{18p} = \sqrt{9 \cdot 2p} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2p} = 3\sqrt{2p} $

Теперь подставим упрощенные слагаемые обратно в выражение:

$ 2\sqrt{2p} - \sqrt{2p} + 3\sqrt{2p} $

Приведем подобные слагаемые, у которых одинаковая подкоренная часть $ \sqrt{2p} $:

$ (2 - 1 + 3)\sqrt{2p} = 4\sqrt{2p} $

Ответ: $ 4\sqrt{2p} $

б) Упростим выражение $ \sqrt{160c} + 2\sqrt{40c} - 3\sqrt{90c} $. Аналогично вынесем множители из-под знака корня.

$ \sqrt{160c} = \sqrt{16 \cdot 10c} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{10c} = 4\sqrt{10c} $

$ 2\sqrt{40c} = 2\sqrt{4 \cdot 10c} = 2 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{10c} = 2 \cdot 2\sqrt{10c} = 4\sqrt{10c} $

$ 3\sqrt{90c} = 3\sqrt{9 \cdot 10c} = 3 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{10c} = 3 \cdot 3\sqrt{10c} = 9\sqrt{10c} $

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$ 4\sqrt{10c} + 4\sqrt{10c} - 9\sqrt{10c} $

Приведем подобные слагаемые с общей частью $ \sqrt{10c} $:

$ (4 + 4 - 9)\sqrt{10c} = -1\sqrt{10c} = -\sqrt{10c} $

Ответ: $ -\sqrt{10c} $

в) Упростим выражение $ 5\sqrt{27m} - 4\sqrt{48m} - 2\sqrt{12m} $. Вынесем множители из-под корней.

$ 5\sqrt{27m} = 5\sqrt{9 \cdot 3m} = 5 \cdot 3\sqrt{3m} = 15\sqrt{3m} $

$ 4\sqrt{48m} = 4\sqrt{16 \cdot 3m} = 4 \cdot 4\sqrt{3m} = 16\sqrt{3m} $

$ 2\sqrt{12m} = 2\sqrt{4 \cdot 3m} = 2 \cdot 2\sqrt{3m} = 4\sqrt{3m} $

Подставим упрощенные части в выражение:

$ 15\sqrt{3m} - 16\sqrt{3m} - 4\sqrt{3m} $

Сгруппируем подобные слагаемые с $ \sqrt{3m} $:

$ (15 - 16 - 4)\sqrt{3m} = -5\sqrt{3m} $

Ответ: $ -5\sqrt{3m} $

г) Упростим выражение $ \sqrt{54} - \sqrt{24} + \sqrt{150} $.

$ \sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6} $

$ \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} $

$ \sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6} $

Подставим и сгруппируем:

$ 3\sqrt{6} - 2\sqrt{6} + 5\sqrt{6} = (3 - 2 + 5)\sqrt{6} = 6\sqrt{6} $

Ответ: $ 6\sqrt{6} $

д) Упростим выражение $ 3\sqrt{2} + \sqrt{32} - \sqrt{200} $.

$ \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2} $

$ \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2} $

Подставим и сгруппируем:

$ 3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 10\sqrt{2} = (3 + 4 - 10)\sqrt{2} = -3\sqrt{2} $

Ответ: $ -3\sqrt{2} $

е) Упростим выражение $ 2\sqrt{72} - \sqrt{50} - 2\sqrt{8} $.

$ 2\sqrt{72} = 2\sqrt{36 \cdot 2} = 2 \cdot 6\sqrt{2} = 12\sqrt{2} $

$ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} $

$ 2\sqrt{8} = 2\sqrt{4 \cdot 2} = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} $

Подставим и сгруппируем:

$ 12\sqrt{2} - 5\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = (12 - 5 - 4)\sqrt{2} = 3\sqrt{2} $

Ответ: $ 3\sqrt{2} $