Номер 362, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

15. Функция y=√x и её график. § 5. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 362, страница 87.

362. Решите графически уравнение:

а) $\sqrt{x}=6-x;$ б) $\sqrt{x}=\frac{4}{x};$ в) $-x-5=\sqrt{x}.$

а) $\sqrt{x} = 6 - x$

Для графического решения данного уравнения построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \sqrt{x}$ и $y = 6 - x$.

1. График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат. Область определения функции: $x \ge 0$. Построим его по ключевым точкам: (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3).

2. График функции $y = 6 - x$ — это прямая линия. Для ее построения достаточно двух точек. Например, если $x = 0$, то $y = 6$ (точка (0; 6)); если $y = 0$, то $x = 6$ (точка (6; 0)).

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки и является решением уравнения. Из графика видно, что точка пересечения имеет координаты (4; 2).

Сделаем проверку, подставив найденное значение в исходное уравнение:
$\sqrt{4} = 6 - 4$
$2 = 2$
Равенство верное, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $x = 4$.

б) $\sqrt{x} = \frac{4}{x}$

Построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{4}{x}$.

1. График функции $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы с вершиной в точке (0; 0). Область определения $x \ge 0$. Ключевые точки: (0; 0), (1; 1), (4; 2).

2. График функции $y = \frac{4}{x}$ — это гипербола. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, нас интересует только та ветвь гиперболы, где $y > 0$, то есть при $x > 0$. Ключевые точки для этой ветви: (1; 4), (2; 2), (4; 1).

Построив графики, можно увидеть, что они пересекаются в одной точке. Однако, по графику сложно определить точные координаты точки пересечения. Видно, что абсцисса точки пересечения находится в интервале между 2 и 3. Для нахождения точного решения решим уравнение аналитически.

Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что по ОДЗ $x > 0$:
$(\sqrt{x})^2 = (\frac{4}{x})^2$
$x = \frac{16}{x^2}$
$x^3 = 16$
$x = \sqrt[3]{16}$

Ответ: $x = \sqrt[3]{16}$.

в) $-x - 5 = \sqrt{x}$

Для решения уравнения построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = -x - 5$.

1. График функции $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы. Область определения $x \ge 0$. Область значений $y \ge 0$.

2. График функции $y = -x - 5$ — это прямая линия. Построим ее по двум точкам: (0; -5) и (-5; 0).

Построив графики, мы видим, что они не имеют точек пересечения.
Это можно было установить и без построения. Область значений функции $y = \sqrt{x}$ — это все неотрицательные числа ($y \ge 0$). В то же время, для области определения ($x \ge 0$), значения функции $y = -x - 5$ всегда будут отрицательными ($-x \le 0$, значит $-x-5 \le -5$). Так как одна часть уравнения всегда неотрицательна, а другая всегда отрицательна, равенство между ними невозможно.

Ответ: решений нет.