Номер 417, страница 99 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Вынесение множителя за знак корня. Внесение множителя под знак корня. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 417, страница 99.

417. (Задача-исследование.) Проверьте, верны ли равенства

$\sqrt{2\frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$, $\sqrt{3\frac{3}{8}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}}$, $\sqrt{4\frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}}$.

Выясните, каким должно быть соотношение между числами $a$ и $b$, чтобы было верно равенство $\sqrt{a + \frac{a}{b}} = a\sqrt{\frac{a}{b}}$, где $a \in \mathbb{N}$ и $b \in \mathbb{N}$.

1) Возведите в квадрат обе части равенства.

2) Установите, каким должно быть соотношение между числами $a$ и $b$.

3) Проиллюстрируйте правильность вашего вывода на примерах.

Сначала проверим верность равенств, представленных в условии. В левой части каждого равенства смешанное число $a\frac{a}{b}$ можно записать как сумму $a+\frac{a}{b}$.

- Для $\sqrt{2\frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$: левая часть $\sqrt{2+\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}}$; правая часть $2\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{4 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}}$. Равенство верно.
- Для $\sqrt{3\frac{3}{8}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}}$: левая часть $\sqrt{3+\frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{27}{8}}$; правая часть $3\sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{9 \cdot \frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{27}{8}}$. Равенство верно.
- Для $\sqrt{4\frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}}$: левая часть $\sqrt{4+\frac{4}{15}} = \sqrt{\frac{64}{15}}$; правая часть $4\sqrt{\frac{4}{15}} = \sqrt{16 \cdot \frac{4}{15}} = \sqrt{\frac{64}{15}}$. Равенство верно.

Все три равенства верны. Теперь выясним, каким должно быть соотношение между натуральными числами $a$ и $b$, чтобы было верно равенство $\sqrt{a + \frac{a}{b}} = a\sqrt{\frac{a}{b}}$.

1) Возведите в квадрат обе части равенства.
Дано равенство $\sqrt{a + \frac{a}{b}} = a\sqrt{\frac{a}{b}}$.
Возводим в квадрат левую часть: $(\sqrt{a + \frac{a}{b}})^2 = a + \frac{a}{b}$.
Возводим в квадрат правую часть: $(a\sqrt{\frac{a}{b}})^2 = a^2 \cdot (\sqrt{\frac{a}{b}})^2 = a^2 \cdot \frac{a}{b} = \frac{a^3}{b}$.
Приравнивая полученные выражения, получаем: $a + \frac{a}{b} = \frac{a^3}{b}$.
Ответ: $a + \frac{a}{b} = \frac{a^3}{b}$.

2) Установите, каким должно быть соотношение между числами a и b.
Начнем с равенства, полученного в предыдущем пункте: $a + \frac{a}{b} = \frac{a^3}{b}$.
Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{ab + a}{b} = \frac{a^3}{b}$.
Поскольку $b$ - натуральное число ($b \in N$), то $b \neq 0$. Умножим обе части равенства на $b$:
$ab + a = a^3$.
Вынесем $a$ за скобки в левой части: $a(b+1) = a^3$.
Поскольку $a$ - натуральное число ($a \in N$), то $a \neq 0$. Разделим обе части равенства на $a$:
$b+1 = a^2$.
Отсюда находим искомое соотношение: $b = a^2 - 1$.
Так как по условию $b$ должно быть натуральным числом ($b \in N$), то должно выполняться условие $b \ge 1$.
$a^2 - 1 \ge 1 \implies a^2 \ge 2$.
Учитывая, что $a \in N$, получаем $a \ge 2$.
Ответ: Соотношение между $a$ и $b$ выражается формулой $b = a^2 - 1$, при условии, что $a$ - натуральное число, $a \ge 2$.

3) Проиллюстрируйте правильность вашего вывода на примерах.
Проверим найденное соотношение $b = a^2 - 1$ на примерах из условия задачи.
- Для примера $\sqrt{2\frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$, имеем $a=2, b=3$. Проверка: $3 = 2^2 - 1 \implies 3 = 4 - 1 \implies 3=3$. Верно.
- Для примера $\sqrt{3\frac{3}{8}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}}$, имеем $a=3, b=8$. Проверка: $8 = 3^2 - 1 \implies 8 = 9 - 1 \implies 8=8$. Верно.
- Для примера $\sqrt{4\frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}}$, имеем $a=4, b=15$. Проверка: $15 = 4^2 - 1 \implies 15 = 16 - 1 \implies 15=15$. Верно.
Примеры подтверждают правильность выведенного соотношения.
Ответ: Для данных примеров ($a=2, b=3$), ($a=3, b=8$), ($a=4, b=15$) соотношение $b=a^2-1$ выполняется.