Страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

357. Принадлежит ли графику функции $y=\sqrt{x}$ точка $A(64; 8)$? точка $B(10000; 100)$? точка $C(-81; 9)$? точка $D(25; -5)$?

Для того чтобы проверить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить ее координаты $(x; y)$ в уравнение функции $y = \sqrt{x}$. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. Если равенство неверное или выражение не имеет смысла в области действительных чисел, то точка не принадлежит графику.

точка A(64; 8)?
Подставляем координаты точки $A(64; 8)$ в уравнение $y = \sqrt{x}$.
При $x=64$ и $y=8$ получаем:
$8 = \sqrt{64}$.
Это верное равенство, так как $\sqrt{64} = 8$.
Следовательно, точка $A(64; 8)$ принадлежит графику функции.
Ответ: да, принадлежит.

точка B(10 000; 100)?
Подставляем координаты точки $B(10\,000; 100)$ в уравнение $y = \sqrt{x}$.
При $x=10\,000$ и $y=100$ получаем:
$100 = \sqrt{10\,000}$.
Это верное равенство, так как $\sqrt{10\,000} = 100$.
Следовательно, точка $B(10\,000; 100)$ принадлежит графику функции.
Ответ: да, принадлежит.

точка C(-81; 9)?
Подставляем координаты точки $C(-81; 9)$ в уравнение $y = \sqrt{x}$.
При $x=-81$ и $y=9$ получаем:
$9 = \sqrt{-81}$.
Данное выражение не имеет смысла в области действительных чисел, поскольку область определения функции $y=\sqrt{x}$ — это множество неотрицательных чисел ($x \ge 0$). Число $-81$ не входит в область определения.
Следовательно, точка $C(-81; 9)$ не принадлежит графику функции.
Ответ: нет, не принадлежит.

точка D(25; -5)?
Подставляем координаты точки $D(25; -5)$ в уравнение $y = \sqrt{x}$.
При $x=25$ и $y=-5$ получаем:
$-5 = \sqrt{25}$.
Это неверное равенство, так как по определению арифметического квадратного корня $\sqrt{25} = 5$, а не $-5$.
Кроме того, область значений функции $y=\sqrt{x}$ — это множество неотрицательных чисел ($y \ge 0$), а ордината точки $D$ отрицательна.
Следовательно, точка $D(25; -5)$ не принадлежит графику функции.
Ответ: нет, не принадлежит.

359. Докажите, что графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x + 0,5$ не имеют общих точек.

Для того чтобы доказать, что графики функций $y=\sqrt{x}$ и $y = x + 0,5$ не имеют общих точек, необходимо показать, что система уравнений, составленная из этих функций, не имеет действительных решений.

Общая точка для двух графиков — это точка, координаты которой $(x, y)$ удовлетворяют обоим уравнениям. Следовательно, в такой точке должно выполняться равенство:

$\sqrt{x} = x + 0,5$

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Так как подкоренное выражение не может быть отрицательным, должно выполняться условие $x \ge 0$.

Чтобы решить уравнение, возведем обе его части в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (x + 0,5)^2$

Используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ для правой части, получаем:

$x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 0,5 + (0,5)^2$

$x = x^2 + x + 0,25$

Теперь перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы привести его к стандартному виду:

$x^2 + x - x + 0,25 = 0$

$x^2 + 0,25 = 0$

Перепишем уравнение в виде:

$x^2 = -0,25$

Полученное уравнение не имеет действительных решений, поскольку квадрат любого действительного числа ($x^2$) всегда является неотрицательной величиной ($x^2 \ge 0$), а число $-0,25$ — отрицательное.

Так как уравнение, определяющее абсциссы точек пересечения графиков, не имеет решений в области действительных чисел, это означает, что графики функций $y=\sqrt{x}$ и $y = x + 0,5$ не пересекаются, то есть не имеют общих точек.

Ответ: Уравнение $\sqrt{x} = x + 0,5$, определяющее абсциссы общих точек графиков, после возведения в квадрат и упрощения принимает вид $x^2 = -0,25$. Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, графики заданных функций не имеют общих точек, что и требовалось доказать.

361. Приведите пример, опровергающий утверждение:

а) график функции $y = -x + 2$ не пересекает график функции $y = \sqrt{x}$;

б) график функции $y = -x$ не пересекает график функции $y = \sqrt{x}$;

в) график функции $y = 2x - 6$ не пересекает график функции $y = \sqrt{x}$.

а) Чтобы опровергнуть утверждение, что график функции $y = -x + 2$ не пересекает график функции $y = \sqrt{x}$, нужно найти хотя бы одну общую точку этих графиков. Для этого решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = -x + 2 \\ y = \sqrt{x} \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений: $\sqrt{x} = -x + 2$.

Область определения функции $y = \sqrt{x}$ есть $x \ge 0$. Также, поскольку значение корня не может быть отрицательным, $y \ge 0$. Из первого уравнения следует, что $-x + 2 \ge 0$, то есть $x \le 2$. Таким образом, мы ищем решение при $0 \le x \le 2$.

Возведем обе части уравнения $\sqrt{x} = -x + 2$ в квадрат:

$x = (-x + 2)^2$

$x = x^2 - 4x + 4$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Его корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Корень $x_2 = 4$ не удовлетворяет условию $x \le 2$, поэтому он является посторонним.

Проверим корень $x_1 = 1$. Он удовлетворяет условию $0 \le 1 \le 2$. Найдем соответствующее значение $y$:

$y = \sqrt{1} = 1$

$y = -1 + 2 = 1$

Значения $y$ совпадают. Следовательно, точка $(1; 1)$ является точкой пересечения графиков. Это и есть пример, опровергающий исходное утверждение.

Ответ: Точка $(1; 1)$ является общей для графиков функций $y = -x + 2$ и $y = \sqrt{x}$, следовательно, они пересекаются.

б) Чтобы опровергнуть утверждение, что график функции $y = -x$ не пересекает график функции $y = \sqrt{x}$, найдем их общую точку, решив систему:

$\begin{cases} y = -x \\ y = \sqrt{x} \end{cases}$

Приравняем правые части: $\sqrt{x} = -x$.

По определению, $\sqrt{x} \ge 0$, следовательно, должно выполняться и $-x \ge 0$, что эквивалентно $x \le 0$. В то же время, область определения функции $y = \sqrt{x}$ — это $x \ge 0$. Единственное значение $x$, удовлетворяющее обоим условиям ($x \ge 0$ и $x \le 0$), это $x = 0$.

Подставим $x = 0$ в любое из уравнений:

$y = \sqrt{0} = 0$

$y = -0 = 0$

Таким образом, точка $(0; 0)$ является точкой пересечения графиков. Это опровергает исходное утверждение.

Ответ: Точка $(0; 0)$ является общей для графиков функций $y = -x$ и $y = \sqrt{x}$, следовательно, они пересекаются.

в) Чтобы опровергнуть утверждение, что график функции $y = 2x - 6$ не пересекает график функции $y = \sqrt{x}$, найдем их общую точку, решив систему:

$\begin{cases} y = 2x - 6 \\ y = \sqrt{x} \end{cases}$

Приравняем правые части: $\sqrt{x} = 2x - 6$.

Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, то должно выполняться условие $2x - 6 \ge 0$, то есть $2x \ge 6$, откуда $x \ge 3$. Также $x \ge 0$ из области определения корня, но условие $x \ge 3$ является более строгим.

Возведем обе части уравнения $\sqrt{x} = 2x - 6$ в квадрат:

$x = (2x - 6)^2$

$x = 4x^2 - 24x + 36$

$4x^2 - 25x + 36 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-25)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 36 = 625 - 576 = 49 = 7^2$

$x_1 = \frac{25 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$

$x_2 = \frac{25 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} = 2.25$

Корень $x_2 = 2.25$ не удовлетворяет условию $x \ge 3$, поэтому он является посторонним.

Проверим корень $x_1 = 4$. Он удовлетворяет условию $x \ge 3$. Найдем соответствующее значение $y$:

$y = \sqrt{4} = 2$

$y = 2 \cdot 4 - 6 = 8 - 6 = 2$

Значения $y$ совпадают. Следовательно, точка $(4; 2)$ является точкой пересечения графиков. Это опровергает исходное утверждение.

Ответ: Точка $(4; 2)$ является общей для графиков функций $y = 2x - 6$ и $y = \sqrt{x}$, следовательно, они пересекаются.

363. Что больше:

а) $\sqrt{10}$ или $\sqrt{11}$;

б) $\sqrt{0,12}$ или $\sqrt{0,15}$;

в) $\sqrt{50}$ или $\sqrt{60}$;

г) 7 или $\sqrt{50}$;

д) $\sqrt{60}$ или 8;

е) $\sqrt{2}$ или 1,4;

ж) $\sqrt{3}$ или 1,8;

з) $\sqrt{28}$ или 5,2;

и) 9 или $\sqrt{95}$?

а) Чтобы сравнить два числа, находящиеся под знаком квадратного корня, например $\sqrt{10}$ и $\sqrt{11}$, достаточно сравнить их подкоренные выражения. Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для всех неотрицательных $x$, что означает: чем больше подкоренное выражение, тем больше значение самого корня. Сравнивая числа $10$ и $11$, мы видим, что $11 > 10$. Следовательно, $\sqrt{11} > \sqrt{10}$.
Ответ: $\sqrt{11}$

б) Для сравнения $\sqrt{0,12}$ и $\sqrt{0,15}$ применяется тот же принцип, что и в предыдущем пункте. Мы сравниваем подкоренные выражения $0,12$ и $0,15$. Так как $0,15 > 0,12$, то и корень из большего числа будет больше: $\sqrt{0,15} > \sqrt{0,12}$.
Ответ: $\sqrt{0,15}$

в) Сравним $\sqrt{50}$ и $\sqrt{60}$. Основываясь на свойстве возрастания функции квадратного корня, мы сравниваем числа под корнем: $50$ и $60$. Поскольку $60 > 50$, делаем вывод, что $\sqrt{60} > \sqrt{50}$.
Ответ: $\sqrt{60}$

г) Чтобы сравнить $7$ и $\sqrt{50}$, удобно привести оба числа к одному виду. Представим число $7$ в виде квадратного корня. Для этого возведем его в квадрат и поместим под знак корня: $7 = \sqrt{7^2} = \sqrt{49}$. Теперь задача сводится к сравнению $\sqrt{49}$ и $\sqrt{50}$. Так как $50 > 49$, то $\sqrt{50} > \sqrt{49}$, и, следовательно, $\sqrt{50} > 7$.
Ответ: $\sqrt{50}$

д) Для сравнения $\sqrt{60}$ и $8$, представим число $8$ в виде корня: $8 = \sqrt{8^2} = \sqrt{64}$. Теперь сравним два корня: $\sqrt{60}$ и $\sqrt{64}$. Так как подкоренное выражение $64$ больше, чем $60$, то $\sqrt{64} > \sqrt{60}$. Отсюда следует, что $8 > \sqrt{60}$.
Ответ: $8$

е) Чтобы сравнить $\sqrt{2}$ и $1,4$, можно возвести оба числа в квадрат, так как они оба положительны. Соотношение между положительными числами сохраняется и для их квадратов.
$(\sqrt{2})^2 = 2$
$1,4^2 = 1,96$
Сравнивая результаты, видим, что $2 > 1,96$. Следовательно, $\sqrt{2} > 1,4$.
Ответ: $\sqrt{2}$

ж) Для сравнения $\sqrt{3}$ и $1,8$, возведем оба положительных числа в квадрат.
$(\sqrt{3})^2 = 3$
$1,8^2 = 3,24$
Сравниваем полученные квадраты: $3,24 > 3$. Это означает, что $1,8 > \sqrt{3}$.
Ответ: $1,8$

з) Сравним $\sqrt{28}$ и $5,2$. Возведем оба положительных числа в квадрат.
$(\sqrt{28})^2 = 28$
$5,2^2 = 27,04$
Поскольку $28 > 27,04$, мы можем заключить, что $\sqrt{28} > 5,2$.
Ответ: $\sqrt{28}$

и) Чтобы сравнить $9$ и $\sqrt{95}$, представим $9$ в виде корня: $9 = \sqrt{9^2} = \sqrt{81}$. Теперь сравним $\sqrt{81}$ и $\sqrt{95}$. Так как $95 > 81$, то $\sqrt{95} > \sqrt{81}$. Следовательно, $\sqrt{95} > 9$.
Ответ: $\sqrt{95}$

356. С помощью графика функции $y = \sqrt{x}$ найдите:

а) значение функции при $x = 0,5; 1,5; 6,5; 7,2;$

б) значение аргумента, которому соответствует значение $y = 0,5; 1,5; 1,8; 2,3.$

Для решения этой задачи необходимо использовать график функции $y = \sqrt{x}$. Этот график представляет собой ветвь параболы, которая начинается в точке (0,0) и плавно поднимается вверх, проходя через известные точки, такие как (1,1), (4,2) и (9,3).

а) значение функции при x = 0,5; 1,5; 6,5; 7,2;
Чтобы найти значение функции $y$ по заданному значению аргумента $x$ с помощью графика, нужно найти на горизонтальной оси (оси абсцисс Ox) точку, соответствующую значению $x$. Затем из этой точки следует провести вертикальную линию до пересечения с графиком функции $y = \sqrt{x}$. От точки пересечения нужно провести горизонтальную линию до вертикальной оси (оси ординат Oy). Значение на оси Oy и будет искомым значением функции. Поскольку считывание с графика дает приблизительный результат, мы приведем значения, которые можно было бы получить с типичного учебного графика.
- При $x = 0.5$: находим на оси Ox значение 0.5, поднимаемся до графика и от точки на графике движемся горизонтально к оси Oy. Значение $y$ будет примерно $0.7$. (Точное значение: $\sqrt{0.5} \approx 0.707$)
- При $x = 1.5$: аналогично, для $x=1.5$ находим, что $y$ будет примерно $1.2$. (Точное значение: $\sqrt{1.5} \approx 1.225$)
- При $x = 6.5$: для $x=6.5$ находим, что $y$ будет примерно $2.5$. (Точное значение: $\sqrt{6.5} \approx 2.550$)
- При $x = 7.2$: для $x=7.2$ находим, что $y$ будет примерно $2.7$. (Точное значение: $\sqrt{7.2} \approx 2.683$)

Ответ: при $x=0.5$, $y \approx 0.7$; при $x=1.5$, $y \approx 1.2$; при $x=6.5$, $y \approx 2.5$; при $x=7.2$, $y \approx 2.7$.

б) значение аргумента, которому соответствует значение y = 0,5; 1,5; 1,8; 2,3.
Чтобы найти значение аргумента $x$ по заданному значению функции $y$ с помощью графика, нужно выполнить обратные действия. Найти на оси ординат (Oy) заданное значение $y$. Провести из этой точки горизонтальную линию до пересечения с графиком функции $y = \sqrt{x}$. Из точки пересечения опустить вертикальную линию на ось абсцисс (Ox). Значение на оси Ox и будет искомым значением аргумента.
Для нахождения точного значения $x$ можно преобразовать формулу: если $y = \sqrt{x}$, то, возведя обе части в квадрат, получим $x = y^2$.
- При $y = 0.5$: $x = (0.5)^2 = 0.25$.
- При $y = 1.5$: $x = (1.5)^2 = 2.25$.
- При $y = 1.8$: $x = (1.8)^2 = 3.24$.
- При $y = 2.3$: $x = (2.3)^2 = 5.29$.
Эти значения являются точными, и их можно проверить по графику.

Ответ: при $y=0.5$, $x=0.25$; при $y=1.5$, $x=2.25$; при $y=1.8$, $x=3.24$; при $y=2.3$, $x=5.29$.

358. Пересекает ли график функции $y = \sqrt{x}$ прямая:

a) $y = 1$;

б) $y = 10$;

в) $y = 100$;

г) $y = -100$?

Если пересекает, то в какой точке?

Для того чтобы определить, пересекает ли график функции $y = \sqrt{x}$ заданную прямую, нужно найти, существует ли общая точка $(x, y)$, координаты которой удовлетворяют обоим уравнениям. Это сводится к решению системы уравнений. Область определения функции $y = \sqrt{x}$ — это все неотрицательные числа, то есть $x \ge 0$. Область значений — также все неотрицательные числа, $y \ge 0$.

а) $y = 1$

Чтобы найти точку пересечения, приравняем правые части уравнений $y = \sqrt{x}$ и $y = 1$:
$\sqrt{x} = 1$
Поскольку $1 \ge 0$, что входит в область значений функции $y=\sqrt{x}$, пересечение существует. Чтобы найти координату $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 1^2$
$x = 1$
Это значение $x$ входит в область определения функции ($1 \ge 0$). Таким образом, график функции пересекает прямую $y = 1$ в точке с координатами $(1; 1)$.
Ответ: Да, пересекает в точке $(1; 1)$.

б) $y = 10$

Приравниваем выражения для $y$:
$\sqrt{x} = 10$
Так как $10 \ge 0$, решение существует. Возводим обе части в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 10^2$
$x = 100$
Значение $x=100$ входит в область определения функции. Следовательно, графики пересекаются в точке с координатами $(100; 10)$.
Ответ: Да, пересекает в точке $(100; 10)$.

в) $y = 100$

Приравниваем выражения для $y$:
$\sqrt{x} = 100$
Так как $100 \ge 0$, решение существует. Возводим обе части в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 100^2$
$x = 10000$
Значение $x=10000$ входит в область определения функции. Следовательно, графики пересекаются в точке с координатами $(10000; 100)$.
Ответ: Да, пересекает в точке $(10000; 100)$.

г) $y = -100$

Приравниваем выражения для $y$:
$\sqrt{x} = -100$
По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ не может быть отрицательным числом. Область значений функции $y = \sqrt{x}$ — это множество неотрицательных чисел ($y \ge 0$). Поскольку $-100 < 0$, данное уравнение не имеет действительных решений. Следовательно, график функции $y = \sqrt{x}$ не пересекает прямую $y = -100$.
Ответ: Нет, не пересекает.

360. (Для работы в парах.) Имеют ли общие точки графики функций:

а) $y = \sqrt{x}$ и $y = x$;

б) $y = \sqrt{x}$ и $y = 1000$;

в) $y = \sqrt{x}$ и $y = x + 10$;

г) $y = \sqrt{x}$ и $y = -x + 1.5$?

При положительном ответе укажите координаты этих точек.

1) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, верно ли выполнены задания. Исправьте замеченные ошибки.

3) Приведите примеры линейных функций, графики которых: не пересекают график функции $y = \sqrt{x}$; пересекают его в одной точке; пересекают его в двух точках. Обсудите правильность этих примеров.

а) Для нахождения общих точек графиков функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x$ приравняем их правые части:

$\sqrt{x} = x$

Это уравнение определено при $x \ge 0$. Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{x})^2 = x^2$

$x = x^2$

$x^2 - x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 1) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$:

При $x_1 = 0$, $y_1 = \sqrt{0} = 0$. Первая общая точка — $(0; 0)$.

При $x_2 = 1$, $y_2 = \sqrt{1} = 1$. Вторая общая точка — $(1; 1)$.

Следовательно, графики имеют две общие точки.

Ответ: Да, имеют. Координаты общих точек: $(0; 0)$ и $(1; 1)$.

б) Для нахождения общих точек графиков функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 1000$ приравняем их правые части:

$\sqrt{x} = 1000$

Поскольку $1000$ — положительное число, уравнение имеет решение. Возведем обе части в квадрат:

$x = 1000^2$

$x = 1\;000\;000$

Значение $y$ нам уже известно: $y = 1000$. Таким образом, графики имеют одну общую точку.

Ответ: Да, имеют. Координаты общей точки: $(1\;000\;000; 1000)$.

в) Для нахождения общих точек графиков функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x + 10$ приравняем их правые части:

$\sqrt{x} = x + 10$

Для существования решения необходимо выполнение условий: $x \ge 0$ (из области определения $\sqrt{x}$) и $x + 10 \ge 0$ (так как значение корня не может быть отрицательным). Условие $x + 10 \ge 0$ означает $x \ge -10$. Объединяя оба условия, получаем $x \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x = (x + 10)^2$

$x = x^2 + 20x + 100$

$x^2 + 19x + 100 = 0$

Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 19^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 361 - 400 = -39$

Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, графики функций не имеют общих точек.

Ответ: Нет, не имеют.

г) Для нахождения общих точек графиков функций $y = \sqrt{x}$ и $y = -x + 1,5$ приравняем их правые части:

$\sqrt{x} = -x + 1,5$

Условия для существования решения: $x \ge 0$ и $-x + 1,5 \ge 0$, то есть $x \le 1,5$. Таким образом, корень уравнения должен находиться в промежутке $[0; 1,5]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x = (-x + 1,5)^2$

$x = x^2 - 3x + 2,25$

$x^2 - 4x + 2,25 = 0$

Умножим уравнение на 4, чтобы работать с целыми коэффициентами:

$4x^2 - 16x + 9 = 0$

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 256 - 144 = 112$

$x = \frac{16 \pm \sqrt{112}}{8} = \frac{16 \pm 4\sqrt{7}}{8} = 2 \pm \frac{\sqrt{7}}{2}$

Получаем два потенциальных корня: $x_1 = 2 - \frac{\sqrt{7}}{2}$ и $x_2 = 2 + \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Проверим, принадлежат ли корни промежутку $[0; 1,5]$. Используя приближение $\sqrt{7} \approx 2,646$:

$x_1 \approx 2 - \frac{2,646}{2} = 2 - 1,323 = 0,677$. Этот корень входит в промежуток $[0; 1,5]$.

$x_2 \approx 2 + \frac{2,646}{2} = 2 + 1,323 = 3,323$. Этот корень не входит в промежуток, значит, является посторонним.

Итак, у нас есть один корень $x = 2 - \frac{\sqrt{7}}{2}$. Найдем соответствующий $y$:

$y = -x + 1,5 = -(2 - \frac{\sqrt{7}}{2}) + 1,5 = -2 + \frac{\sqrt{7}}{2} + 1,5 = \frac{\sqrt{7}}{2} - 0,5 = \frac{\sqrt{7}-1}{2}$.

Ответ: Да, имеют. Координаты общей точки: $(2 - \frac{\sqrt{7}}{2}; \frac{\sqrt{7}-1}{2})$.

3)

Примеры линейных функций, графики которых не пересекают график функции $y = \sqrt{x}$

1. Любая прямая, проходящая ниже оси абсцисс, например, $y = -1$. Так как $y=\sqrt{x} \ge 0$, то уравнение $\sqrt{x} = -1$ не имеет решений.

2. Прямая с положительным угловым коэффициентом, "приподнятая" над графиком, например, $y = x + 1$. Уравнение $\sqrt{x} = x + 1$ приводит к квадратному уравнению $x^2+x+1=0$, которое не имеет действительных корней ($D = 1-4 = -3 < 0$).

Ответ: Например, $y = -1$ или $y = x + 1$.

Примеры линейных функций, графики которых пересекают график функции $y = \sqrt{x}$ в одной точке

1. Любая горизонтальная прямая $y=c$, где $c \ge 0$. Например, $y = 5$. Уравнение $\sqrt{x} = 5$ имеет единственное решение $x = 25$. Точка пересечения — $(25; 5)$.

2. Касательная к графику функции $y = \sqrt{x}$. Например, прямая $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ является касательной в точке $(1; 1)$.

Ответ: Например, $y = 5$ или $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$.

Примеры линейных функций, графики которых пересекают график функции $y = \sqrt{x}$ в двух точках

1. Прямая $y = x$, как было показано в пункте а), пересекает график в двух точках: $(0; 0)$ и $(1; 1)$.

2. Любая прямая $y = kx + b$, которая проходит через начало координат с положительным угловым коэффициентом $k < 1$, или прямая, пересекающая положительную полуось $y$ и имеющая достаточно малый положительный наклон. Например, $y = 0,5x + 0,1$.

Ответ: Например, $y = x$ или $y = 0,5x + 0,1$.

362. Решите графически уравнение:

а) $\sqrt{x}=6-x;$ б) $\sqrt{x}=\frac{4}{x};$ в) $-x-5=\sqrt{x}.$

а) $\sqrt{x} = 6 - x$

Для графического решения данного уравнения построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \sqrt{x}$ и $y = 6 - x$.

1. График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат. Область определения функции: $x \ge 0$. Построим его по ключевым точкам: (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3).

2. График функции $y = 6 - x$ — это прямая линия. Для ее построения достаточно двух точек. Например, если $x = 0$, то $y = 6$ (точка (0; 6)); если $y = 0$, то $x = 6$ (точка (6; 0)).

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки и является решением уравнения. Из графика видно, что точка пересечения имеет координаты (4; 2).

Сделаем проверку, подставив найденное значение в исходное уравнение:
$\sqrt{4} = 6 - 4$
$2 = 2$
Равенство верное, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $x = 4$.

б) $\sqrt{x} = \frac{4}{x}$

Построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{4}{x}$.

1. График функции $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы с вершиной в точке (0; 0). Область определения $x \ge 0$. Ключевые точки: (0; 0), (1; 1), (4; 2).

2. График функции $y = \frac{4}{x}$ — это гипербола. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, нас интересует только та ветвь гиперболы, где $y > 0$, то есть при $x > 0$. Ключевые точки для этой ветви: (1; 4), (2; 2), (4; 1).

Построив графики, можно увидеть, что они пересекаются в одной точке. Однако, по графику сложно определить точные координаты точки пересечения. Видно, что абсцисса точки пересечения находится в интервале между 2 и 3. Для нахождения точного решения решим уравнение аналитически.

Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что по ОДЗ $x > 0$:
$(\sqrt{x})^2 = (\frac{4}{x})^2$
$x = \frac{16}{x^2}$
$x^3 = 16$
$x = \sqrt[3]{16}$

Ответ: $x = \sqrt[3]{16}$.

в) $-x - 5 = \sqrt{x}$

Для решения уравнения построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = -x - 5$.

1. График функции $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы. Область определения $x \ge 0$. Область значений $y \ge 0$.

2. График функции $y = -x - 5$ — это прямая линия. Построим ее по двум точкам: (0; -5) и (-5; 0).

Построив графики, мы видим, что они не имеют точек пересечения.
Это можно было установить и без построения. Область значений функции $y = \sqrt{x}$ — это все неотрицательные числа ($y \ge 0$). В то же время, для области определения ($x \ge 0$), значения функции $y = -x - 5$ всегда будут отрицательными ($-x \le 0$, значит $-x-5 \le -5$). Так как одна часть уравнения всегда неотрицательна, а другая всегда отрицательна, равенство между ними невозможно.

Ответ: решений нет.