Номер 1, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 5. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 1, страница 88.

1 Сформулируйте определение арифметического квадратного корня.
При каких значениях $a$ выражение $\sqrt{a}$ имеет смысл?

Сформулируйте определение арифметического квадратного корня.

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число $b$, квадрат которого равен $a$.

Это можно записать в виде равносильной системы:
Выражение $\sqrt{a} = b$ эквивалентно выполнению двух условий:

1. $b^2 = a$
2. $b \ge 0$

Из самого определения следует, что подкоренное выражение $a$ также должно быть неотрицательным ($a \ge 0$), так как квадрат любого действительного числа ($b^2$) не может быть отрицательным.

Например: $\sqrt{25} = 5$, потому что $5 \ge 0$ и $5^2 = 25$.
Хотя $(-5)^2$ также равно $25$, число $-5$ не является арифметическим квадратным корнем из $25$, так как оно отрицательное.

Ответ: Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.

---

При каких значениях a выражение $\sqrt{a}$ имеет смысл?

Выражение $\sqrt{a}$ (арифметический квадратный корень) имеет смысл в области действительных чисел тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно.

Это следует из определения, так как не существует такого действительного числа $b$, квадрат которого ($b^2$) был бы отрицательным числом. Если бы мы предположили, что $a < 0$, то уравнение $b^2 = a$ не имело бы решений в множестве действительных чисел.

Таким образом, для того чтобы выражение $\sqrt{a}$ имело смысл, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: $$ a \ge 0 $$

Ответ: Выражение $\sqrt{a}$ имеет смысл при $a \ge 0$.