Номер 334, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

13. Уравнение х^2=а. § 5. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 334, страница 80.

334. Найдите значение выражения:

а) $\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$ при $x = -0,5$;

б) $\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}$ при $x = -0,4$.

а) Найдем значение выражения $\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$ при $x = -0,5$.

Для начала упростим данное алгебраическое выражение. Преобразуем числитель и знаменатель основной дроби, приведя их к общему знаменателю $x$.

Преобразование числителя:

$1-\frac{1}{x} = \frac{x}{x}-\frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$

Преобразование знаменателя:

$1+\frac{1}{x} = \frac{x}{x}+\frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}$

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходную дробь:

$\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}} = \frac{\frac{x-1}{x}}{\frac{x+1}{x}}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую:

$\frac{x-1}{x} \cdot \frac{x}{x+1} = \frac{x-1}{x+1}$

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него заданное значение $x = -0,5$:

$\frac{-0,5 - 1}{-0,5 + 1} = \frac{-1,5}{0,5} = -3$

Ответ: -3

б) Найдем значение выражения $\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}$ при $x = -0,4$.

Упростим данную многоэтажную дробь, двигаясь "снизу вверх".

1. Сначала преобразуем самый нижний знаменатель:

$1+\frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}$

2. Подставим результат в дробь более высокого уровня:

$\frac{1}{1+\frac{1}{x}} = \frac{1}{\frac{x+1}{x}} = \frac{x}{x+1}$

3. Теперь преобразуем знаменатель исходного выражения:

$1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}} = 1 + \frac{x}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} + \frac{x}{x+1} = \frac{x+1+x}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1}$

4. Наконец, преобразуем все выражение целиком:

$\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}} = \frac{1}{\frac{2x+1}{x+1}} = \frac{x+1}{2x+1}$

Теперь подставим в итоговое упрощенное выражение значение $x = -0,4$:

$\frac{-0,4+1}{2 \cdot (-0,4)+1} = \frac{0,6}{-0,8+1} = \frac{0,6}{0,2} = 3$

Ответ: 3