Номер 364, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

15. Функция y=√x и её график. § 5. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 364, страница 88.

364. Сравните числа:

a) $\sqrt{27}$ и $\sqrt{28}$;

б) $\sqrt{1,3}$ и $\sqrt{1,5}$;

в) $\sqrt{7}$ и $3$;

г) $\sqrt{6,25}$ и $2,5$;

д) $\sqrt{\frac{1}{5}}$ и $\sqrt{\frac{1}{6}}$;

е) $\sqrt{0,8}$ и $1$;

ж) $\sqrt{0,18}$ и $0,4$;

з) $\sqrt{\frac{4}{5}}$ и $\sqrt{\frac{5}{6}}$;

и) $\sqrt{3,5}$ и $\sqrt{3\frac{2}{3}}$.

а) Для сравнения чисел $\sqrt{27}$ и $\sqrt{28}$ воспользуемся свойством квадратного корня: для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$, если $a < b$, то $\sqrt{a} < \sqrt{b}$. Сравним подкоренные выражения: $27$ и $28$. Так как $27 < 28$, то и $\sqrt{27} < \sqrt{28}$.
Ответ: $\sqrt{27} < \sqrt{28}$.

б) Сравниваем числа $\sqrt{1,3}$ и $\sqrt{1,5}$. Оба числа находятся под знаком корня. Сравним подкоренные выражения: $1,3$ и $1,5$. Так как $1,3 < 1,5$, то $\sqrt{1,3} < \sqrt{1,5}$.
Ответ: $\sqrt{1,3} < \sqrt{1,5}$.

в) Чтобы сравнить $\sqrt{7}$ и $3$, представим число $3$ в виде квадратного корня. Для любого неотрицательного числа $c$ верно, что $c = \sqrt{c^2}$. Таким образом, $3 = \sqrt{3^2} = \sqrt{9}$. Теперь сравним $\sqrt{7}$ и $\sqrt{9}$. Поскольку $7 < 9$, то $\sqrt{7} < \sqrt{9}$, а значит $\sqrt{7} < 3$.
Ответ: $\sqrt{7} < 3$.

г) Сравним $\sqrt{6,25}$ и $2,5$. Можно извлечь корень из $6,25$. Мы знаем, что $25^2 = 625$, следовательно, $(2,5)^2 = 6,25$. Таким образом, $\sqrt{6,25} = 2,5$. Числа равны. Альтернативный способ — представить $2,5$ в виде корня: $2,5 = \sqrt{(2,5)^2} = \sqrt{6,25}$. Сравнивая $\sqrt{6,25}$ и $\sqrt{6,25}$, видим, что они равны.
Ответ: $\sqrt{6,25} = 2,5$.

д) Сравним $\sqrt{\frac{1}{5}}$ и $\sqrt{\frac{1}{6}}$. Для этого сравним подкоренные выражения: дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{6}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $5 < 6$, то $\frac{1}{5} > \frac{1}{6}$. Следовательно, $\sqrt{\frac{1}{5}} > \sqrt{\frac{1}{6}}$.
Ответ: $\sqrt{\frac{1}{5}} > \sqrt{\frac{1}{6}}$.

е) Чтобы сравнить $\sqrt{0,8}$ и $1$, представим $1$ как квадратный корень: $1 = \sqrt{1^2} = \sqrt{1}$. Теперь сравним $\sqrt{0,8}$ и $\sqrt{1}$. Так как $0,8 < 1$, то $\sqrt{0,8} < \sqrt{1}$, а значит $\sqrt{0,8} < 1$.
Ответ: $\sqrt{0,8} < 1$.

ж) Сравним $\sqrt{0,18}$ и $0,4$. Представим $0,4$ в виде квадратного корня: $0,4 = \sqrt{(0,4)^2} = \sqrt{0,16}$. Теперь сравним $\sqrt{0,18}$ и $\sqrt{0,16}$. Так как $0,18 > 0,16$, то $\sqrt{0,18} > \sqrt{0,16}$, следовательно, $\sqrt{0,18} > 0,4$.
Ответ: $\sqrt{0,18} > 0,4$.

з) Сравним $\sqrt{\frac{4}{5}}$ и $\sqrt{\frac{5}{6}}$. Для этого сравним подкоренные выражения: $\frac{4}{5}$ и $\frac{5}{6}$. Чтобы сравнить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для $5$ и $6$ — это $30$. $\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{24}{30}$. $\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{25}{30}$. Так как $24 < 25$, то $\frac{24}{30} < \frac{25}{30}$, а значит $\frac{4}{5} < \frac{5}{6}$. Следовательно, $\sqrt{\frac{4}{5}} < \sqrt{\frac{5}{6}}$.
Ответ: $\sqrt{\frac{4}{5}} < \sqrt{\frac{5}{6}}$.

и) Сравним $\sqrt{3,5}$ и $\sqrt{3\frac{2}{3}}$. Сравним подкоренные выражения: $3,5$ и $3\frac{2}{3}$. Представим оба числа в виде неправильных дробей. $3,5 = 3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$. $3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$. Теперь приведем дроби $\frac{7}{2}$ и $\frac{11}{3}$ к общему знаменателю $6$. $\frac{7}{2} = \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{21}{6}$. $\frac{11}{3} = \frac{11 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{22}{6}$. Так как $21 < 22$, то $\frac{21}{6} < \frac{22}{6}$, что означает $3,5 < 3\frac{2}{3}$. Следовательно, $\sqrt{3,5} < \sqrt{3\frac{2}{3}}$.
Ответ: $\sqrt{3,5} < \sqrt{3\frac{2}{3}}$.