Номер 368, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

15. Функция y=√x и её график. § 5. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 368, страница 88.

368. Решите уравнения:

a) $x^2 = 11$ и $\sqrt{x} = 11$;

б) $2x^2 = \frac{1}{2}$ и $2\sqrt{x} = \frac{1}{2}$.

а)

Решение уравнения $x^2 = 11$:
Это квадратное уравнение. Чтобы найти $x$, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку $11$ — положительное число, уравнение имеет два действительных корня.
$x = \pm\sqrt{11}$.
Ответ: $x_1 = \sqrt{11}, x_2 = -\sqrt{11}$.

Решение уравнения $\sqrt{x} = 11$:
По определению, арифметический квадратный корень определён для неотрицательных чисел, поэтому область допустимых значений для $x$ — это $x \ge 0$.
Чтобы найти $x$, возведём обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 11^2$
$x = 121$.
Полученное значение $x = 121$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.
Ответ: $x = 121$.

б)

Решение уравнения $2x^2 = \frac{1}{2}$:
Сначала разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $x^2$:
$x^2 = \frac{1}{2} \div 2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
Теперь извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$
$x = \pm\frac{1}{2}$.
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = -\frac{1}{2}$.

Решение уравнения $2\sqrt{x} = \frac{1}{2}$:
Область допустимых значений для $x$ — это $x \ge 0$.
Разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $\sqrt{x}$:
$\sqrt{x} = \frac{1}{2} \div 2 = \frac{1}{4}$.
Возведём обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2$
$x = \frac{1}{16}$.
Полученное значение $x = \frac{1}{16}$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.
Ответ: $x = \frac{1}{16}$.