Страница 79 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

321. Решите уравнение и с помощью графика функции $y = x^2$ найдите приближённые значения его корней:

а) $x^2 = 3;$

б) $x^2 = 5;$

в) $x^2 = 4,5;$

г) $x^2 = 8,5.$

Для решения уравнений вида $x^2 = c$ (где $c > 0$) и нахождения их приближенных значений, мы будем использовать графический метод. Для этого построим в одной системе координат график функции (параболу) $y = x^2$ и график функции (горизонтальную прямую) $y = c$. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих двух графиков и будут являться корнями исходного уравнения.

Сначала решим уравнения аналитически, чтобы найти точные значения корней, а затем найдем их приближенные значения с помощью графика.

а) $x^2 = 3$

Аналитическое решение:
Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два корня:
$x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$.

Графическое решение:
Строим параболу $y=x^2$ и прямую $y=3$. Находим точки их пересечения. Опустив перпендикуляры из этих точек на ось Ox, мы можем оценить значения корней. Мы видим, что $1^2=1$ и $2^2=4$. Так как $3$ находится между $1$ и $4$, то корни будут лежать между $1$ и $2$ (и между $-1$ и $-2$). Проверим значение $x=1,7$: $1,7^2=2,89$. Это очень близко к $3$. Проверим $x=1,8$: $1,8^2=3,24$. Таким образом, приближенное значение корней с точностью до десятых составляет $\pm1,7$.
Ответ: $x_{1,2} = \pm\sqrt{3}$; приближенные значения $x_1 \approx 1,7$, $x_2 \approx -1,7$.

б) $x^2 = 5$

Аналитическое решение:
$x_1 = \sqrt{5}$ и $x_2 = -\sqrt{5}$.

Графическое решение:
Строим параболу $y=x^2$ и прямую $y=5$. Находим абсциссы точек их пересечения. Мы знаем, что $2^2=4$ и $3^2=9$. Так как $5$ находится между $4$ и $9$, корни будут лежать между $2$ и $3$ (и между $-2$ и $-3$). Проверим значение $x=2,2$: $2,2^2=4,84$. Проверим $x=2,3$: $2,3^2=5,29$. Значение $5$ находится между $4,84$ и $5,29$, но ближе к $4,84$. Таким образом, приближенное значение корней составляет $\pm2,2$.
Ответ: $x_{1,2} = \pm\sqrt{5}$; приближенные значения $x_1 \approx 2,2$, $x_2 \approx -2,2$.

в) $x^2 = 4,5$

Аналитическое решение:
$x_1 = \sqrt{4,5}$ и $x_2 = -\sqrt{4,5}$.

Графическое решение:
Строим параболу $y=x^2$ и прямую $y=4,5$. Находим абсциссы точек их пересечения. Мы знаем, что $2^2=4$ и $3^2=9$. Так как $4,5$ находится между $4$ и $9$, корни будут лежать между $2$ и $3$ (и между $-2$ и $-3$). Проверим значение $x=2,1$: $2,1^2=4,41$. Проверим $x=2,2$: $2,2^2=4,84$. Значение $4,5$ очень близко к $4,41$. Следовательно, приближенное значение корней составляет $\pm2,1$.
Ответ: $x_{1,2} = \pm\sqrt{4,5}$; приближенные значения $x_1 \approx 2,1$, $x_2 \approx -2,1$.

г) $x^2 = 8,5$

Аналитическое решение:
$x_1 = \sqrt{8,5}$ и $x_2 = -\sqrt{8,5}$.

Графическое решение:
Строим параболу $y=x^2$ и прямую $y=8,5$. Находим абсциссы точек их пересечения. Мы знаем, что $2^2=4$ и $3^2=9$. Так как $8,5$ находится между $4$ и $9$ и очень близко к $9$, корни будут близки к $\pm3$. Проверим значение $x=2,9$: $2,9^2=8,41$. Это очень близко к $8,5$. Таким образом, приближенное значение корней составляет $\pm2,9$.
Ответ: $x_{1,2} = \pm\sqrt{8,5}$; приближенные значения $x_1 \approx 2,9$, $x_2 \approx -2,9$.

323. Найдите корни уравнения:

а) $16 + x^2 = 0;$

б) $0,3x^2 = 0,027;$

в) $0,5x^2 = 30;$

г) $-5x^2 = \frac{1}{20};$

д) $x^3 - 3x = 0;$

е) $x^3 - 11x = 0.$

а) $16 + x^2 = 0$

Для решения данного уравнения перенесем свободный член (16) в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$x^2 = -16$
Квадрат любого действительного числа ($x^2$) всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. Поскольку в правой части уравнения стоит отрицательное число (-16), данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.
Ответ: корней нет.

б) $0,3x^2 = 0,027$

Чтобы найти $x^2$, разделим обе части уравнения на коэффициент при нем, то есть на 0,3:
$x^2 = \frac{0,027}{0,3}$
Для удобства вычислений можно умножить числитель и знаменатель дроби на 1000, чтобы избавиться от десятичных знаков: $\frac{0,027 \cdot 1000}{0,3 \cdot 1000} = \frac{27}{300}$. Сократим дробь на 3: $\frac{9}{100}$.
Либо можно поделить столбиком или в уме: $0,027 : 0,3 = 0,27 : 3 = 0,09$.
Получаем уравнение:
$x^2 = 0,09$
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение вида $x^2 = a$ (где $a > 0$) имеет два корня: $x = \sqrt{a}$ и $x = -\sqrt{a}$.
$x = \pm\sqrt{0,09}$
$x_1 = 0,3$, $x_2 = -0,3$
Ответ: -0,3; 0,3.

в) $0,5x^2 = 30$

Разделим обе части уравнения на 0,5. Деление на 0,5 эквивалентно умножению на 2.
$x^2 = \frac{30}{0,5}$
$x^2 = 60$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{60}$
Упростим корень, разложив подкоренное выражение на множители: $\sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{15} = 2\sqrt{15}$.
Таким образом, корни уравнения:
$x_1 = 2\sqrt{15}$, $x_2 = -2\sqrt{15}$
Ответ: $-2\sqrt{15}; 2\sqrt{15}$.

г) $-5x^2 = \frac{1}{20}$

Разделим обе части уравнения на -5:
$x^2 = \frac{1}{20 \cdot (-5)}$
$x^2 = -\frac{1}{100}$
Как и в пункте а), квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Так как правая часть уравнения отрицательна, оно не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

д) $x^3 - 3x = 0$

Это неполное кубическое уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 3) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти все корни.
1) Первый корень: $x_1 = 0$.
2) Второй множитель: $x^2 - 3 = 0$.
Решим это уравнение:
$x^2 = 3$
$x = \pm\sqrt{3}$
Таким образом, получаем еще два корня: $x_2 = \sqrt{3}$ и $x_3 = -\sqrt{3}$.
Всего уравнение имеет три корня.
Ответ: $-\sqrt{3}; 0; \sqrt{3}$.

е) $x^3 - 11x = 0$

Это уравнение решается аналогично предыдущему. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 11) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
1) Первый корень: $x_1 = 0$.
2) Второй множитель: $x^2 - 11 = 0$.
Решим это уравнение:
$x^2 = 11$
$x = \pm\sqrt{11}$
Получаем еще два корня: $x_2 = \sqrt{11}$ и $x_3 = -\sqrt{11}$.
Всего уравнение имеет три корня.
Ответ: $-\sqrt{11}; 0; \sqrt{11}$.

325. Имеет ли смысл выражение $\sqrt{8-5x}$ при $x = -3,4; 0; 1,2; 1,6; 2,4?$

Выражение $\sqrt{8-5x}$ имеет смысл (определено в области действительных чисел), если подкоренное выражение неотрицательно, то есть, когда выполняется неравенство:

$8-5x \ge 0$

Проверим это условие для каждого из предложенных значений $x$.

при x = -3,4

Подставим значение $x = -3,4$ в подкоренное выражение:

$8 - 5(-3,4) = 8 + 17 = 25$

Поскольку $25 \ge 0$, данное условие выполняется.

Ответ: имеет смысл.

при x = 0

Подставим значение $x = 0$ в подкоренное выражение:

$8 - 5(0) = 8 - 0 = 8$

Поскольку $8 \ge 0$, данное условие выполняется.

Ответ: имеет смысл.

при x = 1,2

Подставим значение $x = 1,2$ в подкоренное выражение:

$8 - 5(1,2) = 8 - 6 = 2$

Поскольку $2 \ge 0$, данное условие выполняется.

Ответ: имеет смысл.

при x = 1,6

Подставим значение $x = 1,6$ в подкоренное выражение:

$8 - 5(1,6) = 8 - 8 = 0$

Поскольку $0 \ge 0$, данное условие выполняется.

Ответ: имеет смысл.

при x = 2,4

Подставим значение $x = 2,4$ в подкоренное выражение:

$8 - 5(2,4) = 8 - 12 = -4$

Поскольку $-4 < 0$, данное условие не выполняется. Корень из отрицательного числа не определен в области действительных чисел.

Ответ: не имеет смысла.

327. При каких значениях переменной $x$ имеет смысл выражение:

а) $\sqrt{2x}$;

б) $\sqrt{-x}$?

а) Выражение с арифметическим квадратным корнем, такое как $\sqrt{2x}$, имеет смысл только в том случае, когда подкоренное выражение неотрицательно (то есть больше или равно нулю). Это связано с тем, что в области действительных чисел невозможно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Таким образом, для нахождения допустимых значений $x$, необходимо решить неравенство:
$2x \geq 0$
Разделим обе части этого неравенства на 2. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства сохраняется:
$x \geq 0$
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, которые больше или равны нулю.
Ответ: $x \geq 0$.

б) Аналогично, для выражения $\sqrt{-x}$ необходимо, чтобы подкоренное выражение $-x$ было неотрицательным. Составим и решим соответствующее неравенство:
$-x \geq 0$
Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на -1. При умножении неравенства на отрицательное число его знак необходимо изменить на противоположный (знак $\geq$ меняется на $\leq$):
$(-1) \cdot (-x) \leq (-1) \cdot 0$
$x \leq 0$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, которые меньше или равны нулю.
Ответ: $x \leq 0$.

320. Решите уравнение:

а) $x^2 = 36;$

б) $x^2 = 0,49;$

в) $x^2 = 121;$

г) $x^2 = 11;$

д) $x^2 = 8;$

е) $x^2 = 2,5.$

а) $x^2 = 36$

Данное уравнение является квадратным уравнением вида $x^2 = a$, где $a \ge 0$. Для его решения необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Следует помнить, что уравнение будет иметь два корня: положительный и отрицательный.

$x = \pm\sqrt{36}$

Поскольку $6^2 = 36$, то $\sqrt{36} = 6$.

Следовательно, корнями уравнения являются $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$.

Ответ: $x_1 = 6, x_2 = -6$.

б) $x^2 = 0{,}49$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{0{,}49}$

Так как $(0{,}7)^2 = 0{,}49$, то $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$.

Следовательно, корнями уравнения являются $x_1 = 0{,}7$ и $x_2 = -0{,}7$.

Ответ: $x_1 = 0{,}7, x_2 = -0{,}7$.

в) $x^2 = 121$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{121}$

Так как $11^2 = 121$, то $\sqrt{121} = 11$.

Следовательно, корнями уравнения являются $x_1 = 11$ и $x_2 = -11$.

Ответ: $x_1 = 11, x_2 = -11$.

г) $x^2 = 11$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{11}$

Число 11 не является полным квадратом, поэтому его корень — иррациональное число. В таких случаях ответ оставляют в виде радикала.

Следовательно, корнями уравнения являются $x_1 = \sqrt{11}$ и $x_2 = -\sqrt{11}$.

Ответ: $x_1 = \sqrt{11}, x_2 = -\sqrt{11}$.

д) $x^2 = 8$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{8}$

Упростим выражение $\sqrt{8}$, вынеся множитель из-под знака корня. Для этого представим число 8 в виде произведения, где один из множителей является полным квадратом.

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Следовательно, корнями уравнения являются $x_1 = 2\sqrt{2}$ и $x_2 = -2\sqrt{2}$.

Ответ: $x_1 = 2\sqrt{2}, x_2 = -2\sqrt{2}$.

е) $x^2 = 2{,}5$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{2{,}5}$

Чтобы упростить выражение, представим десятичную дробь $2{,}5$ в виде обыкновенной дроби:

$\sqrt{2{,}5} = \sqrt{\frac{25}{10}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби под корнем на 2, или домножив числитель и знаменатель самой дроби на $\sqrt{2}$:

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$

Следовательно, корнями уравнения являются $x_1 = \frac{\sqrt{10}}{2}$ и $x_2 = -\frac{\sqrt{10}}{2}$.

Ответ: $x_1 = \frac{\sqrt{10}}{2}, x_2 = -\frac{\sqrt{10}}{2}$.

322. Решите уравнение:

а) $80 + y^2 = 81;$

б) $19 + c^2 = 10;$

в) $20 - b^2 = -5;$

г) $3x^2 = 1,47;$

д) $\frac{1}{4}a^2 = 10;$

е) $-5y^2 = 1,8.$

а) $80 + y^2 = 81$

Для решения уравнения перенесем число 80 из левой части в правую с противоположным знаком:

$y^2 = 81 - 80$

$y^2 = 1$

Это уравнение имеет два корня, так как $1^2 = 1$ и $(-1)^2 = 1$.

$y_1 = 1$, $y_2 = -1$.

Ответ: $y = \pm 1$.

б) $19 + c^2 = 10$

Перенесем число 19 из левой части в правую с противоположным знаком:

$c^2 = 10 - 19$

$c^2 = -9$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

в) $20 - b^2 = -5$

Перенесем число 20 из левой части в правую с противоположным знаком:

$-b^2 = -5 - 20$

$-b^2 = -25$

Умножим обе части уравнения на -1:

$b^2 = 25$

Уравнение имеет два корня, так как $5^2 = 25$ и $(-5)^2 = 25$.

$b_1 = 5$, $b_2 = -5$.

Ответ: $b = \pm 5$.

г) $3x^2 = 1,47$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 3:

$x^2 = \frac{1,47}{3}$

$x^2 = 0,49$

Уравнение имеет два корня, так как $0,7^2 = 0,49$ и $(-0,7)^2 = 0,49$.

$x_1 = 0,7$, $x_2 = -0,7$.

Ответ: $x = \pm 0,7$.

д) $\frac{1}{4}a^2 = 10$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

$a^2 = 10 \cdot 4$

$a^2 = 40$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$a = \pm\sqrt{40}$

Упростим корень: $\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$.

$a_1 = 2\sqrt{10}$, $a_2 = -2\sqrt{10}$.

Ответ: $a = \pm 2\sqrt{10}$.

е) $-5y^2 = 1,8$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $y^2$, то есть на -5:

$y^2 = \frac{1,8}{-5}$

$y^2 = -0,36$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

324. Решите уравнение:

а) $(x - 3)^2 = 25;$

б) $(x + 4)^2 = 9;$

в) $(x - 6)^2 = 7;$

г) $(x + 2)^2 = 6.$

а) Дано уравнение $(x - 3)^2 = 25$.

Чтобы решить уравнение вида $A^2 = B$, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей. Это даст два возможных варианта: $A = \sqrt{B}$ и $A = -\sqrt{B}$.

Применим это к нашему уравнению:

$x - 3 = \sqrt{25}$ или $x - 3 = -\sqrt{25}$.

Поскольку $\sqrt{25} = 5$, получаем два линейных уравнения:

1) $x - 3 = 5$

Переносим $-3$ в правую часть, меняя знак:

$x = 5 + 3$

$x_1 = 8$

2) $x - 3 = -5$

Переносим $-3$ в правую часть:

$x = -5 + 3$

$x_2 = -2$

Ответ: $-2; 8$.

б) Дано уравнение $(x + 4)^2 = 9$.

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x + 4 = \sqrt{9}$ или $x + 4 = -\sqrt{9}$.

Так как $\sqrt{9} = 3$, имеем:

1) $x + 4 = 3$

Переносим $4$ в правую часть:

$x = 3 - 4$

$x_1 = -1$

2) $x + 4 = -3$

Переносим $4$ в правую часть:

$x = -3 - 4$

$x_2 = -7$

Ответ: $-7; -1$.

в) Дано уравнение $(x - 6)^2 = 7$.

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$x - 6 = \sqrt{7}$ или $x - 6 = -\sqrt{7}$.

Так как $7$ не является полным квадратом, корень из него является иррациональным числом. Мы оставляем его в виде $\sqrt{7}$.

Выражаем $x$ для обоих случаев:

1) $x - 6 = \sqrt{7}$

$x_1 = 6 + \sqrt{7}$

2) $x - 6 = -\sqrt{7}$

$x_2 = 6 - \sqrt{7}$

Эти два решения можно записать в компактной форме.

Ответ: $6 \pm \sqrt{7}$.

г) Дано уравнение $(x + 2)^2 = 6$.

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$x + 2 = \sqrt{6}$ или $x + 2 = -\sqrt{6}$.

Число $6$ не является полным квадратом, поэтому корень из него оставляем в иррациональном виде $\sqrt{6}$.

Находим корни уравнения:

1) $x + 2 = \sqrt{6}$

$x_1 = -2 + \sqrt{6}$

2) $x + 2 = -\sqrt{6}$

$x_2 = -2 - \sqrt{6}$

Объединяем два решения в одну запись.

Ответ: $-2 \pm \sqrt{6}$.

326. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

а) $3\sqrt{a}$;

б) $-5\sqrt{x}$;

в) $\sqrt{8c}$;

г) $\sqrt{-10b}$?

Выражение, содержащее арифметический квадратный корень $\sqrt{X}$, имеет смысл (определено) тогда и только тогда, когда подкоренное выражение $X$ неотрицательно, то есть $X \ge 0$.

а) В выражении $3\sqrt{a}$ подкоренным выражением является переменная $a$. Для того чтобы выражение имело смысл, необходимо выполнение условия:

$a \ge 0$

Ответ: при $a \ge 0$.

б) В выражении $-5\sqrt{x}$ подкоренным выражением является переменная $x$. Коэффициент -5 не влияет на область определения. Чтобы выражение имело смысл, необходимо выполнение условия:

$x \ge 0$

Ответ: при $x \ge 0$.

в) В выражении $\sqrt{8c}$ подкоренным выражением является $8c$. Чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы это произведение было неотрицательным. Составим и решим неравенство:

$8c \ge 0$

Разделим обе части неравенства на 8. Так как 8 является положительным числом, знак неравенства сохраняется:

$c \ge \frac{0}{8}$

$c \ge 0$

Ответ: при $c \ge 0$.

г) В выражении $\sqrt{-10b}$ подкоренным выражением является $-10b$. Чтобы выражение имело смысл, это произведение должно быть неотрицательным. Составим и решим неравенство:

$-10b \ge 0$

Разделим обе части неравенства на -10. Так как -10 является отрицательным числом, знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$b \le \frac{0}{-10}$

$b \le 0$

Ответ: при $b \le 0$.