Страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

402. Вычислите:

а) $\sqrt{11^4}$;

б) $\sqrt{4^6}$;

в) $\sqrt{(-3)^6}$;

г) $\sqrt{(-6)^4}$;

д) $\sqrt{2^8 \cdot 3^2}$;

е) $\sqrt{3^4 \cdot 5^6}$;

ж) $\sqrt{7^2 \cdot 2^8}$;

з) $\sqrt{3^6 \cdot 5^4}$;

и) $\sqrt{8^4 \cdot 5^6}$.

а) Для вычисления квадратного корня из числа в четной степени воспользуемся свойством $\sqrt{a^{2k}} = a^k$ для $a \ge 0$. В данном случае $a=11$ и показатель степени $4=2 \cdot 2$, значит $k=2$.
$\sqrt{11^4} = \sqrt{(11^2)^2} = 11^2 = 121$.
Ответ: 121

б) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство $\sqrt{a^{2k}} = a^k$ для $a \ge 0$. Здесь $a=4$ и показатель степени $6=2 \cdot 3$, значит $k=3$.
$\sqrt{4^6} = \sqrt{(4^3)^2} = 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.
Ответ: 64

в) Под знаком корня находится отрицательное число, возведенное в четную степень. Свойство четной степени: $(-a)^n = a^n$, если $n$ — четное число.
Следовательно, $(-3)^6 = 3^6$.
Теперь можем вычислить корень: $\sqrt{(-3)^6} = \sqrt{3^6} = \sqrt{(3^3)^2} = 3^3 = 27$.
Ответ: 27

г) Так же, как и в пункте в), сначала упростим подкоренное выражение, используя свойство четной степени: $(-6)^4 = 6^4$.
Теперь вычисляем корень: $\sqrt{(-6)^4} = \sqrt{6^4} = \sqrt{(6^2)^2} = 6^2 = 36$.
Ответ: 36

д) Воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a, b \ge 0$).
$\sqrt{2^8 \cdot 3^2} = \sqrt{2^8} \cdot \sqrt{3^2}$.
Вычислим каждый множитель отдельно: $\sqrt{2^8} = 2^{8/2} = 2^4 = 16$ и $\sqrt{3^2} = 3$.
Перемножим результаты: $16 \cdot 3 = 48$.
Ответ: 48

е) Применяем свойство корня из произведения:
$\sqrt{3^4 \cdot 5^6} = \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{5^6}$.
Вычисляем корни из степеней: $\sqrt{3^4} = 3^{4/2} = 3^2 = 9$ и $\sqrt{5^6} = 5^{6/2} = 5^3 = 125$.
Находим произведение: $9 \cdot 125 = 1125$.
Ответ: 1125

ж) Используем свойство корня из произведения:
$\sqrt{7^2 \cdot 2^8} = \sqrt{7^2} \cdot \sqrt{2^8}$.
Вычисляем каждый множитель: $\sqrt{7^2} = 7$ и $\sqrt{2^8} = 2^{8/2} = 2^4 = 16$.
Находим произведение: $7 \cdot 16 = 112$.
Ответ: 112

з) Используем свойство корня из произведения:
$\sqrt{3^6 \cdot 5^4} = \sqrt{3^6} \cdot \sqrt{5^4}$.
Вычисляем каждый множитель: $\sqrt{3^6} = 3^{6/2} = 3^3 = 27$ и $\sqrt{5^4} = 5^{4/2} = 5^2 = 25$.
Находим произведение: $27 \cdot 25 = 675$.
Ответ: 675

и) Используем свойство корня из произведения:
$\sqrt{8^4 \cdot 5^6} = \sqrt{8^4} \cdot \sqrt{5^6}$.
Вычисляем каждый множитель: $\sqrt{8^4} = 8^{4/2} = 8^2 = 64$ и $\sqrt{5^6} = 5^{6/2} = 5^3 = 125$.
Находим произведение: $64 \cdot 125 = 8000$.
Ответ: 8000

404. Вычислите:

а) $\sqrt{2304}$;

б) $\sqrt{18225}$;

в) $\sqrt{254016}$.

а) Для вычисления $\sqrt{2304}$ определим, между квадратами каких круглых чисел находится подкоренное выражение. Мы знаем, что $40^2 = 1600$ и $50^2 = 2500$. Так как $1600 < 2304 < 2500$, то значение $\sqrt{2304}$ находится между 40 и 50. Последняя цифра числа 2304 – это 4. Квадрат целого числа оканчивается на 4, если само число оканчивается на 2 (поскольку $2^2=4$) или на 8 (поскольку $8^2=64$). Следовательно, искомое число — это либо 42, либо 48. Проверим оба варианта:
$42^2 = 1764$
$48^2 = (50 - 2)^2 = 50^2 - 2 \cdot 50 \cdot 2 + 2^2 = 2500 - 200 + 4 = 2304$
Таким образом, $\sqrt{2304} = 48$.
Ответ: 48

б) Для вычисления $\sqrt{18225}$ обратим внимание на то, что число оканчивается на 25. Это свойственно квадратам чисел, оканчивающихся на 5. Существует правило: чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся на 5, нужно число, образованное его первыми цифрами, умножить на следующее за ним натуральное число и к результату приписать 25. Применим это правило в обратном порядке. Отбросим 25 от числа 18225, получим 182. Теперь нам нужно найти такое число $x$, что $x(x+1) = 182$. Можно начать подбор с известных нам квадратов: $13^2 = 169$. Проверим число 13: $13 \cdot (13+1) = 13 \cdot 14 = 182$. Это то, что нам нужно. Значит, искомый корень — это 135.
Проверка: $135^2 = (130+5)^2 = 130^2 + 2 \cdot 130 \cdot 5 + 5^2 = 16900 + 1300 + 25 = 18225$.
Таким образом, $\sqrt{18225} = 135$.
Ответ: 135

в) Для вычисления $\sqrt{254016}$ сначала оценим порядок величины. Мы знаем, что $500^2 = 250000$ и $510^2 = 260100$. Так как $250000 < 254016 < 260100$, то корень из 254016 находится в промежутке от 500 до 510. Последняя цифра числа 254016 – это 6. Квадрат целого числа оканчивается на 6, если само число оканчивается на 4 ($4^2=16$) или на 6 ($6^2=36$). Значит, возможные ответы — 504 или 506. Проверим первый вариант:
$504^2 = (500 + 4)^2 = 500^2 + 2 \cdot 500 \cdot 4 + 4^2 = 250000 + 4000 + 16 = 254016$
Этот вариант является правильным.
Таким образом, $\sqrt{254016} = 504$.
Ответ: 504

406. Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания, $H$ — высота цилиндра. Выразите переменную $R$ через $V$ и $H$.

Для того чтобы выразить переменную $R$ из формулы объёма цилиндра $V = \pi R^2 H$, необходимо выполнить следующие шаги.

Сначала выразим $R^2$. Для этого разделим обе части уравнения на множители $\pi$ и $H$ (при условии, что $H \neq 0$):
$R^2 = \frac{V}{\pi H}$

Затем, чтобы найти $R$, извлечем квадратный корень из обеих частей полученного выражения. Так как радиус $R$ — это длина, он может быть только положительным числом, поэтому мы рассматриваем только арифметический (положительный) квадратный корень.
$R = \sqrt{\frac{V}{\pi H}}$

Ответ: $R = \sqrt{\frac{V}{\pi H}}$

401. Найдите значение корня:

а) $\sqrt{2^4}$;

б) $\sqrt{3^4}$;

в) $\sqrt{2^6}$;

г) $\sqrt{10^8}$;

д) $\sqrt{(-5)^4}$;

е) $\sqrt{(-2)^8}$;

ж) $\sqrt{3^4 \cdot 5^2}$;

з) $\sqrt{2^6 \cdot 7^4}$.

а) Для нахождения значения корня воспользуемся свойством $\sqrt{a^{2k}} = a^k$ для $a \ge 0$. В данном случае подкоренное выражение $2^4$ можно представить как $(2^2)^2$.
$\sqrt{2^4} = \sqrt{(2^2)^2} = 2^2 = 4$.
Ответ: 4

б) Аналогично предыдущему примеру, представим $3^4$ как квадрат выражения $3^2$.
$\sqrt{3^4} = \sqrt{(3^2)^2} = 3^2 = 9$.
Ответ: 9

в) Представим подкоренное выражение $2^6$ в виде квадрата числа. Так как $6 = 3 \cdot 2$, то $2^6 = (2^3)^2$.
$\sqrt{2^6} = \sqrt{(2^3)^2} = 2^3 = 8$.
Ответ: 8

г) Представим $10^8$ как квадрат выражения $10^4$, так как $8 = 4 \cdot 2$.
$\sqrt{10^8} = \sqrt{(10^4)^2} = 10^4 = 10000$.
Ответ: 10000

д) Сначала упростим подкоренное выражение. Так как показатель степени $4$ является четным числом, то $(-5)^4 = 5^4$.
$\sqrt{(-5)^4} = \sqrt{5^4} = \sqrt{(5^2)^2} = 5^2 = 25$.
Можно также использовать свойство $\sqrt{a^2} = |a|$. Тогда $\sqrt{(-5)^4} = \sqrt{((-5)^2)^2} = |(-5)^2| = |25| = 25$.
Ответ: 25

е) Показатель степени $8$ является четным, поэтому $(-2)^8 = 2^8$.
$\sqrt{(-2)^8} = \sqrt{2^8} = \sqrt{(2^4)^2} = 2^4 = 16$.
По другому, $\sqrt{(-2)^8} = \sqrt{((-2)^4)^2} = |(-2)^4| = |16| = 16$.
Ответ: 16

ж) Воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ для $a, b \ge 0$.
$\sqrt{3^4 \cdot 5^2} = \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{5^2} = 3^2 \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45$.
Другой способ — сгруппировать множители под корнем: $\sqrt{3^4 \cdot 5^2} = \sqrt{(3^2)^2 \cdot 5^2} = \sqrt{(3^2 \cdot 5)^2} = 3^2 \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45$.
Ответ: 45

з) Используем свойство корня из произведения.
$\sqrt{2^6 \cdot 7^4} = \sqrt{2^6} \cdot \sqrt{7^4} = 2^3 \cdot 7^2 = 8 \cdot 49 = 392$.
Или сгруппируем под корнем: $\sqrt{2^6 \cdot 7^4} = \sqrt{(2^3)^2 \cdot (7^2)^2} = \sqrt{(2^3 \cdot 7^2)^2} = 2^3 \cdot 7^2 = 8 \cdot 49 = 392$.
Ответ: 392

403. Извлеките корень, представив подкоренное выражение в виде произведения простых множителей:

а) $ \sqrt{20736}$;

б) $ \sqrt{50625}$;

в) $ \sqrt{28224}$;

г) $ \sqrt{680625}$.

а) Чтобы извлечь корень из числа $20736$, разложим его на простые множители. Число является четным, поэтому будем последовательно делить его на $2$.

$20736 = 2 \cdot 10368 = 2^2 \cdot 5184 = 2^3 \cdot 2592 = 2^4 \cdot 1296$

Продолжая деление: $1296 = 2 \cdot 648 = 2^2 \cdot 324 = 2^3 \cdot 162 = 2^4 \cdot 81$.

Таким образом, $20736 = 2^4 \cdot (2^4 \cdot 81) = 2^8 \cdot 81$.

Число $81$ является степенью числа $3$: $81 = 3^4$.

Итак, подкоренное выражение в виде произведения простых множителей: $20736 = 2^8 \cdot 3^4$.

Теперь извлечем корень:

$\sqrt{20736} = \sqrt{2^8 \cdot 3^4} = \sqrt{(2^4)^2 \cdot (3^2)^2} = \sqrt{(2^4 \cdot 3^2)^2} = 2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144$.

Ответ: $144$.

б) Разложим число $50625$ на простые множители. Число оканчивается на $5$, значит, оно делится на $5$.

$50625 = 5 \cdot 10125 = 5^2 \cdot 2025 = 5^3 \cdot 405 = 5^4 \cdot 81$.

Число $81$ это $3^4$.

Таким образом, разложение на простые множители имеет вид: $50625 = 3^4 \cdot 5^4$.

Извлекаем корень:

$\sqrt{50625} = \sqrt{3^4 \cdot 5^4} = \sqrt{(3^2)^2 \cdot (5^2)^2} = \sqrt{(3^2 \cdot 5^2)^2} = 3^2 \cdot 5^2 = 9 \cdot 25 = 225$.

Ответ: $225$.

в) Разложим число $28224$ на простые множители. Число четное, будем делить на $2$.

$28224 = 2 \cdot 14112 = 2^2 \cdot 7056 = 2^3 \cdot 3528 = 2^4 \cdot 1764 = 2^5 \cdot 882 = 2^6 \cdot 441$.

Сумма цифр числа $441$ ($4+4+1=9$) делится на $3$ и на $9$, значит, и само число делится на $3$ и на $9$. Разложим $441$: $441 = 3 \cdot 147 = 3^2 \cdot 49$. Число $49$ это $7^2$.

Значит, $441 = 3^2 \cdot 7^2$.

Итак, $28224 = 2^6 \cdot 3^2 \cdot 7^2$.

Извлекаем корень:

$\sqrt{28224} = \sqrt{2^6 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = \sqrt{(2^3)^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = \sqrt{(2^3 \cdot 3 \cdot 7)^2} = 2^3 \cdot 3 \cdot 7 = 8 \cdot 3 \cdot 7 = 24 \cdot 7 = 168$.

Ответ: $168$.

г) Разложим число $680625$ на простые множители. Число оканчивается на $5$, делим на $5$.

$680625 = 5 \cdot 136125 = 5^2 \cdot 27225 = 5^3 \cdot 5445 = 5^4 \cdot 1089$.

Сумма цифр числа $1089$ ($1+0+8+9=18$) делится на $9$, значит, число $1089$ делится на $9$: $1089 = 9 \cdot 121$.

Число $9 = 3^2$, а $121 = 11^2$.

Таким образом, разложение на простые множители: $680625 = 3^2 \cdot 5^4 \cdot 11^2$.

Извлекаем корень:

$\sqrt{680625} = \sqrt{3^2 \cdot 5^4 \cdot 11^2} = \sqrt{3^2 \cdot (5^2)^2 \cdot 11^2} = \sqrt{(3 \cdot 5^2 \cdot 11)^2} = 3 \cdot 5^2 \cdot 11 = 3 \cdot 25 \cdot 11 = 75 \cdot 11 = 825$.

Ответ: $825$.

405. На рисунке 19 изображены графики функций $y = 2x + 2$, $y = -\frac{x}{4} - 3$ и $y = -2x + 2$.

Для каждой функции укажите её график.

Для того чтобы сопоставить каждой из заданных функций её график, необходимо проанализировать параметры линейной функции $y = kx + b$.

• Коэффициент $k$ (угловой коэффициент) определяет наклон прямой: если $k > 0$, функция возрастает (график идёт вверх), если $k < 0$ — убывает (график идёт вниз).
• Коэффициент $b$ (свободный член) показывает точку пересечения графика с осью ординат ($y$). Координаты этой точки — $(0, b)$.

В данном уравнении угловой коэффициент $k = 2$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей. Свободный член $b = 2$, следовательно, график пересекает ось $y$ в точке с координатой $y=2$.
На рисунке этим условиям соответствует график a: он единственный из всех возрастает и пересекает ось $y$ в точке $(0, 2)$.

Ответ: график a.

Это уравнение можно представить в виде $y = (-\frac{1}{4})x - 3$.
Здесь угловой коэффициент $k = -\frac{1}{4}$. Так как $k < 0$, функция является убывающей. Свободный член $b = -3$, значит, график пересекает ось $y$ в точке с координатой $y=-3$.
На рисунке этим условиям соответствует график c: он убывает и пересекает ось $y$ в точке $(0, -3)$.

Ответ: график c.

В этом уравнении угловой коэффициент $k = -2$. Так как $k < 0$, функция является убывающей. Свободный член $b = 2$, следовательно, график пересекает ось $y$ в точке с координатой $y=2$.
На рисунке этим условиям соответствует график b: он убывает и пересекает ось $y$ в точке $(0, 2)$.
Сравнивая с графиком c, можно заметить, что наклон у графика b более крутой, что соответствует большему по модулю значению углового коэффициента ($|-2| > |-\frac{1}{4}|$).

Ответ: график b.

2. Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из дроби.

Формулировка теоремы

Если числитель дроби $a$ является неотрицательным числом ($a \ge 0$), а знаменатель $b$ — положительным числом ($b > 0$), то арифметический квадратный корень из этой дроби равен частному от деления арифметического квадратного корня из числителя на арифметический квадратный корень из знаменателя.

Формула этой теоремы выглядит следующим образом:
$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Ответ: Теорема о квадратном корне из дроби: для любых $a \ge 0$ и $b > 0$ справедливо равенство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

Доказательство теоремы

Чтобы доказать данную теорему, необходимо, исходя из определения арифметического квадратного корня, установить, что выражение $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ удовлетворяет двум условиям:

1. Оно должно быть неотрицательным.

2. Его квадрат должен быть равен подкоренному выражению $\frac{a}{b}$.

Рассмотрим каждое условие отдельно при заданных ограничениях $a \ge 0$ и $b > 0$.

1. Проверка на неотрицательность.
По условию $a \ge 0$, следовательно, по определению арифметического корня, $\sqrt{a} \ge 0$.
По условию $b > 0$, следовательно, $\sqrt{b} > 0$.
Частное от деления неотрицательного числа ($\sqrt{a}$) на положительное число ($\sqrt{b}$) является неотрицательным числом. Таким образом, $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \ge 0$. Первое условие выполняется.

2. Проверка возведением в квадрат.
Возведем выражение $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ в квадрат, используя свойство степени для дроби: $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$.
$(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})^2 = \frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2}$

Согласно определению арифметического квадратного корня, для любого неотрицательного числа $k$ верно, что $(\sqrt{k})^2 = k$. Применяя это к нашему выражению, получаем:
$(\sqrt{a})^2 = a$
$(\sqrt{b})^2 = b$

Подставим эти значения обратно в дробь:
$(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})^2 = \frac{a}{b}$
Второе условие также выполняется.

Поскольку оба условия определения арифметического квадратного корня выполнены, мы доказали, что равенство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ верно.

Ответ: Доказательство основано на определении арифметического квадратного корня. Мы показали, что при $a \ge 0$ и $b > 0$ выражение $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ неотрицательно и его квадрат равен $\frac{a}{b}$, что и доказывает теорему.

4 Покажите на примере выражения $\sqrt{a^{12}}$, как извлекается квадратный корень из степени с чётным показателем.

Для извлечения квадратного корня из степени с чётным показателем используется общее тождество $\sqrt{x^{2k}} = |x^k|$, которое справедливо для любого действительного числа $x$ и натурального числа $k$. Знак модуля гарантирует, что результат извлечения арифметического квадратного корня будет неотрицательным, как того требует его определение.

Рассмотрим применение этого правила на примере выражения $\sqrt{a^{12}}$.

1. Представим чётный показатель степени 12 в виде произведения $2 \cdot 6$. Тогда подкоренное выражение можно записать следующим образом, используя свойство степеней $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$a^{12} = a^{6 \cdot 2} = (a^6)^2$

2. Подставим полученное выражение обратно под знак корня:

$\sqrt{a^{12}} = \sqrt{(a^6)^2}$

3. Теперь воспользуемся основным тождеством $\sqrt{x^2} = |x|$. В нашем случае роль $x$ играет выражение $a^6$:

$\sqrt{(a^6)^2} = |a^6|$

4. На последнем шаге нужно раскрыть модуль. Так как показатель степени 6 является чётным числом, то выражение $a^6$ будет неотрицательным (то есть $a^6 \ge 0$) при любом действительном значении $a$. Поскольку выражение под знаком модуля всегда неотрицательно, модуль можно опустить.

$|a^6| = a^6$

Таким образом, мы получаем окончательный результат.

Также можно использовать свойство степени с рациональным показателем, где квадратный корень соответствует возведению в степень $\frac{1}{2}$:

$\sqrt{a^{12}} = (a^{12})^{\frac{1}{2}} = a^{12 \cdot \frac{1}{2}} = a^6$

Ответ: $\sqrt{a^{12}} = a^6$.

1. Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из произведения.

Формулировка теоремы

Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел.

Иначе говоря, для любых чисел $a$ и $b$ таких, что $a \ge 0$ и $b \ge 0$, справедливо равенство: $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

Теорема также верна для произведения трех и более неотрицательных множителей.

Доказательство

Для доказательства равенства $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ воспользуемся определением арифметического квадратного корня. Согласно этому определению, для доказательства нам необходимо установить два факта:

1) Выражение $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ является неотрицательным.

2) Квадрат выражения $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ равен $ab$.

Проверка первого условия. По условию теоремы, $a \ge 0$ и $b \ge 0$. По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$ существуют и являются неотрицательными, то есть $\sqrt{a} \ge 0$ и $\sqrt{b} \ge 0$. Произведение двух неотрицательных чисел ($\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$) также является неотрицательным числом. Следовательно, $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \ge 0$. Первое условие выполняется.

Проверка второго условия. Возведем выражение $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ в квадрат. Используя свойство степени произведения, мы получаем:
$(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2$.
Согласно определению арифметического квадратного корня, для любого неотрицательного числа $x$ верно, что $(\sqrt{x})^2 = x$. Применяя это к нашим множителям, получаем $(\sqrt{a})^2 = a$ и $(\sqrt{b})^2 = b$.
Таким образом, $(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = a \cdot b = ab$. Второе условие также выполняется.

Поскольку оба условия из определения арифметического квадратного корня выполнены, мы доказали, что при $a \ge 0$ и $b \ge 0$ равенство $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ верно.

Ответ: Теорема о квадратном корне из произведения гласит, что для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо равенство $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$. Доказательство основывается на определении арифметического квадратного корня и требует проверки двух условий: 1) неотрицательность выражения $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (что верно, так как это произведение неотрицательных корней) и 2) равенство квадрата этого выражения подкоренному выражению $ab$, то есть $(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = ab$ (что также верно, так как $(\sqrt{a})^2=a$ и $(\sqrt{b})^2=b$).

3 Докажите тождество $\sqrt{x^2} = |x|$.

Для доказательства тождества $\sqrt{x^2} = |x|$ необходимо показать, что равенство верно для всех действительных значений $x$. Доказательство основывается на определении арифметического квадратного корня и определении модуля числа.

По определению, арифметический квадратный корень из неотрицательного числа $a$ (обозначается $\sqrt{a}$) — это такое неотрицательное число $b$, что $b^2 = a$. Ключевым моментом здесь является то, что результат извлечения корня ($\sqrt{a}$) не может быть отрицательным.

Рассмотрим два возможных случая для переменной $x$.

1. Пусть $x \ge 0$ (x — неотрицательное число).

В этом случае, по определению модуля числа, $|x| = x$.

Теперь рассмотрим левую часть равенства, $\sqrt{x^2}$. Нам нужно найти такое неотрицательное число, квадрат которого равен $x^2$. Поскольку $x$ уже является неотрицательным числом ($x \ge 0$), то оно и есть искомый корень.

Таким образом, при $x \ge 0$, $\sqrt{x^2} = x$.

Сравнивая левую и правую части исходного тождества, получаем:

Левая часть: $\sqrt{x^2} = x$.

Правая часть: $|x| = x$.

Так как $x = x$, тождество для случая $x \ge 0$ верно.

2. Пусть $x < 0$ (x — отрицательное число).

В этом случае, по определению модуля числа, $|x| = -x$. (Например, если $x=-3$, то $|-3| = -(-3) = 3$). Обратите внимание, что если $x$ отрицательно, то $-x$ — положительное число.

Теперь рассмотрим левую часть, $\sqrt{x^2}$. Возведение отрицательного числа в квадрат дает положительный результат. Например, если $x=-5$, то $x^2 = (-5)^2 = 25$. Тогда $\sqrt{x^2} = \sqrt{25} = 5$. Заметим, что $5 = -(-5)$, то есть $5 = -x$.

В общем виде, для отрицательного $x$, нам нужно найти неотрицательное число, квадрат которого равен $x^2$. Этим числом является $-x$, так как $-x > 0$ и $(-x)^2 = x^2$.

Таким образом, при $x < 0$, $\sqrt{x^2} = -x$.

Сравнивая левую и правую части исходного тождества, получаем:

Левая часть: $\sqrt{x^2} = -x$.

Правая часть: $|x| = -x$.

Так как $-x = -x$, тождество для случая $x < 0$ также верно.

Вывод

Мы показали, что равенство $\sqrt{x^2} = |x|$ выполняется как для $x \ge 0$, так и для $x < 0$. Следовательно, оно справедливо для всех действительных чисел $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $\sqrt{x^2} = |x|$ доказано путем рассмотрения двух случаев: $x \ge 0$ и $x < 0$. В обоих случаях левая и правая части равенства оказываются равными.