Номер 372, страница 91 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

16. Квадратный корень из произведения и дроби. § 6. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 372, страница 91.

372. Найдите значение выражения:

а) $ \sqrt{9 \cdot 64 \cdot 0,25}; $

б) $ \sqrt{1,21 \cdot 0,09 \cdot 0,0001}; $

в) $ \sqrt{\frac{25}{81} \cdot \frac{16}{49} \cdot \frac{196}{9}}; $

г) $ \sqrt{5\frac{1}{16} \cdot 2\frac{34}{81}}. $

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt{9 \cdot 64 \cdot 0,25}$ воспользуемся свойством корня из произведения: корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей ($\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$).

$\sqrt{9 \cdot 64 \cdot 0,25} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{64} \cdot \sqrt{0,25}$

Извлекаем корень из каждого множителя: $\sqrt{9}=3$, $\sqrt{64}=8$, $\sqrt{0,25}=0,5$.

Теперь перемножаем полученные значения: $3 \cdot 8 \cdot 0,5 = 24 \cdot 0,5 = 12$.

Ответ: $12$

б) Аналогично предыдущему примеру, для выражения $\sqrt{1,21 \cdot 0,09 \cdot 0,0001}$ применим свойство корня из произведения.

$\sqrt{1,21 \cdot 0,09 \cdot 0,0001} = \sqrt{1,21} \cdot \sqrt{0,09} \cdot \sqrt{0,0001}$

Находим значения корней: $\sqrt{1,21}=1,1$, $\sqrt{0,09}=0,3$, $\sqrt{0,0001}=0,01$.

Вычисляем произведение: $1,1 \cdot 0,3 \cdot 0,01 = 0,33 \cdot 0,01 = 0,0033$.

Ответ: $0,0033$

в) Для выражения $\sqrt{\frac{25}{81} \cdot \frac{16}{49} \cdot \frac{196}{9}}$ используем то же свойство, а также свойство корня из дроби ($\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$).

$\sqrt{\frac{25}{81} \cdot \frac{16}{49} \cdot \frac{196}{9}} = \sqrt{\frac{25}{81}} \cdot \sqrt{\frac{16}{49}} \cdot \sqrt{\frac{196}{9}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{81}} \cdot \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{49}} \cdot \frac{\sqrt{196}}{\sqrt{9}} = \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{14}{3}$.

Перемножаем полученные дроби и сокращаем: $\frac{5 \cdot 4 \cdot 14}{9 \cdot 7 \cdot 3} = \frac{5 \cdot 4 \cdot (2 \cdot 7)}{9 \cdot 7 \cdot 3} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 2}{9 \cdot 3} = \frac{40}{27}$.

Ответ: $\frac{40}{27}$

г) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{5\frac{1}{16} \cdot 2\frac{34}{81}}$, сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$5\frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{80 + 1}{16} = \frac{81}{16}$

$2\frac{34}{81} = \frac{2 \cdot 81 + 34}{81} = \frac{162 + 34}{81} = \frac{196}{81}$

Подставляем полученные дроби в исходное выражение: $\sqrt{\frac{81}{16} \cdot \frac{196}{81}}$.

Сократим дроби под корнем, убрав общий множитель $81$: $\sqrt{\frac{196}{16}}$.

Теперь извлекаем корень и упрощаем результат: $\sqrt{\frac{196}{16}} = \frac{\sqrt{196}}{\sqrt{16}} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3,5$.

Ответ: $3,5$