Номер 4, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 6. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 4, страница 96.

4 Покажите на примере выражения $\sqrt{a^{12}}$, как извлекается квадратный корень из степени с чётным показателем.

Для извлечения квадратного корня из степени с чётным показателем используется общее тождество $\sqrt{x^{2k}} = |x^k|$, которое справедливо для любого действительного числа $x$ и натурального числа $k$. Знак модуля гарантирует, что результат извлечения арифметического квадратного корня будет неотрицательным, как того требует его определение.

Рассмотрим применение этого правила на примере выражения $\sqrt{a^{12}}$.

1. Представим чётный показатель степени 12 в виде произведения $2 \cdot 6$. Тогда подкоренное выражение можно записать следующим образом, используя свойство степеней $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$a^{12} = a^{6 \cdot 2} = (a^6)^2$

2. Подставим полученное выражение обратно под знак корня:

$\sqrt{a^{12}} = \sqrt{(a^6)^2}$

3. Теперь воспользуемся основным тождеством $\sqrt{x^2} = |x|$. В нашем случае роль $x$ играет выражение $a^6$:

$\sqrt{(a^6)^2} = |a^6|$

4. На последнем шаге нужно раскрыть модуль. Так как показатель степени 6 является чётным числом, то выражение $a^6$ будет неотрицательным (то есть $a^6 \ge 0$) при любом действительном значении $a$. Поскольку выражение под знаком модуля всегда неотрицательно, модуль можно опустить.

$|a^6| = a^6$

Таким образом, мы получаем окончательный результат.

Также можно использовать свойство степени с рациональным показателем, где квадратный корень соответствует возведению в степень $\frac{1}{2}$:

$\sqrt{a^{12}} = (a^{12})^{\frac{1}{2}} = a^{12 \cdot \frac{1}{2}} = a^6$

Ответ: $\sqrt{a^{12}} = a^6$.