Страница 72 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

281. Какое из чисел больше:

а) $1,(56)$ или $1,56$;

б) $-4,(45)$ или $-4,45$;

в) $1\frac{2}{3}$ или $1,6668$;

г) $-0,228$ или $-\frac{5}{22}$;

д) $\pi$ или $3,1415$;

е) $3,(14)$ или $\pi$?

а) Чтобы сравнить числа $1,(56)$ и $1,56$, представим их в развернутом виде. $1,(56)$ — это периодическая дробь, равная $1,565656...$. Число $1,56$ — это конечная десятичная дробь, которую можно записать как $1,560000...$. Сравним эти числа поразрядно. Целые части и первые две цифры после запятой ($5$ и $6$) у них совпадают. В разряде тысячных у числа $1,(56)$ стоит цифра $5$, а у числа $1,56$ — $0$. Так как $5 > 0$, то $1,(56) > 1,56$.
Ответ: $1,(56)$.

б) Сравним отрицательные числа $-4,(45)$ и $-4,45$. Сначала сравним их модули: $|-4,(45)| = 4,(45)$ и $|-4,45| = 4,45$. Число $4,(45)$ — это периодическая дробь $4,454545...$. Число $4,45$ — это $4,450000...$. Сравнивая их поразрядно, видим, что в разряде тысячных у первого числа стоит $4$, а у второго — $0$. Так как $4 > 0$, то $4,(45) > 4,45$. Для отрицательных чисел правило сравнения обратное: из двух отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше. Следовательно, $-4,45 > -4,(45)$.
Ответ: $-4,45$.

в) Сравним числа $1\frac{2}{3}$ и $1,6668$. Переведем смешанную дробь $1\frac{2}{3}$ в десятичную. $2 \div 3 = 0,6666... = 0,(6)$. Таким образом, $1\frac{2}{3} = 1,(6) = 1,666666...$. Теперь сравним $1,6666...$ и $1,6668$. Первые три цифры после запятой ($666$) у них совпадают. В разряде десятитысячных у числа $1,(6)$ стоит цифра $6$, а у числа $1,6668$ — цифра $8$. Так как $6 < 8$, то $1,6666... < 1,6668$.
Ответ: $1,6668$.

г) Сравним отрицательные числа $-0,228$ и $-\frac{5}{22}$. Сначала сравним их модули. Переведем обыкновенную дробь $\frac{5}{22}$ в десятичную, разделив $5$ на $22$: $\frac{5}{22} = 0,227272... = 0,2(27)$. Теперь сравним модули $0,228$ и $0,2(27)$. Первые две цифры после запятой совпадают. В разряде тысячных у числа $0,228$ стоит цифра $8$, а у числа $0,2(27)$ — цифра $7$. Так как $8 > 7$, то $0,228 > 0,2(27)$. Поскольку мы сравниваем отрицательные числа, больше то, у которого модуль меньше. Следовательно, $-\frac{5}{22} > -0,228$.
Ответ: $-\frac{5}{22}$.

д) Сравним число $\pi$ и $3,1415$. Число $\pi$ — иррациональное, его приближенное значение с большим количеством знаков после запятой равно $3,14159265...$. Сравним $3,14159...$ и $3,1415$. Первые четыре цифры после запятой у них совпадают. В разряде стотысячных у числа $\pi$ стоит цифра $9$, а у числа $3,1415$ (которое можно записать как $3,14150...$) стоит $0$. Так как $9 > 0$, то $\pi > 3,1415$.
Ответ: $\pi$.

е) Сравним числа $3,(14)$ и $\pi$. Число $3,(14)$ — это периодическая дробь $3,141414...$. Число $\pi$ приблизительно равно $3,141592...$. Сравним эти два числа поразрядно. Целая часть и первые три цифры после запятой ($141$) совпадают. В разряде десятитысячных у числа $3,(14)$ стоит цифра $4$, а у числа $\pi$ — цифра $5$. Так как $4 < 5$, то $3,(14) < \pi$.
Ответ: $\pi$.

283. Найдите расстояние между точками $M$ и $K$ координатной прямой, если:

а) $M(7,45)$ и $K(1,15)$;

б) $M\left(-5\frac{1}{3}\right)$ и $K\left(3\frac{2}{3}\right)$.

а) Чтобы найти расстояние между двумя точками на координатной прямой, необходимо найти модуль разности их координат. Расстояние $d$ между точками с координатами $x_1$ и $x_2$ вычисляется по формуле: $d = |x_2 - x_1|$.
Даны точки $M(7,45)$ и $K(1,15)$.
Координата точки M: $x_M = 7,45$.
Координата точки K: $x_K = 1,15$.
Найдем расстояние MK:
$MK = |x_K - x_M| = |1,15 - 7,45| = |-6,3| = 6,3$.
Результат будет таким же, если вычитать в другом порядке:
$MK = |x_M - x_K| = |7,45 - 1,15| = |6,3| = 6,3$.
Ответ: 6,3

б) Даны точки $M(-5\frac{1}{3})$ и $K(3\frac{2}{3})$.
Координата точки M: $x_M = -5\frac{1}{3}$.
Координата точки K: $x_K = 3\frac{2}{3}$.
Найдем расстояние MK, используя ту же формулу:
$MK = |x_K - x_M| = |3\frac{2}{3} - (-5\frac{1}{3})| = |3\frac{2}{3} + 5\frac{1}{3}|$.
Чтобы сложить смешанные числа, сложим их целые и дробные части по отдельности:
$3 + 5 = 8$
$\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$
$MK = |8 + 1| = |9| = 9$.
Можно также сначала перевести смешанные числа в неправильные дроби:
$x_M = -5\frac{1}{3} = -\frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{16}{3}$
$x_K = 3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$
$MK = |\frac{11}{3} - (-\frac{16}{3})| = |\frac{11}{3} + \frac{16}{3}| = |\frac{11+16}{3}| = |\frac{27}{3}| = |9| = 9$.
Ответ: 9

285. Расположите в порядке возрастания числа

$4.62$; $3.\overline{3}$; $-2.75\dots$; $-2.63\dots$.

Чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо сравнить их. В порядке возрастания числа располагаются от наименьшего к наибольшему.

Имеем четыре числа: $4,62$; $3,(3)$; $-2,75...$; $-2,63...$

1. Сначала разделим числа на отрицательные и положительные. Любое отрицательное число меньше любого положительного.

• Отрицательные числа: $-2,75...$; $-2,63...$
• Положительные числа: $4,62$; $3,(3)$

2. Сравним отрицательные числа. Из двух отрицательных чисел меньше то, чей модуль (абсолютная величина) больше. Сравним модули чисел $-2,75...$ и $-2,63...$:

$|-2,75...| = 2,75...$

$|-2,63...| = 2,63...$

Так как целые части у модулей одинаковы (равны 2), сравниваем дробные части. $75 > 63$, следовательно, $2,75... > 2,63...$.

Поскольку модуль числа $-2,75...$ больше модуля числа $-2,63...$, то само число $-2,75...$ меньше, чем $-2,63...$.

$-2,75... < -2,63...$

3. Теперь сравним положительные числа: $4,62$ и $3,(3)$.

Число $3,(3)$ представляет собой бесконечную периодическую десятичную дробь, которую можно записать как $3,333...$

Сравниваем $4,62$ и $3,333...$. Начинаем сравнение с целой части. Целая часть числа $4,62$ равна $4$, а целая часть числа $3,333...$ равна $3$.

Так как $4 > 3$, то $4,62 > 3,(3)$.

4. Теперь объединим все числа в один упорядоченный ряд. Сначала идут отрицательные числа в порядке возрастания, а затем положительные числа в порядке возрастания.

$-2,75... < -2,63... < 3,(3) < 4,62$

Ответ: $-2,75...$; $-2,63...$; $3,(3)$; $4,62$.

287. Какие целые числа расположены между числами:

а) $ -3,168\ldots $ и $ 2,734\ldots $;

б) $ -5,106\ldots $ и $ -1,484\ldots $;

в) $ -4,06 $ и $ -1,601 $;

г) $ -1,29 $ и $ 0,11 $?

а) Нам нужно найти все целые числа $x$, которые расположены между числами $-3,168...$ и $2,734...$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-3,168... < x < 2,734...$ .

Целые числа — это числа без дробной части. На числовой прямой число $-3,168...$ находится левее, чем $-3$. Следовательно, наименьшее целое число, которое больше $-3,168...$, — это $-3$.

Число $2,734...$ находится правее, чем $2$. Следовательно, наибольшее целое число, которое меньше $2,734...$, — это $2$.

Таким образом, мы ищем все целые числа от $-3$ до $2$ включительно.

Перечислим эти числа: $-3, -2, -1, 0, 1, 2$.

Ответ: $-3, -2, -1, 0, 1, 2$.

б) Нам нужно найти все целые числа $x$, которые удовлетворяют неравенству $-5,106... < x < -1,484...$ .

Наименьшее целое число, которое больше $-5,106...$, — это $-5$, так как $-5$ находится правее на числовой прямой.

Наибольшее целое число, которое меньше $-1,484...$, — это $-2$, так как $-2$ находится левее на числовой прямой.

Следовательно, искомые целые числа — это все целые числа от $-5$ до $-2$ включительно.

Перечислим эти числа: $-5, -4, -3, -2$.

Ответ: $-5, -4, -3, -2$.

в) Нам нужно найти все целые числа $x$, которые удовлетворяют неравенству $-4,06 < x < -1,601$.

Наименьшее целое число, которое больше $-4,06$, — это $-4$.

Наибольшее целое число, которое меньше $-1,601$, — это $-2$.

Таким образом, мы ищем все целые числа в интервале от $-4$ до $-2$ включительно.

Перечислим эти числа: $-4, -3, -2$.

Ответ: $-4, -3, -2$.

г) Нам нужно найти все целые числа $x$, которые удовлетворяют неравенству $-1,29 < x < 0,11$.

Наименьшее целое число, которое больше $-1,29$, — это $-1$.

Наибольшее целое число, которое меньше $0,11$, — это $0$.

Следовательно, мы ищем все целые числа от $-1$ до $0$ включительно.

Перечислим эти числа: $-1, 0$.

Ответ: $-1, 0$.

289. Найдите приближённое значение выражения $a - b$, где $a = 59,678...$ и $b = 43,123...$, округлив предварительно $a$ и $b$:

a) до десятых;

б) до сотых.

а) до десятых;
Чтобы найти приближенное значение выражения, сначала округлим каждое из чисел до десятых.
Правило округления до десятых: смотрим на цифру в разряде сотых. Если она 5 или больше, то цифру в разряде десятых увеличиваем на 1, а все последующие цифры отбрасываем. Если она меньше 5, то цифру в разряде десятых оставляем без изменений, а все последующие отбрасываем.
Округляем число $a = 59,678...$: цифра в разряде сотых — 7. Так как $7 \ge 5$, увеличиваем разряд десятых (6) на 1.
$a \approx 59,7$
Округляем число $b = 43,123...$: цифра в разряде сотых — 2. Так как $2 < 5$, оставляем разряд десятых (1) без изменений.
$b \approx 43,1$
Теперь находим разность приближенных значений:
$a - b \approx 59,7 - 43,1 = 16,6$
Ответ: 16,6

б) до сотых.
Теперь округлим каждое из чисел до сотых.
Правило округления до сотых: смотрим на цифру в разряде тысячных. Если она 5 или больше, то цифру в разряде сотых увеличиваем на 1. Если она меньше 5, то цифру в разряде сотых оставляем без изменений.
Округляем число $a = 59,678...$: цифра в разряде тысячных — 8. Так как $8 \ge 5$, увеличиваем разряд сотых (7) на 1.
$a \approx 59,68$
Округляем число $b = 43,123...$: цифра в разряде тысячных — 3. Так как $3 < 5$, оставляем разряд сотых (2) без изменений.
$b \approx 43,12$
Теперь находим разность приближенных значений:
$a - b \approx 59,68 - 43,12 = 16,56$
Ответ: 16,56

282. Сравните числа:

а) $9,835\dots$ и $9,847\dots$;

б) $-1,(27)$ и $-1,272$;

в) $0,06(3)$ и $0,0624$;

г) $2\frac{1}{7}$ и $2,142$;

д) $1,(375)$ и $1\frac{3}{8}$;

е) $-3,(16)$ и $-3\frac{4}{25}$.

а) Для сравнения двух положительных десятичных дробей $9,835...$ и $9,847...$ будем сравнивать их разряды слева направо. Целые части обоих чисел равны $9$. Десятые доли равны $8$. Сотые доли различны: у первого числа это $3$, а у второго $4$. Так как $3 < 4$, то первое число меньше второго.
Ответ: $9,835... < 9,847...$

б) Сравниваем два отрицательных числа: $-1,(27)$ и $-1,272$. Для этого сначала сравним их модули: $|-1,(27)| = 1,(27)$ и $|-1,272| = 1,272$. Число $1,(27)$ является периодической дробью и равно $1,272727...$. Сравниваем $1,272727...$ и $1,272$ по разрядам. Первые три знака после запятой совпадают. Разряд десятитысячных у числа $1,272727...$ равен $7$, а у числа $1,272$ (которое можно записать как $1,2720...$) равен $0$. Так как $7 > 0$, то $1,272727... > 1,272$. Следовательно, $|-1,(27)| > |-1,272|$. При сравнении отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше. Значит, $-1,(27) < -1,272$.
Ответ: $-1,(27) < -1,272$.

в) Сравниваем два положительных числа: $0,06(3)$ и $0,0624$. Запишем периодическую дробь $0,06(3)$ в развернутом виде: $0,06333...$. Сравниваем $0,06333...$ и $0,0624$ по разрядам. Целые части, десятые и сотые доли совпадают. Разряд тысячных у первого числа равен $3$, а у второго $2$. Так как $3 > 2$, то первое число больше второго.
Ответ: $0,06(3) > 0,0624$.

г) Сравним смешанное число $2\frac{1}{7}$ и десятичную дробь $2,142$. Для этого представим смешанное число в виде десятичной дроби. Целая часть равна $2$. Найдем десятичное представление дроби $\frac{1}{7}$. $\frac{1}{7} = 1 \div 7 \approx 0,142857...$ Значит, $2\frac{1}{7} = 2,142857...$. Теперь сравним $2,142857...$ и $2,142$. Целые части и первые три знака после запятой ($142$) совпадают. Четвертый знак после запятой у числа $2,142857...$ равен $8$, а у числа $2,142$ (или $2,1420$) равен $0$. Так как $8 > 0$, то $2,142857... > 2,142$. Следовательно, $2\frac{1}{7} > 2,142$.
Ответ: $2\frac{1}{7} > 2,142$.

д) Сравним периодическую дробь $1,(375)$ и смешанное число $1\frac{3}{8}$. Переведем смешанное число в десятичную дробь. Целая часть равна $1$. Дробная часть $\frac{3}{8} = 3 \div 8 = 0,375$. Таким образом, $1\frac{3}{8} = 1,375$. Теперь сравним $1,(375)$ и $1,375$. Периодическая дробь $1,(375)$ записывается как $1,375375...$. Конечная дробь $1,375$ может быть записана как $1,375000...$. Первые три знака после запятой ($375$) у чисел совпадают. Четвертый знак после запятой у числа $1,375375...$ равен $3$, а у числа $1,375000...$ равен $0$. Так как $3 > 0$, то $1,375375... > 1,375$. Следовательно, $1,(375) > 1\frac{3}{8}$.
Ответ: $1,(375) > 1\frac{3}{8}$.

е) Сравним два отрицательных числа: $-3,(16)$ и $-3\frac{4}{25}$. Сначала сравним их модули: $|-3,(16)| = 3,(16)$ и $|-3\frac{4}{25}| = 3\frac{4}{25}$. Переведем смешанное число $3\frac{4}{25}$ в десятичную дробь. $3\frac{4}{25} = 3 + \frac{4 \times 4}{25 \times 4} = 3 + \frac{16}{100} = 3,16$. Периодическая дробь $3,(16)$ записывается как $3,161616...$. Сравним $3,161616...$ и $3,16$. Первые два знака после запятой ($16$) совпадают. Третий знак после запятой у числа $3,161616...$ равен $1$, а у числа $3,16$ (или $3,160$) равен $0$. Так как $1 > 0$, то $3,161616... > 3,16$. Следовательно, $|-3,(16)| > |-3\frac{4}{25}|$. Так как числа отрицательные, то больше то число, модуль которого меньше. Значит, $-3,(16) < -3\frac{4}{25}$.
Ответ: $-3,(16) < -3\frac{4}{25}$.

284. Какая из точек — C или D — координатной прямой ближе к точке M, если:

a) $C(4,514)$, $D(-1,9368...)$, $M(1,304)$;

б) $C(-2,4815...)$, $D(11,454)$, $M(4,586)$.

Чтобы определить, какая из точек, C или D, находится ближе к точке M на координатной прямой, необходимо найти расстояние от каждой из этих точек до точки M. Расстояние между двумя точками на координатной прямой с координатами $x_1$ и $x_2$ вычисляется по формуле $d = |x_2 - x_1|$. Точка, для которой это расстояние меньше, и будет ближайшей.

а) Даны точки C(4,514), D(–1,9368...) и M(1,304).

1. Найдем расстояние между точками M и C (обозначим его как MC):
$MC = |4,514 - 1,304| = |3,21| = 3,21$.

2. Найдем расстояние между точками M и D (обозначим его как MD):
$MD = |–1,9368... - 1,304| = |–3,2408...| = 3,2408...$.

3. Сравним полученные расстояния:
$3,21 < 3,2408...$
Поскольку расстояние MC меньше расстояния MD, точка C находится ближе к точке M.

Ответ: точка C.

б) Даны точки C(–2,4815...), D(11,454) и M(4,586).

1. Найдем расстояние между точками M и C:
$MC = |–2,4815... - 4,586| = |–7,0675...| = 7,0675...$.

2. Найдем расстояние между точками M и D:
$MD = |11,454 - 4,586| = |6,868| = 6,868$.

3. Сравним полученные расстояния:
$6,868 < 7,0675...$
Поскольку расстояние MD меньше расстояния MC, точка D находится ближе к точке M.

Ответ: точка D.

286. Расположите в порядке убывания числа

$1,371\dots$; $2,065$; $2,056\dots$; $1,(37)$; $-0,078\dots$

Чтобы расположить данные числа в порядке убывания (от самого большого к самому маленькому), необходимо сравнить их значения.

Шаг 1: Анализ предоставленных чисел
Нам даны следующие числа: $1,371...$; $2,065$; $2,056...$; $1,(37)$; $-0,078...$.
Заметим, что число $1,(37)$ является периодической десятичной дробью, которую можно записать как $1,373737...$.
Число $-0,078...$ является отрицательным, в то время как все остальные числа — положительные. Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $-0,078...$ будет самым маленьким числом в этом ряду.

Шаг 2: Сравнение положительных чисел по целой части
Среди положительных чисел есть две группы:
1. Числа, целая часть которых равна 2: $2,065$ и $2,056...$.
2. Числа, целая часть которых равна 1: $1,371...$ и $1,(37)$.
Очевидно, что числа из первой группы больше чисел из второй.

Шаг 3: Сравнение чисел внутри групп
Сначала сравним числа из первой группы: $2,065$ и $2,056...$.
Целые части и десятые доли у них одинаковы. Сравним сотые доли: у числа $2,065$ это 6, а у числа $2,056...$ — 5. Поскольку $6 > 5$, то $2,065 > 2,056...$.

Теперь сравним числа из второй группы: $1,371...$ и $1,(37)$ (то есть $1,3737...$).
Целые части, десятые и сотые доли у них одинаковы. Сравним тысячные доли: у числа $1,371...$ это 1, а у числа $1,3737...$ — 3. Поскольку $3 > 1$, то $1,(37) > 1,371...$.

Шаг 4: Формирование итоговой последовательности
Собирая все результаты сравнений, мы можем выстроить числа в порядке убывания:
1. $2,065$
2. $2,056...$
3. $1,(37)$
4. $1,371...$
5. $-0,078...$

Ответ: $2,065$; $2,056...$; $1,(37)$; $1,371...$; $-0,078...$.

288. Найдите приближенное значение выражения $a + b$, где $a = 1,0539...$ и $b = 2,0610...$, округлив предварительно $a$ и $b$:

а) до десятых;

б) до сотых;

в) до тысячных.

а) до десятых;

Чтобы найти приближенное значение выражения $a + b$, сначала округлим каждое из чисел до десятых.
Дано: $a = 1,0539...$ и $b = 2,0610...$
Округление $a$ до десятых: первая цифра после запятой – 0. Следующая за ней цифра – 5, поэтому округляем в большую сторону. Получаем $a \approx 1,1$.
Округление $b$ до десятых: первая цифра после запятой – 0. Следующая за ней цифра – 6, поэтому округляем в большую сторону. Получаем $b \approx 2,1$.
Теперь найдем сумму приближенных значений:
$a + b \approx 1,1 + 2,1 = 3,2$.
Ответ: $3,2$.

б) до сотых;

Округлим каждое из чисел $a$ и $b$ до сотых.
Дано: $a = 1,0539...$ и $b = 2,0610...$
Округление $a$ до сотых: вторая цифра после запятой – 5. Следующая за ней цифра – 3, поэтому оставляем цифру 5 без изменений. Получаем $a \approx 1,05$.
Округление $b$ до сотых: вторая цифра после запятой – 6. Следующая за ней цифра – 1, поэтому оставляем цифру 6 без изменений. Получаем $b \approx 2,06$.
Теперь найдем сумму приближенных значений:
$a + b \approx 1,05 + 2,06 = 3,11$.
Ответ: $3,11$.

в) до тысячных.

Округлим каждое из чисел $a$ и $b$ до тысячных.
Дано: $a = 1,0539...$ и $b = 2,0610...$
Округление $a$ до тысячных: третья цифра после запятой – 3. Следующая за ней цифра – 9, поэтому округляем в большую сторону. Получаем $a \approx 1,054$.
Округление $b$ до тысячных: третья цифра после запятой – 1. Следующая за ней цифра – 0, поэтому оставляем цифру 1 без изменений. Получаем $b \approx 2,061$.
Теперь найдем сумму приближенных значений:
$a + b \approx 1,054 + 2,061 = 3,115$.
Ответ: $3,115$.

290. Найдите приближённое значение длины окружности, радиус которой равен 4,5 см (число $ \pi $ округлите до сотых).

Для того чтобы найти длину окружности, используется формула $C = 2\pi r$, где $C$ — это длина окружности, $r$ — её радиус, а $\pi$ — это математическая константа.

Согласно условию задачи, нам даны следующие значения:

• Радиус окружности: $r = 4,5$ см.
• Число $\pi$ необходимо округлить до сотых: $\pi \approx 3,14$.

Теперь подставим известные значения в формулу для нахождения длины окружности:
$C \approx 2 \times 3,14 \times 4,5$

Произведем вычисления поэтапно:
1. Сначала умножим 2 на радиус: $2 \times 4,5 = 9$.
2. Затем полученный результат умножим на приближенное значение $\pi$: $9 \times 3,14 = 28,26$.

Следовательно, приближённое значение длины окружности равно $28,26$ см.

Ответ: $28,26$ см.