Номер 359, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

15. Функция y=√x и её график. § 5. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 359, страница 87.

359. Докажите, что графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x + 0,5$ не имеют общих точек.

Для того чтобы доказать, что графики функций $y=\sqrt{x}$ и $y = x + 0,5$ не имеют общих точек, необходимо показать, что система уравнений, составленная из этих функций, не имеет действительных решений.

Общая точка для двух графиков — это точка, координаты которой $(x, y)$ удовлетворяют обоим уравнениям. Следовательно, в такой точке должно выполняться равенство:

$\sqrt{x} = x + 0,5$

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Так как подкоренное выражение не может быть отрицательным, должно выполняться условие $x \ge 0$.

Чтобы решить уравнение, возведем обе его части в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (x + 0,5)^2$

Используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ для правой части, получаем:

$x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 0,5 + (0,5)^2$

$x = x^2 + x + 0,25$

Теперь перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы привести его к стандартному виду:

$x^2 + x - x + 0,25 = 0$

$x^2 + 0,25 = 0$

Перепишем уравнение в виде:

$x^2 = -0,25$

Полученное уравнение не имеет действительных решений, поскольку квадрат любого действительного числа ($x^2$) всегда является неотрицательной величиной ($x^2 \ge 0$), а число $-0,25$ — отрицательное.

Так как уравнение, определяющее абсциссы точек пересечения графиков, не имеет решений в области действительных чисел, это означает, что графики функций $y=\sqrt{x}$ и $y = x + 0,5$ не пересекаются, то есть не имеют общих точек.

Ответ: Уравнение $\sqrt{x} = x + 0,5$, определяющее абсциссы общих точек графиков, после возведения в квадрат и упрощения принимает вид $x^2 = -0,25$. Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, графики заданных функций не имеют общих точек, что и требовалось доказать.