Номер 374, страница 91 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

16. Квадратный корень из произведения и дроби. § 6. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 374, страница 91.

374. Вычислите значение корня:

a) $\sqrt{810 \cdot 40}$;

б) $\sqrt{10 \cdot 250}$;

в) $\sqrt{72 \cdot 32}$;

г) $\sqrt{8 \cdot 98}$;

д) $\sqrt{50 \cdot 18}$;

е) $\sqrt{2,5 \cdot 14,4}$;

ж) $\sqrt{90 \cdot 6,4}$;

з) $\sqrt{16,9 \cdot 0,4}$.

а) Чтобы вычислить значение корня $\sqrt{810 \cdot 40}$, разложим подкоренные числа на множители так, чтобы выделить полные квадраты. Представим $810$ как $81 \cdot 10$ и $40$ как $4 \cdot 10$. $ \sqrt{810 \cdot 40} = \sqrt{(81 \cdot 10) \cdot (4 \cdot 10)} = \sqrt{81 \cdot 4 \cdot 10 \cdot 10} = \sqrt{81 \cdot 4 \cdot 100} $. Используя свойство корня из произведения ($\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$), получаем: $ \sqrt{81} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{100} = 9 \cdot 2 \cdot 10 = 180 $.
Ответ: 180.

б) Для вычисления $\sqrt{10 \cdot 250}$ разложим число $250$ на множители. $250 = 25 \cdot 10$. $ \sqrt{10 \cdot 250} = \sqrt{10 \cdot (25 \cdot 10)} = \sqrt{25 \cdot 10 \cdot 10} = \sqrt{25 \cdot 100} $. Применяем свойство корня из произведения: $ \sqrt{25} \cdot \sqrt{100} = 5 \cdot 10 = 50 $.
Ответ: 50.

в) Чтобы найти значение $\sqrt{72 \cdot 32}$, разложим множители под корнем так, чтобы выделить полные квадраты. Представим $72$ как $36 \cdot 2$. $ \sqrt{72 \cdot 32} = \sqrt{(36 \cdot 2) \cdot 32} = \sqrt{36 \cdot (2 \cdot 32)} = \sqrt{36 \cdot 64} $. Теперь извлечем корень из каждого множителя: $ \sqrt{36} \cdot \sqrt{64} = 6 \cdot 8 = 48 $.
Ответ: 48.

г) Для вычисления $\sqrt{8 \cdot 98}$ разложим оба числа на множители. $8 = 4 \cdot 2$ и $98 = 2 \cdot 49$. $ \sqrt{8 \cdot 98} = \sqrt{(4 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 49)} = \sqrt{4 \cdot 49 \cdot (2 \cdot 2)} = \sqrt{4 \cdot 49 \cdot 4} $. Извлекая корни из полных квадратов, получаем: $ \sqrt{4} \cdot \sqrt{49} \cdot \sqrt{4} = 2 \cdot 7 \cdot 2 = 28 $.
Ответ: 28.

д) Для вычисления $\sqrt{50 \cdot 18}$ можно сначала перемножить числа под корнем, что в данном случае упрощает задачу. $ 50 \cdot 18 = 900 $. Тогда выражение принимает вид $\sqrt{900}$. $ \sqrt{900} = \sqrt{9 \cdot 100} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{100} = 3 \cdot 10 = 30 $.
Ответ: 30.

е) Чтобы вычислить $\sqrt{2.5 \cdot 14.4}$, можно сначала выполнить умножение под корнем. $ 2.5 \cdot 14.4 = 36 $. Тогда получаем $\sqrt{36}$. $ \sqrt{36} = 6 $.
Ответ: 6.

ж) Для вычисления $\sqrt{90 \cdot 6.4}$ удобно избавиться от десятичной дроби под корнем, "переместив" множитель 10. $ \sqrt{90 \cdot 6.4} = \sqrt{(9 \cdot 10) \cdot 6.4} = \sqrt{9 \cdot (10 \cdot 6.4)} = \sqrt{9 \cdot 64} $. Теперь извлекаем корень из каждого множителя: $ \sqrt{9} \cdot \sqrt{64} = 3 \cdot 8 = 24 $.
Ответ: 24.

з) Для вычисления $\sqrt{16.9 \cdot 0.4}$ преобразуем произведение под корнем, чтобы работать с целыми или более удобными числами. $ \sqrt{16.9 \cdot 0.4} = \sqrt{(1.69 \cdot 10) \cdot 0.4} = \sqrt{1.69 \cdot (10 \cdot 0.4)} = \sqrt{1.69 \cdot 4} $. Извлекаем корень из каждого множителя, зная, что $1.3^2 = 1.69$: $ \sqrt{1.69} \cdot \sqrt{4} = 1.3 \cdot 2 = 2.6 $.
Ответ: 2.6.