Номер 380, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

16. Квадратный корень из произведения и дроби. § 6. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 380, страница 92.

380. Докажите, что при любом неотрицательном $a$:

а) $10\sqrt{\frac{a}{100}}=\sqrt{a}$;

б) $\sqrt{a}=\frac{a}{10}\sqrt{100a}$.

Требуется доказать равенства для любого неотрицательного значения $a$, то есть при условии $a \ge 0$. Мы будем доказывать каждое равенство путем преобразования одной из его частей до тех пор, пока она не станет идентичной другой части.

а) Докажем тождество $10\sqrt{\frac{a}{100}}=\sqrt{a}$.

Для доказательства преобразуем левую часть выражения. Воспользуемся свойством квадратного корня из частного: $\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$ (при $x \ge 0, y > 0$).

$10\sqrt{\frac{a}{100}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{100}}$

Так как $\sqrt{100}=10$, подставим это значение в выражение:

$10 \cdot \frac{\sqrt{a}}{10} = \frac{10\sqrt{a}}{10}$

Сократив на 10, получим:

$\sqrt{a}$

В результате преобразования левая часть стала равна правой части ($\sqrt{a} = \sqrt{a}$), следовательно, равенство верно для любого $a \ge 0$.

Ответ: равенство доказано.

б) Рассмотрим равенство, данное в условии: $\sqrt{a}=\frac{a}{10}\sqrt{100a}$.

Преобразуем правую часть. Для этого используем свойство квадратного корня из произведения: $\sqrt{x \cdot y}=\sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ (при $x \ge 0, y \ge 0$).

$\frac{a}{10}\sqrt{100a} = \frac{a}{10}\sqrt{100 \cdot a} = \frac{a}{10} \cdot \sqrt{100} \cdot \sqrt{a}$

Поскольку $\sqrt{100}=10$, получаем:

$\frac{a}{10} \cdot 10 \cdot \sqrt{a} = a\sqrt{a}$

Таким образом, исходное равенство эквивалентно равенству $\sqrt{a} = a\sqrt{a}$. Это равенство выполняется только в двух случаях: при $a=0$ (получим $0=0$) и при $a=1$ (получим $1=1$). Оно не является верным для всех неотрицательных $a$. Это означает, что в условии задачи, вероятнее всего, содержится опечатка.

Предположим, что правильное равенство должно выглядеть так: $\sqrt{a}=\frac{1}{10}\sqrt{100a}$. Докажем это исправленное тождество.

Преобразуем правую часть:

$\frac{1}{10}\sqrt{100a} = \frac{1}{10}\sqrt{100 \cdot a} = \frac{1}{10} \cdot \sqrt{100} \cdot \sqrt{a}$

Подставим значение $\sqrt{100}=10$:

$\frac{1}{10} \cdot 10 \cdot \sqrt{a} = 1 \cdot \sqrt{a} = \sqrt{a}$

В результате преобразования правая часть стала равна левой ($\sqrt{a} = \sqrt{a}$), следовательно, исправленное равенство верно для любого $a \ge 0$.

Ответ: равенство $\sqrt{a}=\frac{a}{10}\sqrt{100a}$ неверно для всех неотрицательных $a$. Вероятно, в условии опечатка, и имелось в виду тождество $\sqrt{a}=\frac{1}{10}\sqrt{100a}$, которое является верным.