Номер 360, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

15. Функция y=√x и её график. § 5. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 360, страница 87.

360. (Для работы в парах.) Имеют ли общие точки графики функций:

а) $y = \sqrt{x}$ и $y = x$;

б) $y = \sqrt{x}$ и $y = 1000$;

в) $y = \sqrt{x}$ и $y = x + 10$;

г) $y = \sqrt{x}$ и $y = -x + 1.5$?

При положительном ответе укажите координаты этих точек.

1) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, верно ли выполнены задания. Исправьте замеченные ошибки.

3) Приведите примеры линейных функций, графики которых: не пересекают график функции $y = \sqrt{x}$; пересекают его в одной точке; пересекают его в двух точках. Обсудите правильность этих примеров.

а) Для нахождения общих точек графиков функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x$ приравняем их правые части:

$\sqrt{x} = x$

Это уравнение определено при $x \ge 0$. Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{x})^2 = x^2$

$x = x^2$

$x^2 - x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 1) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$:

При $x_1 = 0$, $y_1 = \sqrt{0} = 0$. Первая общая точка — $(0; 0)$.

При $x_2 = 1$, $y_2 = \sqrt{1} = 1$. Вторая общая точка — $(1; 1)$.

Следовательно, графики имеют две общие точки.

Ответ: Да, имеют. Координаты общих точек: $(0; 0)$ и $(1; 1)$.

б) Для нахождения общих точек графиков функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 1000$ приравняем их правые части:

$\sqrt{x} = 1000$

Поскольку $1000$ — положительное число, уравнение имеет решение. Возведем обе части в квадрат:

$x = 1000^2$

$x = 1\;000\;000$

Значение $y$ нам уже известно: $y = 1000$. Таким образом, графики имеют одну общую точку.

Ответ: Да, имеют. Координаты общей точки: $(1\;000\;000; 1000)$.

в) Для нахождения общих точек графиков функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x + 10$ приравняем их правые части:

$\sqrt{x} = x + 10$

Для существования решения необходимо выполнение условий: $x \ge 0$ (из области определения $\sqrt{x}$) и $x + 10 \ge 0$ (так как значение корня не может быть отрицательным). Условие $x + 10 \ge 0$ означает $x \ge -10$. Объединяя оба условия, получаем $x \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x = (x + 10)^2$

$x = x^2 + 20x + 100$

$x^2 + 19x + 100 = 0$

Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 19^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 361 - 400 = -39$

Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, графики функций не имеют общих точек.

Ответ: Нет, не имеют.

г) Для нахождения общих точек графиков функций $y = \sqrt{x}$ и $y = -x + 1,5$ приравняем их правые части:

$\sqrt{x} = -x + 1,5$

Условия для существования решения: $x \ge 0$ и $-x + 1,5 \ge 0$, то есть $x \le 1,5$. Таким образом, корень уравнения должен находиться в промежутке $[0; 1,5]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x = (-x + 1,5)^2$

$x = x^2 - 3x + 2,25$

$x^2 - 4x + 2,25 = 0$

Умножим уравнение на 4, чтобы работать с целыми коэффициентами:

$4x^2 - 16x + 9 = 0$

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 256 - 144 = 112$

$x = \frac{16 \pm \sqrt{112}}{8} = \frac{16 \pm 4\sqrt{7}}{8} = 2 \pm \frac{\sqrt{7}}{2}$

Получаем два потенциальных корня: $x_1 = 2 - \frac{\sqrt{7}}{2}$ и $x_2 = 2 + \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Проверим, принадлежат ли корни промежутку $[0; 1,5]$. Используя приближение $\sqrt{7} \approx 2,646$:

$x_1 \approx 2 - \frac{2,646}{2} = 2 - 1,323 = 0,677$. Этот корень входит в промежуток $[0; 1,5]$.

$x_2 \approx 2 + \frac{2,646}{2} = 2 + 1,323 = 3,323$. Этот корень не входит в промежуток, значит, является посторонним.

Итак, у нас есть один корень $x = 2 - \frac{\sqrt{7}}{2}$. Найдем соответствующий $y$:

$y = -x + 1,5 = -(2 - \frac{\sqrt{7}}{2}) + 1,5 = -2 + \frac{\sqrt{7}}{2} + 1,5 = \frac{\sqrt{7}}{2} - 0,5 = \frac{\sqrt{7}-1}{2}$.

Ответ: Да, имеют. Координаты общей точки: $(2 - \frac{\sqrt{7}}{2}; \frac{\sqrt{7}-1}{2})$.

3)

Примеры линейных функций, графики которых не пересекают график функции $y = \sqrt{x}$

1. Любая прямая, проходящая ниже оси абсцисс, например, $y = -1$. Так как $y=\sqrt{x} \ge 0$, то уравнение $\sqrt{x} = -1$ не имеет решений.

2. Прямая с положительным угловым коэффициентом, "приподнятая" над графиком, например, $y = x + 1$. Уравнение $\sqrt{x} = x + 1$ приводит к квадратному уравнению $x^2+x+1=0$, которое не имеет действительных корней ($D = 1-4 = -3 < 0$).

Ответ: Например, $y = -1$ или $y = x + 1$.

Примеры линейных функций, графики которых пересекают график функции $y = \sqrt{x}$ в одной точке

1. Любая горизонтальная прямая $y=c$, где $c \ge 0$. Например, $y = 5$. Уравнение $\sqrt{x} = 5$ имеет единственное решение $x = 25$. Точка пересечения — $(25; 5)$.

2. Касательная к графику функции $y = \sqrt{x}$. Например, прямая $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ является касательной в точке $(1; 1)$.

Ответ: Например, $y = 5$ или $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$.

Примеры линейных функций, графики которых пересекают график функции $y = \sqrt{x}$ в двух точках

1. Прямая $y = x$, как было показано в пункте а), пересекает график в двух точках: $(0; 0)$ и $(1; 1)$.

2. Любая прямая $y = kx + b$, которая проходит через начало координат с положительным угловым коэффициентом $k < 1$, или прямая, пересекающая положительную полуось $y$ и имеющая достаточно малый положительный наклон. Например, $y = 0,5x + 0,1$.

Ответ: Например, $y = x$ или $y = 0,5x + 0,1$.