Страница 80 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

329. Найдите значение выражения:

а) $(\sqrt{7})^2$;

в) $-2\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}$;

д) $0,5(-\sqrt{8})^2$;

ж) $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$;

б) $(-\sqrt{26})^2$;

г) $(3\sqrt{5})^2$;

е) $(-2\sqrt{15})^2$;

з) $\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}\right)^2$.

Для решения данных задач будем использовать основное свойство арифметического квадратного корня: $(\sqrt{a})^2 = a$ для любого неотрицательного числа $a$, а также свойства степеней: $(ab)^n = a^n b^n$ и $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.

По определению арифметического квадратного корня, квадрат корня из неотрицательного числа равен самому этому числу.

$(\sqrt{7})^2 = 7$

Ответ: 7

При возведении в квадрат отрицательного числа получается положительное число. $(-a)^2=a^2$.

$(-\sqrt{26})^2 = (\sqrt{26})^2 = 26$

Ответ: 26

Произведение корня из числа на самого себя равно этому числу: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$.

$-2\sqrt{14} \cdot \sqrt{14} = -2 \cdot (\sqrt{14})^2 = -2 \cdot 14 = -28$

Ответ: -28

Используем свойство возведения произведения в степень: $(ab)^2 = a^2b^2$.

$(3\sqrt{5})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$

Ответ: 45

Сначала выполним возведение в степень, а затем умножение. Квадрат $-\sqrt{8}$ равен 8.

$0,5(-\sqrt{8})^2 = 0,5 \cdot 8 = 4$

Ответ: 4

Возводим в квадрат каждый множитель, учитывая, что квадрат отрицательного числа положителен.

$(-2\sqrt{15})^2 = (-2)^2 \cdot (\sqrt{15})^2 = 4 \cdot 15 = 60$

Ответ: 60

Используем свойство возведения дроби в степень: $(\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$.

$(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{(\sqrt{3})^2}{2^2} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

Возводим в квадрат и числитель, и знаменатель дроби.

$(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}})^2 = \frac{(\sqrt{3})^2}{(\sqrt{6})^2} = \frac{3}{6}$

Сокращаем полученную дробь:

$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

331. Вычислите:

a) $(2-\sqrt{5})^2 + 4\sqrt{5}$;

б) $(5+\sqrt{3})^2 - 10\sqrt{3}$;

в) $(2-\sqrt{5})^2 + (2+\sqrt{5})^2$;

г) $(5+\sqrt{3})^2 + (5-\sqrt{3})^2$.

а)

Для решения этого примера используем формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a=2$ и $b=\sqrt{5}$.

$(2 - \sqrt{5})^2 + 4\sqrt{5} = (2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2) + 4\sqrt{5}$

Раскроем скобки и выполним вычисления:

$(4 - 4\sqrt{5} + 5) + 4\sqrt{5} = 9 - 4\sqrt{5} + 4\sqrt{5}$

Взаимно уничтожаем слагаемые $-4\sqrt{5}$ и $4\sqrt{5}$:

$9 - 4\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = 9$

Ответ: $9$

б)

Для решения этого примера используем формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае $a=5$ и $b=\sqrt{3}$.

$(5 + \sqrt{3})^2 - 10\sqrt{3} = (5^2 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) - 10\sqrt{3}$

Раскроем скобки и выполним вычисления:

$(25 + 10\sqrt{3} + 3) - 10\sqrt{3} = 28 + 10\sqrt{3} - 10\sqrt{3}$

Взаимно уничтожаем слагаемые $10\sqrt{3}$ и $-10\sqrt{3}$:

$28 + 10\sqrt{3} - 10\sqrt{3} = 28$

Ответ: $28$

в)

Для решения этого примера воспользуемся формулами квадрата разности и квадрата суммы. Также можно использовать тождество $(a-b)^2 + (a+b)^2 = 2(a^2 + b^2)$.

Применим это тождество, где $a=2$ и $b=\sqrt{5}$:

$(2 - \sqrt{5})^2 + (2 + \sqrt{5})^2 = 2(2^2 + (\sqrt{5})^2)$

Выполним вычисления в скобках:

$2(4 + 5) = 2 \cdot 9 = 18$

Ответ: $18$

г)

Этот пример аналогичен предыдущему. Воспользуемся тем же тождеством: $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2 + b^2)$.

В данном случае $a=5$ и $b=\sqrt{3}$:

$(5 + \sqrt{3})^2 + (5 - \sqrt{3})^2 = 2(5^2 + (\sqrt{3})^2)$

Выполним вычисления в скобках:

$2(25 + 3) = 2 \cdot 28 = 56$

Ответ: $56$

333. Найдите значение выражения:

a) $\frac{x-|x-1|}{x+2}$ при $x$, равном 4; 38; -42;

б) $\frac{2|3-x|-1}{4}$ при $x$, равном 2; 11; -6.

а) Вычислим значение выражения $\frac{x-|x-1|}{x+2}$ для каждого из заданных значений $x$.

При $x = 4$:

$\frac{4-|4-1|}{4+2} = \frac{4-|3|}{6} = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

При $x = 38$:

$\frac{38-|38-1|}{38+2} = \frac{38-|37|}{40} = \frac{38-37}{40} = \frac{1}{40}$

Ответ: $\frac{1}{40}$

При $x = -42$:

$\frac{-42-|-42-1|}{-42+2} = \frac{-42-|-43|}{-40} = \frac{-42-43}{-40} = \frac{-85}{-40} = \frac{85}{40} = \frac{17}{8} = 2\frac{1}{8}$

Ответ: $2\frac{1}{8}$

б) Вычислим значение выражения $\frac{2|3-x|-1}{4}$ для каждого из заданных значений $x$.

При $x = 2$:

$\frac{2|3-2|-1}{4} = \frac{2|1|-1}{4} = \frac{2 \cdot 1-1}{4} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

При $x = 11$:

$\frac{2|3-11|-1}{4} = \frac{2|-8|-1}{4} = \frac{2 \cdot 8-1}{4} = \frac{16-1}{4} = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4}$

Ответ: $3\frac{3}{4}$

При $x = -6$:

$\frac{2|3-(-6)|-1}{4} = \frac{2|3+6|-1}{4} = \frac{2|9|-1}{4} = \frac{2 \cdot 9-1}{4} = \frac{18-1}{4} = \frac{17}{4} = 4\frac{1}{4}$

Ответ: $4\frac{1}{4}$

335. Изобразите схематически в одной и той же системе координат графики функций $y = \frac{10}{x}$ и $y = 10x$. Имеют ли эти графики общие точки, и если имеют, то сколько?

Изобразите схематически в одной и той же системе координат графики функций $y = \frac{10}{x}$ и $y = 10x$.

Для того чтобы схематически изобразить графики, проанализируем каждую функцию отдельно.

1. Функция $y = \frac{10}{x}$ является обратной пропорциональностью. Её график — гипербола. Поскольку коэффициент $k=10$ положителен ($k > 0$), ветви гиперболы располагаются в первой и третьей координатных четвертях. Оси координат ($x=0$ и $y=0$) служат асимптотами для графика, то есть график бесконечно приближается к осям, но никогда их не пересекает. Для более точного представления можно найти несколько точек:

• Если $x=1$, то $y=10$.
• Если $x=2$, то $y=5$.
• Если $x=5$, то $y=2$.
• Если $x=-1$, то $y=-10$.
• Если $x=-2$, то $y=-5$.
• Если $x=-5$, то $y=-2$.

2. Функция $y = 10x$ является прямой пропорциональностью. Её график — это прямая линия, которая проходит через начало координат, точку $(0, 0)$. Угловой коэффициент $k=10$ положителен, поэтому прямая также располагается в первой и третьей координатных четвертях и образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс. Для построения прямой достаточно двух точек, например, $(0, 0)$ и $(1, 10)$.

При схематическом изображении в одной системе координат мы увидим, что прямая, проходящая через начало координат, пересекает обе ветви гиперболы.

Ответ: График функции $y = \frac{10}{x}$ — это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. График функции $y = 10x$ — это прямая, проходящая через начало координат и также расположенная в I и III четвертях. Схематически видно, что прямая пересекает каждую из двух ветвей гиперболы.

Имеют ли эти графики общие точки, и если имеют, то сколько?

Общие точки графиков — это точки, координаты которых удовлетворяют обоим уравнениям. Чтобы найти их, нужно решить систему уравнений:

$ \begin{cases} y = \frac{10}{x} \\ y = 10x \end{cases} $

Поскольку левые части уравнений равны, мы можем приравнять их правые части:

$\frac{10}{x} = 10x$

Это уравнение имеет смысл при $x \neq 0$. Чтобы решить его, умножим обе части на $x$:

$10 = 10x^2$

Теперь разделим обе части уравнения на 10:

$1 = x^2$

или

$x^2 - 1 = 0$

Это квадратное уравнение имеет два корня:

$x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, подставив их в одно из исходных уравнений (например, в $y=10x$):

1. Для $x_1 = 1$:
$y_1 = 10 \cdot 1 = 10$.
Первая точка пересечения: $(1, 10)$.

2. Для $x_2 = -1$:
$y_2 = 10 \cdot (-1) = -10$.
Вторая точка пересечения: $(-1, -10)$.

Следовательно, графики данных функций имеют две общие точки.

Ответ: Да, графики имеют две общие точки с координатами $(1, 10)$ и $(-1, -10)$.

328. Найдите квадрат числа: $\sqrt{25}$; $\sqrt{81}$; $\sqrt{2}$; $\sqrt{3}$; $-\sqrt{4}$; $\sqrt{5}$; $-\sqrt{6}$;
$\sqrt{\frac{1}{2}}$; $\sqrt{1,3}$.

Чтобы найти квадрат числа, необходимо это число умножить само на себя, то есть возвести его во вторую степень. По определению арифметического квадратного корня, для любого неотрицательного числа $a$, квадрат его квадратного корня равен самому этому числу. Это можно записать в виде формулы: $(\sqrt{a})^2 = a$.
Для отрицательного значения, например $-\sqrt{a}$, его квадрат будет равен $(-\sqrt{a})^2 = (-\sqrt{a}) \cdot (-\sqrt{a}) = (\sqrt{a})^2 = a$. Таким образом, квадрат числа $-\sqrt{a}$ также равен $a$.

$\sqrt{25}$: Необходимо найти значение выражения $(\sqrt{25})^2$. Согласно определению квадратного корня, квадрат корня из числа равен самому подкоренному числу.
$(\sqrt{25})^2 = 25$.
Другой способ — сначала извлечь корень, а затем возвести в квадрат: $\sqrt{25} = 5$, и $5^2 = 25$.
Ответ: 25

$\sqrt{81}$: Необходимо найти значение выражения $(\sqrt{81})^2$.
$(\sqrt{81})^2 = 81$.
Проверка: $\sqrt{81} = 9$, и $9^2 = 81$.
Ответ: 81

$\sqrt{2}$: Необходимо найти значение выражения $(\sqrt{2})^2$.
$(\sqrt{2})^2 = 2$.
Ответ: 2

$\sqrt{3}$: Необходимо найти значение выражения $(\sqrt{3})^2$.
$(\sqrt{3})^2 = 3$.
Ответ: 3

$-\sqrt{4}$: Необходимо найти значение выражения $(-\sqrt{4})^2$. При возведении в квадрат отрицательное число становится положительным.
$(-\sqrt{4})^2 = (\sqrt{4})^2 = 4$.
Проверка: $-\sqrt{4} = -2$, и $(-2)^2 = 4$.
Ответ: 4

$\sqrt{5}$: Необходимо найти значение выражения $(\sqrt{5})^2$.
$(\sqrt{5})^2 = 5$.
Ответ: 5

$-\sqrt{6}$: Необходимо найти значение выражения $(-\sqrt{6})^2$.
$(-\sqrt{6})^2 = (\sqrt{6})^2 = 6$.
Ответ: 6

$\sqrt{\frac{1}{2}}$: Необходимо найти значение выражения $(\sqrt{\frac{1}{2}})^2$.
$(\sqrt{\frac{1}{2}})^2 = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

$\sqrt{1,3}$: Необходимо найти значение выражения $(\sqrt{1,3})^2$.
$(\sqrt{1,3})^2 = 1,3$.
Ответ: 1,3

330. Вычислите:

а) $0.49 + 2(\sqrt{0.4})^2;$

б) $(3\sqrt{11})^2 - \sqrt{6400};$

в) $(2\sqrt{6})^2 + (-3\sqrt{2})^2;$

г) $-0.1(\sqrt{120})^2 - \left(\frac{1}{2}\sqrt{20}\right)^2.$

а) $0,49 + 2(\sqrt{0,4})^2$

Для решения этого примера воспользуемся основным свойством квадратного корня, согласно которому $(\sqrt{a})^2 = a$ для любого неотрицательного $a$.

1. Сначала вычислим значение выражения $(\sqrt{0,4})^2$. По указанному свойству, оно равно $0,4$.

$(\sqrt{0,4})^2 = 0,4$

2. Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$0,49 + 2 \times 0,4$

3. Выполним умножение:

$2 \times 0,4 = 0,8$

4. Выполним сложение:

$0,49 + 0,8 = 1,29$

Ответ: 1,29.

б) $(3\sqrt{11})^2 - \sqrt{6400}$

Для решения этого примера используем свойство возведения произведения в степень $(ab)^2 = a^2b^2$ и определение квадратного корня.

1. Возведем в квадрат первый член выражения:

$(3\sqrt{11})^2 = 3^2 \times (\sqrt{11})^2 = 9 \times 11 = 99$

2. Найдем значение квадратного корня из второго члена:

$\sqrt{6400} = \sqrt{80^2} = 80$

3. Выполним вычитание полученных значений:

$99 - 80 = 19$

Ответ: 19.

в) $(2\sqrt{6})^2 + (-3\sqrt{2})^2$

Вычислим значение каждого слагаемого по отдельности.

1. Вычислим первое слагаемое, используя свойство $(ab)^2 = a^2b^2$:

$(2\sqrt{6})^2 = 2^2 \times (\sqrt{6})^2 = 4 \times 6 = 24$

2. Вычислим второе слагаемое. Помним, что квадрат отрицательного числа является положительным числом:

$(-3\sqrt{2})^2 = (-3)^2 \times (\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18$

3. Сложим полученные результаты:

$24 + 18 = 42$

Ответ: 42.

г) $-0,1(\sqrt{120})^2 - (\frac{1}{2}\sqrt{20})^2$

Вычислим значение каждого члена выражения по отдельности.

1. Вычислим первый член:

$-0,1(\sqrt{120})^2 = -0,1 \times 120 = -12$

2. Вычислим второй член (вычитаемое):

$(\frac{1}{2}\sqrt{20})^2 = (\frac{1}{2})^2 \times (\sqrt{20})^2 = \frac{1}{4} \times 20 = 5$

3. Выполним вычитание, подставив полученные значения в исходное выражение:

$-12 - 5 = -17$

Ответ: -17.

332. Найдите значение выражения:

а) $2\sqrt{6} \cdot (-\sqrt{6});$

б) $-\left(3\sqrt{5}\right)^2;$

в) $\sqrt{1,44} - 2\left(\sqrt{0,6}\right)^2;$

г) $(0,1\sqrt{70})^2 + \sqrt{1,69}.$

а) Чтобы найти значение выражения $2\sqrt{6} \cdot (-\sqrt{6})$, мы можем перегруппировать множители и использовать свойство квадратного корня, согласно которому $(\sqrt{a})^2 = a$, или $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$.
$2\sqrt{6} \cdot (-\sqrt{6}) = -2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = -2 \cdot (\sqrt{6})^2$.
Так как $(\sqrt{6})^2 = 6$, то выражение равно:
$-2 \cdot 6 = -12$.
Ответ: -12.

б) Чтобы найти значение выражения $-(3\sqrt{5})^2$, сначала необходимо возвести в квадрат выражение, стоящее в скобках. Для этого используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$.
$(3\sqrt{5})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{5})^2$.
Вычисляем квадраты: $3^2 = 9$ и $(\sqrt{5})^2 = 5$.
$(3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$.
Теперь применим знак минуса, который стоит перед скобками:
$-(3\sqrt{5})^2 = -45$.
Ответ: -45.

в) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{1,44} - 2(\sqrt{0,6})^2$, вычислим значение каждого члена по отдельности, а затем выполним вычитание.
Первый член: $\sqrt{1,44}$. Мы знаем, что $12^2 = 144$, следовательно $1,2^2 = 1,44$. Значит, $\sqrt{1,44} = 1,2$.
Второй член: $2(\sqrt{0,6})^2$. По определению квадратного корня, $(\sqrt{0,6})^2 = 0,6$. Тогда $2(\sqrt{0,6})^2 = 2 \cdot 0,6 = 1,2$.
Теперь вычтем из первого члена второй:
$1,2 - 1,2 = 0$.
Ответ: 0.

г) Чтобы найти значение выражения $(0,1\sqrt{70})^2 + \sqrt{1,69}$, вычислим значение каждого слагаемого по отдельности, а затем сложим их.
Первое слагаемое: $(0,1\sqrt{70})^2$. Используем свойство $(ab)^2 = a^2b^2$.
$(0,1\sqrt{70})^2 = (0,1)^2 \cdot (\sqrt{70})^2 = 0,01 \cdot 70 = 0,7$.
Второе слагаемое: $\sqrt{1,69}$. Мы знаем, что $13^2 = 169$, следовательно $1,3^2 = 1,69$. Значит, $\sqrt{1,69} = 1,3$.
Теперь сложим полученные значения:
$0,7 + 1,3 = 2$.
Ответ: 2.

334. Найдите значение выражения:

а) $\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$ при $x = -0,5$;

б) $\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}$ при $x = -0,4$.

а) Найдем значение выражения $\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$ при $x = -0,5$.

Для начала упростим данное алгебраическое выражение. Преобразуем числитель и знаменатель основной дроби, приведя их к общему знаменателю $x$.

Преобразование числителя:

$1-\frac{1}{x} = \frac{x}{x}-\frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$

Преобразование знаменателя:

$1+\frac{1}{x} = \frac{x}{x}+\frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}$

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходную дробь:

$\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}} = \frac{\frac{x-1}{x}}{\frac{x+1}{x}}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую:

$\frac{x-1}{x} \cdot \frac{x}{x+1} = \frac{x-1}{x+1}$

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него заданное значение $x = -0,5$:

$\frac{-0,5 - 1}{-0,5 + 1} = \frac{-1,5}{0,5} = -3$

Ответ: -3

б) Найдем значение выражения $\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}$ при $x = -0,4$.

Упростим данную многоэтажную дробь, двигаясь "снизу вверх".

1. Сначала преобразуем самый нижний знаменатель:

$1+\frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}$

2. Подставим результат в дробь более высокого уровня:

$\frac{1}{1+\frac{1}{x}} = \frac{1}{\frac{x+1}{x}} = \frac{x}{x+1}$

3. Теперь преобразуем знаменатель исходного выражения:

$1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}} = 1 + \frac{x}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} + \frac{x}{x+1} = \frac{x+1+x}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1}$

4. Наконец, преобразуем все выражение целиком:

$\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}} = \frac{1}{\frac{2x+1}{x+1}} = \frac{x+1}{2x+1}$

Теперь подставим в итоговое упрощенное выражение значение $x = -0,4$:

$\frac{-0,4+1}{2 \cdot (-0,4)+1} = \frac{0,6}{-0,8+1} = \frac{0,6}{0,2} = 3$

Ответ: 3