Страница 65 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

263. Верно ли, что:

а) $-4 \in \mathbb{N}$; $-4 \in \mathbb{Z}$; $-4 \in \mathbb{Q}$;

б) $5,6 \notin \mathbb{N}$; $5,6 \in \mathbb{Z}$; $5,6 \in \mathbb{Q}$;

В) $28 \in \mathbb{N}$; $28 \in \mathbb{Z}$; $28 \in \mathbb{Q}$?

Для решения этой задачи необходимо определить, к каким числовым множествам принадлежат указанные числа. Вспомним определения этих множеств:
$N$ — множество натуральных чисел, то есть целых положительных чисел, используемых при счете: $\{1, 2, 3, ...\}$.
$Z$ — множество целых чисел, которое включает в себя натуральные числа, числа, им противоположные, и ноль: $\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.
$Q$ — множество рациональных чисел, то есть чисел, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in Z$), а $q$ — натуральное число ($q \in N$).

а) Рассмотрим утверждения для числа -4.
Утверждение $-4 \in N$ неверно. Множество натуральных чисел $N$ содержит только положительные целые числа. Число -4 является отрицательным и не входит в это множество.
Утверждение $-4 \in Z$ верно. Множество целых чисел $Z$ включает в себя все целые числа: положительные, отрицательные и ноль. -4 является целым числом.
Утверждение $-4 \in Q$ верно. Любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби со знаменателем 1. Например, $-4 = \frac{-4}{1}$.
Ответ: $-4 \in N$ — неверно; $-4 \in Z$ — верно; $-4 \in Q$ — верно.

б) Рассмотрим утверждения для числа 5,6.
Утверждение $5,6 \notin N$ верно. Число 5,6 является десятичной дробью, а не натуральным числом, так как натуральные числа — целые и положительные.
Утверждение $5,6 \in Z$ неверно. Множество целых чисел $Z$ не содержит дробных чисел.
Утверждение $5,6 \in Q$ верно. Число 5,6 является конечной десятичной дробью, и его можно представить в виде обыкновенной дроби: $5,6 = \frac{56}{10} = \frac{28}{5}$. Это соответствует определению рационального числа.
Ответ: $5,6 \notin N$ — верно; $5,6 \in Z$ — неверно; $5,6 \in Q$ — верно.

в) Рассмотрим утверждения для числа 28.
Утверждение $28 \in N$ верно. Число 28 является целым и положительным, следовательно, оно принадлежит множеству натуральных чисел.
Утверждение $28 \in Z$ верно. Любое натуральное число также является и целым числом. Множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел ($N \subset Z$).
Утверждение $28 \in Q$ верно. Любое целое число является рациональным. Число 28 можно представить как дробь $\frac{28}{1}$. Множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел ($Z \subset Q$).
Ответ: $28 \in N$ — верно; $28 \in Z$ — верно; $28 \in Q$ — верно.

265. Представьте в виде отношения целого числа к натуральному несколькими способами числа $1\frac{2}{5}$; $0,3$; $-3\frac{1}{4}$; $-27$; $0$.

$1\frac{2}{5}$

Чтобы представить смешанное число в виде отношения целого числа к натуральному, сначала переведем его в неправильную дробь. Для этого целую часть умножим на знаменатель, прибавим числитель, и результат запишем в новый числитель, оставив знаменатель без изменений.

$1\frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{7}{5}$

В этой дроби числитель 7 — целое число, а знаменатель 5 — натуральное число. Это один из способов представления.

Чтобы получить другие способы, можно умножить числитель и знаменатель дроби на одно и то же натуральное число (основное свойство дроби). Например, умножим на 2 и на 10:

$\frac{7}{5} = \frac{7 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{14}{10}$

$\frac{7}{5} = \frac{7 \cdot 10}{5 \cdot 10} = \frac{70}{50}$

Ответ: $1\frac{2}{5} = \frac{7}{5} = \frac{14}{10} = \frac{70}{50}$.

0,3

Десятичную дробь 0,3 можно записать в виде обыкновенной дроби. Так как после запятой стоит одна цифра, знаменатель будет 10.

$0,3 = \frac{3}{10}$

Здесь числитель 3 — целое число, знаменатель 10 — натуральное число.

Другие представления можно получить, умножив числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число, например, на 3 и на 100:

$\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30}$

$\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 100}{10 \cdot 100} = \frac{300}{1000}$

Ответ: $0,3 = \frac{3}{10} = \frac{9}{30} = \frac{300}{1000}$.

$-3\frac{1}{4}$

Отрицательное смешанное число переведем в неправильную дробь, сохранив знак минус. Целую часть умножим на знаменатель, прибавим числитель, и результат запишем в числитель.

$-3\frac{1}{4} = -(\frac{3 \cdot 4 + 1}{4}) = -\frac{13}{4} = \frac{-13}{4}$

В полученной дроби числитель -13 — целое число, а знаменатель 4 — натуральное число.

Найдем другие представления, умножив числитель и знаменатель на 2 и на 5:

$\frac{-13}{4} = \frac{-13 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{-26}{8}$

$\frac{-13}{4} = \frac{-13 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{-65}{20}$

Ответ: $-3\frac{1}{4} = \frac{-13}{4} = \frac{-26}{8} = \frac{-65}{20}$.

-27

Любое целое число можно представить в виде отношения этого числа к натуральному числу 1.

$-27 = \frac{-27}{1}$

Числитель -27 — целое число, знаменатель 1 — натуральное число.

Для получения других представлений умножим числитель и знаменатель на любое натуральное число, например, на 2 и на 10:

$\frac{-27}{1} = \frac{-27 \cdot 2}{1 \cdot 2} = \frac{-54}{2}$

$\frac{-27}{1} = \frac{-27 \cdot 10}{1 \cdot 10} = \frac{-270}{10}$

Ответ: $-27 = \frac{-27}{1} = \frac{-54}{2} = \frac{-270}{10}$.

0

Число 0 можно представить в виде дроби с числителем 0 и любым натуральным числом в знаменателе.

Несколько примеров:

$0 = \frac{0}{1}$

$0 = \frac{0}{8}$

$0 = \frac{0}{25}$

Во всех случаях числитель 0 является целым числом, а знаменатели (1, 8, 25) — натуральными.

Ответ: $0 = \frac{0}{1} = \frac{0}{8} = \frac{0}{25}$.

267. Представьте в виде бесконечной десятичной дроби число:

а) $ \frac{1}{3} $;

б) $ \frac{5}{6} $;

в) $ \frac{1}{7} $;

г) $ -\frac{20}{9} $;

д) $ -\frac{8}{15} $;

е) $ 10,28 $;

ж) $ -17 $;

з) $ \frac{3}{16} $;

и) $ -1\frac{3}{40} $;

к) $ 2\frac{7}{11} $.

а) Чтобы представить дробь $ \frac{1}{3} $ в виде бесконечной десятичной дроби, необходимо разделить её числитель на знаменатель. При делении 1 на 3 получаем 0 в целой части. Далее, приписывая нули, последовательно делим 10 на 3, получаем 3 и 1 в остатке; снова делим 10 на 3, получаем 3 и 1 в остатке. Этот процесс бесконечен, и в частном после запятой бесконечно повторяется цифра 3. Таким образом, $ \frac{1}{3} = 0,333... $. Это чистая периодическая десятичная дробь с периодом 3. Ответ: $0,(3)$.

б) Разделим числитель 5 на знаменатель 6. При делении 5 на 6 получаем 0 в целой части. Делим 50 десятых на 6, получаем 8 и 2 в остатке. Делим 20 сотых на 6, получаем 3 и 2 в остатке. Снова делим 20 тысячных на 6, получаем 3 и 2 в остатке. Остаток 2 будет повторяться, а значит, в частном будет бесконечно повторяться цифра 3 после цифры 8. Таким образом, $ \frac{5}{6} = 0,8333... $. Это смешанная периодическая десятичная дробь. Ответ: $0,8(3)$.

в) Разделим числитель 1 на знаменатель 7. Выполняя деление столбиком ($1 \div 7$), мы последовательно получаем в частном цифры 1, 4, 2, 8, 5, 7, после чего остаток снова становится равен 1, и последовательность цифр в частном начинает повторяться. Таким образом, $ \frac{1}{7} = 0,142857142857... $. Это чистая периодическая десятичная дробь с периодом 142857. Ответ: $0,(142857)$.

г) Сначала рассмотрим положительную дробь $ \frac{20}{9} $. Разделим 20 на 9. Целая часть равна 2 (остаток 2). Делим 20 десятых на 9, получаем 2 и 2 в остатке. Процесс повторяется, и мы получаем бесконечную дробь $2,222...$. Учитывая знак минус, получаем $ -\frac{20}{9} = -2,222... $. Это чистая периодическая десятичная дробь с периодом 2. Ответ: $-2,(2)$.

д) Рассмотрим дробь $ \frac{8}{15} $. Разделим 8 на 15. Целая часть равна 0. Делим 80 на 15, получаем 5 и 5 в остатке. Делим 50 на 15, получаем 3 и 5 в остатке. Остаток 5 повторяется, значит, цифра 3 в частном будет повторяться бесконечно после цифры 5. $ \frac{8}{15} = 0,5333... $. Учитывая знак минус, получаем $ -\frac{8}{15} = -0,5333... $. Это смешанная периодическая десятичная дробь. Ответ: $-0,5(3)$.

е) Число $10,28$ является конечной десятичной дробью. Любую конечную десятичную дробь можно записать в виде бесконечной, если дописать в конце бесконечное количество нулей. Это не изменит значение дроби. $10,28 = 10,28000...$. Такая запись соответствует бесконечной периодической дроби с периодом 0. Ответ: $10,28(0)$.

ж) Целое число $-17$ можно представить в виде бесконечной десятичной дроби, поставив запятую после целой части и добавив бесконечное количество нулей в дробной части: $-17 = -17,0 = -17,000...$. Это соответствует бесконечной периодической дроби с периодом 0. Ответ: $-17,(0)$.

з) Разделим 3 на 16. $3 \div 16 = 0,1875$. Деление заканчивается, так как знаменатель $16 = 2^4$ является степенью двойки. Мы получили конечную десятичную дробь. Чтобы представить её в виде бесконечной, дописываем справа бесконечное количество нулей: $0,1875 = 0,1875000...$. Это дробь с периодом 0. Ответ: $0,1875(0)$.

и) Сначала преобразуем дробную часть смешанного числа, $ \frac{3}{40} $. Разделим 3 на 40: $3 \div 40 = 0,075$. Это конечная десятичная дробь. Тогда смешанное число равно $ -1\frac{3}{40} = -(1 + \frac{3}{40}) = -(1 + 0,075) = -1,075$. Чтобы представить это число в виде бесконечной дроби, дописываем справа бесконечное количество нулей: $-1,075 = -1,075000...$. Это дробь с периодом 0. Ответ: $-1,075(0)$.

к) Рассмотрим дробную часть $ \frac{7}{11} $. Разделим 7 на 11. Получаем $7 \div 11 = 0,6363...$. Остатки при делении (4 и 7) циклически повторяются, что приводит к повторению группы цифр 63 в частном. Таким образом, $ \frac{7}{11} = 0,(63) $. Тогда всё число равно $ 2\frac{7}{11} = 2 + 0,(63) = 2,(63) $. Это чистая периодическая десятичная дробь. Ответ: $2,(63)$.

264. Какое из множеств ($A$ или $B$) является подмножеством другого, если:

а) $A$ — множество чётных чисел, $B$ — множество чисел, кратных 4;

б) $A$ — множество делителей числа 12, $B$ — множество делителей числа 60;

в) $A$ — множество треугольников, $B$ — множество прямоугольных треугольников;

г) $A$ — множество квадратов, $B$ — множество ромбов.

а) Множество A состоит из всех чётных чисел, а множество B состоит из чисел, кратных 4. Любое число, кратное 4, можно представить в виде $4k$, где $k$ — целое число. Это же число можно записать как $2 \cdot (2k)$, что означает, что оно является чётным и принадлежит множеству A. Таким образом, каждый элемент множества B также является элементом множества A. Обратное утверждение неверно: например, число 2 является чётным ($2 \in A$), но не кратно 4 ($2 \notin B$). Следовательно, множество B является подмножеством множества A.
Ответ: Множество B является подмножеством множества A ($B \subset A$).

б) Множество A — это множество всех делителей числа 12, а множество B — множество всех делителей числа 60. Поскольку число 60 делится на 12 ($60 = 12 \cdot 5$), то любой делитель числа 12 также будет являться и делителем числа 60. Например, делители 12: $A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$. Все эти числа также являются делителями 60. Обратное неверно: например, число 5 является делителем 60, но не 12. Таким образом, множество A является подмножеством множества B.
Ответ: Множество A является подмножеством множества B ($A \subset B$).

в) Множество A — это множество всех треугольников, а множество B — это множество всех прямоугольных треугольников. Прямоугольный треугольник является частным случаем треугольника (треугольник, у которого один из углов прямой). По определению, любой прямоугольный треугольник является треугольником. Следовательно, каждый элемент множества B также является элементом множества A. Обратное неверно, так как существуют треугольники, не являющиеся прямоугольными (например, равносторонний). Таким образом, множество B является подмножеством множества A.
Ответ: Множество B является подмножеством множества A ($B \subset A$).

г) Множество A — это множество всех квадратов, а множество B — это множество всех ромбов. Ромб определяется как четырёхугольник, у которого все стороны равны. Квадрат — это четырёхугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые. Так как у любого квадрата все стороны равны, он удовлетворяет определению ромба. Это означает, что каждый элемент множества A (каждый квадрат) также является элементом множества B (является ромбом). Обратное неверно: ромб не обязан иметь прямые углы, поэтому не каждый ромб является квадратом. Таким образом, множество A является подмножеством множества B.
Ответ: Множество A является подмножеством множества B ($A \subset B$).

266. Представьте в виде дроби с наименьшим натуральным знаменателем числа 36; -45; 4,2; -0,8; $15\frac{1}{6}$; $-\frac{2}{9}$.

36

Любое целое число n можно представить в виде дроби со знаменателем 1: $n = \frac{n}{1}$. Знаменатель 1 является наименьшим натуральным числом. Таким образом, для числа 36 получаем дробь с наименьшим натуральным знаменателем:

$36 = \frac{36}{1}$

Ответ: $\frac{36}{1}$

-45

Аналогично, целое число -45 можно представить в виде дроби с наименьшим натуральным знаменателем 1:

$-45 = \frac{-45}{1}$

Ответ: $\frac{-45}{1}$

4,2

Представим десятичную дробь 4,2 в виде обыкновенной дроби. Так как в дробной части одна цифра, знаменатель будет 10:

$4,2 = \frac{42}{10}$

Чтобы найти дробь с наименьшим натуральным знаменателем, необходимо сократить полученную дробь. Для этого разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). НОД(42, 10) = 2. Сокращаем дробь:

$\frac{42 \div 2}{10 \div 2} = \frac{21}{5}$

Дробь $\frac{21}{5}$ является несократимой.

Ответ: $\frac{21}{5}$

-0,8

Представим десятичную дробь -0,8 в виде обыкновенной дроби:

$-0,8 = -\frac{8}{10}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их НОД. НОД(8, 10) = 2:

$-\frac{8 \div 2}{10 \div 2} = -\frac{4}{5}$

Дробь $-\frac{4}{5}$ является несократимой.

Ответ: $-\frac{4}{5}$

$15\frac{1}{6}$

Переведем смешанное число в неправильную дробь. Для этого умножим целую часть на знаменатель и прибавим числитель, а знаменатель оставим прежним:

$15\frac{1}{6} = \frac{15 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{90 + 1}{6} = \frac{91}{6}$

Проверим, можно ли сократить эту дробь. Найдем НОД(91, 6). Разложим на простые множители: $91 = 7 \cdot 13$ и $6 = 2 \cdot 3$. Общих множителей, кроме 1, нет, значит дробь несократимая и имеет наименьший натуральный знаменатель.

Ответ: $\frac{91}{6}$

$-\frac{2}{9}$

Данное число уже представлено в виде дроби. Проверим, является ли она несократимой, то есть имеет ли наименьший натуральный знаменатель. Найдем НОД(2, 9). Так как 2 - простое число, а 9 не делится на 2, то НОД(2, 9) = 1. Следовательно, дробь уже является несократимой.

Ответ: $-\frac{2}{9}$