Номер 397, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Квадратный корень из степени. § 6. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 397, страница 95.

397. Упростите выражение $\sqrt{a^2 - 4a + 4}$, зная, что:

а) $0 \le a < 2$;

б) $a \ge 2$.

Для упрощения выражения $\sqrt{a^2-4a+4}$ сначала заметим, что подкоренное выражение является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.

В нашем случае $x=a$ и $y=2$, поэтому:

$a^2-4a+4 = a^2-2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a-2)^2$.

Теперь исходное выражение можно записать в виде $\sqrt{(a-2)^2}$.

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{x^2} = |x|$. Следовательно:

$\sqrt{(a-2)^2} = |a-2|$.

Далее рассмотрим два случая, раскрывая модуль в зависимости от знака выражения $a-2$.

a) Дано условие $0 \le a < 2$.

При этом условии разность $a-2$ будет отрицательной, так как $a$ меньше 2. Например, если $a=1$, то $a-2 = 1-2 = -1 < 0$.

По определению модуля, если выражение под ним отрицательно, то $|x| = -x$.

Следовательно, $|a-2| = -(a-2) = -a+2 = 2-a$.

Ответ: $2-a$.

б) Дано условие $a \ge 2$.

При этом условии разность $a-2$ будет неотрицательной (то есть больше или равна нулю). Например, если $a=3$, то $a-2 = 3-2 = 1 > 0$; если $a=2$, то $a-2 = 2-2=0$.

По определению модуля, если выражение под ним неотрицательно, то $|x| = x$.

Следовательно, $|a-2| = a-2$.

Ответ: $a-2$.