Номер 377, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

16. Квадратный корень из произведения и дроби. § 6. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 377, страница 92.

377. Извлеките корень:

а) $\sqrt{17^2 - 8^2}$;

б) $\sqrt{3^2 + 4^2}$;

в) $\sqrt{82^2 - 18^2}$;

г) $\sqrt{117^2 - 108^2}$;

д) $\sqrt{6,8^2 - 3,2^2}$;

е) $\sqrt{\left(1\frac{1}{16}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}$.

а) Для вычисления значения выражения под корнем воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$\sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{(17 - 8)(17 + 8)} = \sqrt{9 \cdot 25}$

Далее, используя свойство корня из произведения ($\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$), получаем:

$\sqrt{9} \cdot \sqrt{25} = 3 \cdot 5 = 15$

Ответ: 15

б) В данном случае под корнем находится сумма квадратов. Для таких выражений нет формулы сокращенного умножения, поэтому сначала выполним возведение в степень, а затем сложение.

$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}$

Теперь извлечем корень:

$\sqrt{25} = 5$

Ответ: 5

в) Снова применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$\sqrt{82^2 - 18^2} = \sqrt{(82 - 18)(82 + 18)} = \sqrt{64 \cdot 100}$

Извлекаем корень из произведения:

$\sqrt{64 \cdot 100} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{100} = 8 \cdot 10 = 80$

Ответ: 80

г) Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$\sqrt{117^2 - 108^2} = \sqrt{(117 - 108)(117 + 108)} = \sqrt{9 \cdot 225}$

Извлекаем корень из каждого множителя:

$\sqrt{9} \cdot \sqrt{225} = 3 \cdot 15 = 45$

Ответ: 45

д) Формула разности квадратов также применима и для десятичных дробей.

$\sqrt{6,8^2 - 3,2^2} = \sqrt{(6,8 - 3,2)(6,8 + 3,2)} = \sqrt{3,6 \cdot 10}$

Выполним умножение под корнем:

$\sqrt{36} = 6$

Ответ: 6

е) Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную, а затем воспользуемся формулой разности квадратов.

$1\frac{1}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{17}{16}$

Выражение принимает вид:

$\sqrt{(\frac{17}{16})^2 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{(\frac{17}{16} - \frac{1}{2})(\frac{17}{16} + \frac{1}{2})}$

Приведем дроби к общему знаменателю 16: $\frac{1}{2} = \frac{8}{16}$.

$\sqrt{(\frac{17}{16} - \frac{8}{16})(\frac{17}{16} + \frac{8}{16})} = \sqrt{\frac{9}{16} \cdot \frac{25}{16}}$

Извлечем корень из произведения дробей:

$\sqrt{\frac{9 \cdot 25}{16 \cdot 16}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 25}}{\sqrt{16^2}} = \frac{\sqrt{9} \cdot \sqrt{25}}{16} = \frac{3 \cdot 5}{16} = \frac{15}{16}$

Ответ: $\frac{15}{16}$