Номер 387, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

16. Квадратный корень из произведения и дроби. § 6. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 387, страница 93.

387. Найдите значение выражения:

a) $\sqrt{10} \cdot \sqrt{40}$;

б) $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$;

в) $\sqrt{162} \cdot \sqrt{2}$;

г) $\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{3}{8}};$

д) $\sqrt{110} \cdot \sqrt{4,4}$;

е) $\sqrt{1\frac{4}{5}} \cdot \sqrt{0,2}$;

ж) $\frac{\sqrt{999}}{\sqrt{111}};$

з) $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{735}}.$

а) Для нахождения значения произведения корней воспользуемся свойством $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{10} \cdot \sqrt{40} = \sqrt{10 \cdot 40} = \sqrt{400}$
Так как $20^2 = 400$, то $\sqrt{400} = 20$.
Ответ: 20.

б) Используем то же свойство, что и в предыдущем примере: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{12 \cdot 3} = \sqrt{36}$
Квадратный корень из 36 равен 6.
Ответ: 6.

в) Применим свойство произведения корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{162} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{162 \cdot 2} = \sqrt{324}$
Чтобы найти корень из 324, можно заметить, что $10^2 = 100$ и $20^2=400$, а так как число 324 оканчивается на 4, то корень должен оканчиваться на 2 или 8. Проверим 18: $18^2 = 324$.
$\sqrt{324} = 18$.
Ответ: 18.

г) Снова используем свойство произведения корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 8}}$
Сократим дробь под корнем: $\sqrt{\frac{2}{8}} = \sqrt{\frac{1}{4}}$.
$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

д) Применяем свойство произведения корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{110} \cdot \sqrt{4,4} = \sqrt{110 \cdot 4,4} = \sqrt{484}$
Так как $20^2 = 400$, а число 484 оканчивается на 4, проверим 22: $22^2 = 484$.
$\sqrt{484} = 22$.
Ответ: 22.

е) Сначала преобразуем смешанное число и десятичную дробь в неправильные дроби.
$1\frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{9}{5}$
$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Теперь перемножим корни: $\sqrt{1\frac{4}{5}} \cdot \sqrt{0,2} = \sqrt{\frac{9}{5}} \cdot \sqrt{\frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{9}{25}}$
$\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$.

ж) Для нахождения значения частного корней воспользуемся свойством $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt{999}}{\sqrt{111}} = \sqrt{\frac{999}{111}}$
Так как $999 : 111 = 9$, то получаем: $\sqrt{9} = 3$.
Ответ: 3.

з) Используем то же свойство, что и в предыдущем примере: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{735}} = \sqrt{\frac{15}{735}}$
Сократим дробь под корнем. Оба числа делятся на 15. $735 : 15 = 49$.
$\sqrt{\frac{15 : 15}{735 : 15}} = \sqrt{\frac{1}{49}}$
$\sqrt{\frac{1}{49}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{49}} = \frac{1}{7}$.
Ответ: $\frac{1}{7}$.