Номер 400, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Квадратный корень из степени. § 6. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 400, страница 95.

400. Упростите выражение:

а) $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$;

б) $\sqrt{6-2\sqrt{5}}$;

в) $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$;

г) $\sqrt{3-\sqrt{8}}$.

Для упрощения данных выражений мы воспользуемся формулой для сложных радикалов, которая позволяет представить подкоренное выражение в виде полного квадрата. Общая формула: $\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}} = \sqrt{(\sqrt{x} \pm \sqrt{y})^2} = |\sqrt{x} \pm \sqrt{y}|$, где $x+y=A$ и $xy=B$.

а) $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$

Сначала приведем выражение к виду $\sqrt{A+2\sqrt{B}}$.

$\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{7+2 \cdot 2\sqrt{3}} = \sqrt{7+2\sqrt{4 \cdot 3}} = \sqrt{7+2\sqrt{12}}$.

Теперь нам нужно найти два числа, $x$ и $y$, для которых выполняются условия:

$x+y=7$

$xy=12$

По теореме Виета или методом подбора легко находим, что эти числа — 4 и 3.

Теперь мы можем представить подкоренное выражение в виде квадрата суммы:

$7+2\sqrt{12} = (4+3) + 2\sqrt{4 \cdot 3} = (\sqrt{4})^2 + (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{4}\sqrt{3} = (\sqrt{4}+\sqrt{3})^2 = (2+\sqrt{3})^2$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = |2+\sqrt{3}|$.

Так как $2+\sqrt{3}$ — положительное число, модуль можно опустить.

$\sqrt{7+4\sqrt{3}} = 2+\sqrt{3}$.

Ответ: $2+\sqrt{3}$.

б) $\sqrt{6-2\sqrt{5}}$

Данное выражение уже имеет вид $\sqrt{A-2\sqrt{B}}$, где $A=6$ и $B=5$.

Ищем два числа, $x$ и $y$, такие что:

$x+y=6$

$xy=5$

Очевидно, что этими числами являются 5 и 1.

Представим подкоренное выражение в виде квадрата разности. Важно, чтобы результат извлечения корня был положительным, поэтому из большего числа вычитаем меньшее: $\sqrt{x} > \sqrt{y}$.

$6-2\sqrt{5} = (5+1) - 2\sqrt{5 \cdot 1} = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{1})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{1} = (\sqrt{5}-1)^2$.

Тогда:

$\sqrt{6-2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} = |\sqrt{5}-1|$.

Поскольку $\sqrt{5} \approx 2.236$, то $\sqrt{5}-1 > 0$, поэтому модуль можно убрать.

$\sqrt{6-2\sqrt{5}} = \sqrt{5}-1$.

Ответ: $\sqrt{5}-1$.

в) $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$

Выражение имеет вид $\sqrt{A+2\sqrt{B}}$, где $A=5$ и $B=6$.

Найдём два числа, $x$ и $y$, удовлетворяющие системе уравнений:

$x+y=5$

$xy=6$

Нетрудно видеть, что это числа 3 и 2.

Представим подкоренное выражение как полный квадрат:

$5+2\sqrt{6} = (3+2) + 2\sqrt{3 \cdot 2} = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$.

Следовательно, можем упростить исходное выражение:

$\sqrt{5+2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2} = |\sqrt{3}+\sqrt{2}| = \sqrt{3}+\sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{3}+\sqrt{2}$.

г) $\sqrt{3-\sqrt{8}}$

Сначала преобразуем радикал $\sqrt{8}$, чтобы выделить множитель 2 перед ним:

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Исходное выражение принимает вид $\sqrt{3-2\sqrt{2}}$.

Теперь оно соответствует форме $\sqrt{A-2\sqrt{B}}$, где $A=3$ и $B=2$.

Ищем числа $x$ и $y$, для которых:

$x+y=3$

$xy=2$

Этими числами являются 2 и 1.

Запишем подкоренное выражение в виде квадрата разности (учитывая, что $\sqrt{2} > \sqrt{1}$):

$3-2\sqrt{2} = (2+1) - 2\sqrt{2 \cdot 1} = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{1})^2 - 2\sqrt{2}\sqrt{1} = (\sqrt{2}-1)^2$.

Тогда:

$\sqrt{3-\sqrt{8}} = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = |\sqrt{2}-1|$.

Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $\sqrt{2}-1 > 0$, и модуль можно опустить.

$\sqrt{3-\sqrt{8}} = \sqrt{2}-1$.

Ответ: $\sqrt{2}-1$.