Номер 410, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Вынесение множителя за знак корня. Внесение множителя под знак корня. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 410, страница 98.

410. Внесите множитель под знак корня:

а) $7\sqrt{10}$;

б) $5\sqrt{3}$;

в) $6\sqrt{x}$;

г) $10\sqrt{y}$;

д) $3\sqrt{2a}$;

е) $5\sqrt{3b}$.

а) Чтобы внести множитель 7 под знак корня в выражении $7\sqrt{10}$, необходимо возвести множитель 7 в квадрат и результат умножить на подкоренное выражение 10. Это основано на свойстве $c\sqrt{d} = \sqrt{c^2d}$ для $c \ge 0$.
$7\sqrt{10} = \sqrt{7^2 \cdot 10} = \sqrt{49 \cdot 10} = \sqrt{490}$.
Ответ: $\sqrt{490}$

б) Аналогично, для выражения $5\sqrt{3}$ вносим множитель 5 под знак корня. Возводим 5 в квадрат и умножаем на 3.
$5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$.
Ответ: $\sqrt{75}$

в) Для выражения $6\sqrt{x}$ вносим множитель 6 под знак корня. Данное преобразование корректно при условии, что подкоренное выражение неотрицательно, то есть $x \ge 0$.
$6\sqrt{x} = \sqrt{6^2 \cdot x} = \sqrt{36x}$.
Ответ: $\sqrt{36x}$

г) В выражении $10\sqrt{y}$ вносим множитель 10 под знак корня. Предполагается, что $y \ge 0$.
$10\sqrt{y} = \sqrt{10^2 \cdot y} = \sqrt{100y}$.
Ответ: $\sqrt{100y}$

д) Для выражения $3\sqrt{2a}$ вносим множитель 3 под знак корня. Чтобы выражение имело смысл, должно выполняться условие $2a \ge 0$, то есть $a \ge 0$.
$3\sqrt{2a} = \sqrt{3^2 \cdot 2a} = \sqrt{9 \cdot 2a} = \sqrt{18a}$.
Ответ: $\sqrt{18a}$

е) В выражении $5\sqrt{3b}$ вносим множитель 5 под знак корня. Условие существования корня: $3b \ge 0$, то есть $b \ge 0$.
$5\sqrt{3b} = \sqrt{5^2 \cdot 3b} = \sqrt{25 \cdot 3b} = \sqrt{75b}$.
Ответ: $\sqrt{75b}$