Номер 375, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

16. Квадратный корень из произведения и дроби. § 6. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 375, страница 92.

375. Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{75 \cdot 48}$;

б) $\sqrt{45 \cdot 80}$;

в) $\sqrt{4,9 \cdot 360}$;

г) $\sqrt{160 \cdot 6,4}$.

а) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{75 \cdot 48}$, разложим числа под корнем на удобные множители, из которых легко извлечь квадратный корень.
Представим число 75 как произведение $25 \cdot 3$.
Представим число 48 как произведение $16 \cdot 3$.
Получим следующее выражение:
$\sqrt{75 \cdot 48} = \sqrt{(25 \cdot 3) \cdot (16 \cdot 3)}$
Теперь сгруппируем множители так, чтобы выделить полные квадраты:
$\sqrt{25 \cdot 16 \cdot (3 \cdot 3)} = \sqrt{25 \cdot 16 \cdot 9}$
Используя свойство "корень из произведения равен произведению корней" ($\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$), извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{25} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{9} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$
Ответ: 60

б) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{45 \cdot 80}$, разложим подкоренные числа на множители.
Представим число 45 как $9 \cdot 5$.
Представим число 80 как $16 \cdot 5$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\sqrt{45 \cdot 80} = \sqrt{(9 \cdot 5) \cdot (16 \cdot 5)}$
Сгруппируем множители:
$\sqrt{9 \cdot 16 \cdot (5 \cdot 5)} = \sqrt{9 \cdot 16 \cdot 25}$
Извлечем корень из каждого множителя по отдельности:
$\sqrt{9} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{25} = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$
Ответ: 60

в) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{4,9 \cdot 360}$, преобразуем подкоренное произведение так, чтобы избавиться от десятичной дроби.
Для этого "перенесем" множитель 10 от числа 360 к числу 4,9:
$4,9 \cdot 360 = 4,9 \cdot (10 \cdot 36) = (4,9 \cdot 10) \cdot 36 = 49 \cdot 36$
Теперь исходное выражение имеет вид:
$\sqrt{4,9 \cdot 360} = \sqrt{49 \cdot 36}$
Числа 49 и 36 являются полными квадратами. Извлечем из них корни:
$\sqrt{49} \cdot \sqrt{36} = 7 \cdot 6 = 42$
Ответ: 42

г) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{160 \cdot 6,4}$, также преобразуем произведение для удобства вычислений.
"Перенесем" множитель 10 от числа 160 к числу 6,4:
$160 \cdot 6,4 = (16 \cdot 10) \cdot 6,4 = 16 \cdot (10 \cdot 6,4) = 16 \cdot 64$
Таким образом, выражение преобразуется к виду:
$\sqrt{160 \cdot 6,4} = \sqrt{16 \cdot 64}$
Извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{16} \cdot \sqrt{64} = 4 \cdot 8 = 32$
Ответ: 32