Номер 404, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Квадратный корень из степени. § 6. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 404, страница 96.

404. Вычислите:

а) $\sqrt{2304}$;

б) $\sqrt{18225}$;

в) $\sqrt{254016}$.

а) Для вычисления $\sqrt{2304}$ определим, между квадратами каких круглых чисел находится подкоренное выражение. Мы знаем, что $40^2 = 1600$ и $50^2 = 2500$. Так как $1600 < 2304 < 2500$, то значение $\sqrt{2304}$ находится между 40 и 50. Последняя цифра числа 2304 – это 4. Квадрат целого числа оканчивается на 4, если само число оканчивается на 2 (поскольку $2^2=4$) или на 8 (поскольку $8^2=64$). Следовательно, искомое число — это либо 42, либо 48. Проверим оба варианта:
$42^2 = 1764$
$48^2 = (50 - 2)^2 = 50^2 - 2 \cdot 50 \cdot 2 + 2^2 = 2500 - 200 + 4 = 2304$
Таким образом, $\sqrt{2304} = 48$.
Ответ: 48

б) Для вычисления $\sqrt{18225}$ обратим внимание на то, что число оканчивается на 25. Это свойственно квадратам чисел, оканчивающихся на 5. Существует правило: чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся на 5, нужно число, образованное его первыми цифрами, умножить на следующее за ним натуральное число и к результату приписать 25. Применим это правило в обратном порядке. Отбросим 25 от числа 18225, получим 182. Теперь нам нужно найти такое число $x$, что $x(x+1) = 182$. Можно начать подбор с известных нам квадратов: $13^2 = 169$. Проверим число 13: $13 \cdot (13+1) = 13 \cdot 14 = 182$. Это то, что нам нужно. Значит, искомый корень — это 135.
Проверка: $135^2 = (130+5)^2 = 130^2 + 2 \cdot 130 \cdot 5 + 5^2 = 16900 + 1300 + 25 = 18225$.
Таким образом, $\sqrt{18225} = 135$.
Ответ: 135

в) Для вычисления $\sqrt{254016}$ сначала оценим порядок величины. Мы знаем, что $500^2 = 250000$ и $510^2 = 260100$. Так как $250000 < 254016 < 260100$, то корень из 254016 находится в промежутке от 500 до 510. Последняя цифра числа 254016 – это 6. Квадрат целого числа оканчивается на 6, если само число оканчивается на 4 ($4^2=16$) или на 6 ($6^2=36$). Значит, возможные ответы — 504 или 506. Проверим первый вариант:
$504^2 = (500 + 4)^2 = 500^2 + 2 \cdot 500 \cdot 4 + 4^2 = 250000 + 4000 + 16 = 254016$
Этот вариант является правильным.
Таким образом, $\sqrt{254016} = 504$.
Ответ: 504