Номер 335, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

13. Уравнение х^2=а. § 5. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 335, страница 80.

335. Изобразите схематически в одной и той же системе координат графики функций $y = \frac{10}{x}$ и $y = 10x$. Имеют ли эти графики общие точки, и если имеют, то сколько?

Изобразите схематически в одной и той же системе координат графики функций $y = \frac{10}{x}$ и $y = 10x$.

Для того чтобы схематически изобразить графики, проанализируем каждую функцию отдельно.

1. Функция $y = \frac{10}{x}$ является обратной пропорциональностью. Её график — гипербола. Поскольку коэффициент $k=10$ положителен ($k > 0$), ветви гиперболы располагаются в первой и третьей координатных четвертях. Оси координат ($x=0$ и $y=0$) служат асимптотами для графика, то есть график бесконечно приближается к осям, но никогда их не пересекает. Для более точного представления можно найти несколько точек:

• Если $x=1$, то $y=10$.
• Если $x=2$, то $y=5$.
• Если $x=5$, то $y=2$.
• Если $x=-1$, то $y=-10$.
• Если $x=-2$, то $y=-5$.
• Если $x=-5$, то $y=-2$.

2. Функция $y = 10x$ является прямой пропорциональностью. Её график — это прямая линия, которая проходит через начало координат, точку $(0, 0)$. Угловой коэффициент $k=10$ положителен, поэтому прямая также располагается в первой и третьей координатных четвертях и образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс. Для построения прямой достаточно двух точек, например, $(0, 0)$ и $(1, 10)$.

При схематическом изображении в одной системе координат мы увидим, что прямая, проходящая через начало координат, пересекает обе ветви гиперболы.

Ответ: График функции $y = \frac{10}{x}$ — это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. График функции $y = 10x$ — это прямая, проходящая через начало координат и также расположенная в I и III четвертях. Схематически видно, что прямая пересекает каждую из двух ветвей гиперболы.

Имеют ли эти графики общие точки, и если имеют, то сколько?

Общие точки графиков — это точки, координаты которых удовлетворяют обоим уравнениям. Чтобы найти их, нужно решить систему уравнений:

$ \begin{cases} y = \frac{10}{x} \\ y = 10x \end{cases} $

Поскольку левые части уравнений равны, мы можем приравнять их правые части:

$\frac{10}{x} = 10x$

Это уравнение имеет смысл при $x \neq 0$. Чтобы решить его, умножим обе части на $x$:

$10 = 10x^2$

Теперь разделим обе части уравнения на 10:

$1 = x^2$

или

$x^2 - 1 = 0$

Это квадратное уравнение имеет два корня:

$x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, подставив их в одно из исходных уравнений (например, в $y=10x$):

1. Для $x_1 = 1$:
$y_1 = 10 \cdot 1 = 10$.
Первая точка пересечения: $(1, 10)$.

2. Для $x_2 = -1$:
$y_2 = 10 \cdot (-1) = -10$.
Вторая точка пересечения: $(-1, -10)$.

Следовательно, графики данных функций имеют две общие точки.

Ответ: Да, графики имеют две общие точки с координатами $(1, 10)$ и $(-1, -10)$.