Номер 371, страница 91 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

16. Квадратный корень из произведения и дроби. § 6. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 371, страница 91.

371. Найдите значение корня:

а) $\sqrt{81 \cdot 900}$;

б) $\sqrt{0.36 \cdot 49}$;

в) $\sqrt{12\frac{1}{4}}$;

г) $\sqrt{10\frac{9}{16}}$.

а) Для того чтобы найти значение выражения $\sqrt{81 \cdot 900}$, можно использовать свойство квадратного корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ для неотрицательных $a$ и $b$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt{81 \cdot 900} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{900}$

Теперь вычислим значение каждого корня отдельно:

$\sqrt{81} = 9$, так как $9^2 = 81$.

$\sqrt{900} = 30$, так как $30^2 = 900$.

Наконец, перемножим полученные результаты:

$9 \cdot 30 = 270$.

Ответ: $270$.

б) Найдем значение выражения $\sqrt{0,36 \cdot 49}$. Аналогично предыдущему пункту, используем свойство корня из произведения:

$\sqrt{0,36 \cdot 49} = \sqrt{0,36} \cdot \sqrt{49}$

Вычислим каждый корень:

$\sqrt{0,36} = 0,6$, так как $0,6^2 = 0,36$.

$\sqrt{49} = 7$, так как $7^2 = 49$.

Перемножим полученные значения:

$0,6 \cdot 7 = 4,2$.

Ответ: $4,2$.

в) Чтобы найти значение корня из смешанного числа $\sqrt{12\frac{1}{4}}$, первым шагом преобразуем подкоренное выражение в неправильную дробь.

$12\frac{1}{4} = \frac{12 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{48 + 1}{4} = \frac{49}{4}$

Теперь наше выражение имеет вид $\sqrt{\frac{49}{4}}$. Воспользуемся свойством корня из дроби: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ для неотрицательного $a$ и положительного $b$.

$\sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{4}} = \frac{7}{2}$

Представим результат в виде десятичной дроби:

$\frac{7}{2} = 3,5$.

Ответ: $3,5$.

г) Найдем значение выражения $\sqrt{10\frac{9}{16}}$. Как и в предыдущем примере, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$10\frac{9}{16} = \frac{10 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{160 + 9}{16} = \frac{169}{16}$

Теперь необходимо извлечь корень из дроби $\frac{169}{16}$, используя свойство корня из частного:

$\sqrt{\frac{169}{16}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{16}}$

Вычислим значения корней в числителе и знаменателе:

$\sqrt{169} = 13$, так как $13^2 = 169$.

$\sqrt{16} = 4$, так как $4^2 = 16$.

Таким образом, получаем дробь $\frac{13}{4}$.

Переведем неправильную дробь в десятичную:

$\frac{13}{4} = 3,25$.

Ответ: $3,25$.