Номер 390, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

16. Квадратный корень из произведения и дроби. § 6. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 390, страница 93.

390. Представьте в виде квадрата некоторого выражения:

а) $a^4$;

б) $a^6$;

в) $a^{18}$;

г) $\frac{1}{a^{10}}$;

д) $a^2b^8$;

е) $\frac{a^6}{b^{12}}$.

а) Чтобы представить выражение $a^4$ в виде квадрата некоторого выражения, воспользуемся свойством степени $(x^m)^n = x^{mn}$. Нам нужно найти такое выражение $X$, что $X^2 = a^4$. Если представить $X$ как $a^k$, то получим $(a^k)^2 = a^{2k}$. Приравнивая показатели степени, получаем уравнение $2k = 4$, откуда $k=2$. Таким образом, исходное выражение можно представить как квадрат выражения $a^2$.

Ответ: $(a^2)^2$

б) Чтобы представить выражение $a^6$ в виде квадрата, ищем такое выражение $X$, что $X^2 = a^6$. Используя свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$, мы можем записать $a^6$ как $(a^k)^2 = a^{2k}$. Отсюда следует, что $2k = 6$, что дает $k=3$. Следовательно, $a^6$ можно представить как квадрат выражения $a^3$.

Ответ: $(a^3)^2$

в) Аналогично предыдущим пунктам, чтобы представить $a^{18}$ в виде квадрата, мы ищем показатель степени $k$ такой, что $(a^k)^2 = a^{18}$. Это приводит к уравнению $2k = 18$, решением которого является $k=9$. Таким образом, $a^{18}$ является квадратом выражения $a^9$.

Ответ: $(a^9)^2$

г) Чтобы представить дробь $\frac{1}{a^{10}}$ в виде квадрата, воспользуемся свойством степени для дроби $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$. Мы можем записать $1$ как $1^2$. Для знаменателя ищем $k$ такое, что $(a^k)^2 = a^{10}$. Отсюда $2k=10$, то есть $k=5$. Значит, $a^{10}=(a^5)^2$. Таким образом, $\frac{1}{a^{10}} = \frac{1^2}{(a^5)^2}$. Применив свойство степени для дроби в обратную сторону, получаем искомое представление.

Ответ: $(\frac{1}{a^5})^2$

д) Чтобы представить произведение $a^2b^8$ в виде квадрата, используем свойство $(xy)^n = x^n y^n$. Нам нужно представить каждый множитель в виде квадрата. $a^2$ — это уже квадрат $a$, то есть $a^2 = (a^1)^2$. Для $b^8$ ищем $k$ такое, что $(b^k)^2 = b^8$, откуда $2k=8$ и $k=4$. Значит, $b^8 = (b^4)^2$. Теперь мы можем записать исходное выражение как произведение квадратов: $a^2b^8 = (a)^2(b^4)^2$. Используя свойство степени произведения, объединяем их под одним знаком квадрата.

Ответ: $(ab^4)^2$

е) Для представления дроби $\frac{a^6}{b^{12}}$ в виде квадрата, мы работаем с числителем и знаменателем отдельно. Для числителя $a^6$: $(a^k)^2 = a^6$, откуда $2k=6$ и $k=3$. Значит, $a^6 = (a^3)^2$. Для знаменателя $b^{12}$: $(b^m)^2 = b^{12}$, откуда $2m=12$ и $m=6$. Значит, $b^{12} = (b^6)^2$. Исходная дробь принимает вид $\frac{(a^3)^2}{(b^6)^2}$. Используя свойство степени для дроби $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$ в обратном порядке, получаем искомое представление.

Ответ: $(\frac{a^3}{b^6})^2$