Страница 66 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

269. Приведите пример, опровергающий утверждение:

а) не существует рационального числа, которое больше $\frac{1}{8}$, но меньше $\frac{1}{7}$;

б) не существует рационального числа, которое больше $\frac{1}{6}$, но меньше $\frac{1}{5}$.

а) Данное утверждение гласит, что не существует рационального числа $x$, удовлетворяющего неравенству $\frac{1}{8} < x < \frac{1}{7}$. Чтобы опровергнуть это утверждение, достаточно привести один пример такого числа.

Для поиска такого числа приведем дроби $\frac{1}{8}$ и $\frac{1}{7}$ к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 8 и 7 равен их произведению, то есть $8 \times 7 = 56$.

Выполним преобразование дробей:

$\frac{1}{8} = \frac{1 \times 7}{8 \times 7} = \frac{7}{56}$

$\frac{1}{7} = \frac{1 \times 8}{7 \times 8} = \frac{8}{56}$

Теперь задача состоит в том, чтобы найти число между $\frac{7}{56}$ и $\frac{8}{56}$. Поскольку между целыми числами 7 и 8 нет других целых чисел, мы можем увеличить знаменатель, чтобы найти промежуточное значение. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на 2 (или любое другое целое число больше 1):

$\frac{7}{56} = \frac{7 \times 2}{56 \times 2} = \frac{14}{112}$

$\frac{8}{56} = \frac{8 \times 2}{56 \times 2} = \frac{16}{112}$

Теперь мы ищем число $x$, такое что $\frac{14}{112} < x < \frac{16}{112}$. Очевидно, что дробь $\frac{15}{112}$ удовлетворяет этому условию.

Таким образом, мы нашли рациональное число $\frac{15}{112}$, которое больше $\frac{1}{8}$ и меньше $\frac{1}{7}$. Это опровергает исходное утверждение.

Ответ: например, число $\frac{15}{112}$.

б) Данное утверждение гласит, что не существует рационального числа $x$, удовлетворяющего неравенству $\frac{1}{6} < x < \frac{1}{5}$. Опровергнем его, найдя пример такого числа.

Действуем аналогично предыдущему пункту. Приведем дроби $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{5}$ к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 5 равен $6 \times 5 = 30$.

Преобразуем дроби:

$\frac{1}{6} = \frac{1 \times 5}{6 \times 5} = \frac{5}{30}$

$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 6}{5 \times 6} = \frac{6}{30}$

Нам нужно найти число между $\frac{5}{30}$ и $\frac{6}{30}$. Снова увеличим знаменатель, умножив числители и знаменатели дробей на 2:

$\frac{5}{30} = \frac{5 \times 2}{30 \times 2} = \frac{10}{60}$

$\frac{6}{30} = \frac{6 \times 2}{30 \times 2} = \frac{12}{60}$

Теперь ищем число $x$, такое что $\frac{10}{60} < x < \frac{12}{60}$. Этому условию удовлетворяет, например, дробь $\frac{11}{60}$.

Мы нашли рациональное число $\frac{11}{60}$, которое больше $\frac{1}{6}$ и меньше $\frac{1}{5}$, что и опровергает данное утверждение.

Ответ: например, число $\frac{11}{60}$.

271. Назовите пять чисел, заключённых между числами:

а) 1,3 и 1,4;

б) 5 и $5\frac{1}{6}$;

в) -10 000 и -1000;

г) $-\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{4}$.

а) Чтобы найти пять чисел между $1,3$ и $1,4$, можно представить эти числа с большим количеством знаков после запятой, добавив нули. Например, $1,3$ это то же самое, что $1,300$, а $1,4$ — это $1,400$. Теперь легко выбрать пять чисел, которые находятся в интервале между $1,300$ и $1,400$.
Например, это могут быть числа: $1,31$, $1,32$, $1,33$, $1,34$ и $1,35$. Все они больше $1,3$ и меньше $1,4$.
Ответ: $1,31; 1,32; 1,33; 1,34; 1,35$.

б) Нам нужно найти пять чисел между $5$ и $5\frac{1}{6}$. Для этого представим число $5\frac{1}{6}$ в виде дроби с большим знаменателем. Чтобы между $5$ и $5\frac{1}{6}$ можно было вставить пять чисел, нам нужно, чтобы числитель дробной части был не меньше 6. Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{6}$ на 6:
$5\frac{1}{6} = 5\frac{1 \cdot 6}{6 \cdot 6} = 5\frac{6}{36}$.
Теперь задача состоит в том, чтобы найти пять чисел между $5$ (что эквивалентно $5\frac{0}{36}$) и $5\frac{6}{36}$. Такими числами могут быть:
$5\frac{1}{36}, 5\frac{2}{36}, 5\frac{3}{36}, 5\frac{4}{36}, 5\frac{5}{36}$.
Ответ: $5\frac{1}{36}; 5\frac{2}{36}; 5\frac{3}{36}; 5\frac{4}{36}; 5\frac{5}{36}$.

в) Необходимо найти пять чисел, которые больше $-10 000$ и меньше $-1000$. В этом промежутке находится очень много целых чисел, и мы можем выбрать любые пять из них. Для простоты выберем целые числа, оканчивающиеся на нули.
Например, подойдут следующие числа: $-9000, -8000, -7000, -6000, -5000$.
Все они удовлетворяют условию $-10000 < x < -1000$.
Ответ: $-9000; -8000; -7000; -6000; -5000$.

г) Чтобы найти пять чисел между $-\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{4}$, сначала приведем эти дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 4 — это 12.
$-\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = -\frac{4}{12}$
$-\frac{1}{4} = -\frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = -\frac{3}{12}$
Поскольку $-4 < -3$, то $-\frac{4}{12} < -\frac{3}{12}$, следовательно, мы ищем числа между $-\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{4}$. Чтобы найти числа между $-\frac{4}{12}$ и $-\frac{3}{12}$, нам нужно снова увеличить знаменатель. Умножим числители и знаменатели на 6 (поскольку нам нужно найти 5 чисел, удобно взять множитель $5+1=6$):
$-\frac{4}{12} = -\frac{4 \cdot 6}{12 \cdot 6} = -\frac{24}{72}$
$-\frac{3}{12} = -\frac{3 \cdot 6}{12 \cdot 6} = -\frac{18}{72}$
Теперь мы ищем пять чисел между $-\frac{24}{72}$ и $-\frac{18}{72}$. Это могут быть:
$-\frac{23}{72}, -\frac{22}{72}, -\frac{21}{72}, -\frac{20}{72}, -\frac{19}{72}$.
Ответ: $-\frac{23}{72}; -\frac{22}{72}; -\frac{21}{72}; -\frac{20}{72}; -\frac{19}{72}$.

273. Докажите, что:

а) квадрат чётного числа есть число чётное;

б) квадрат нечётного числа есть число нечётное.

а) квадрат чётного числа есть число чётное;

По определению, чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. Любое чётное число $n$ можно представить в виде формулы $n = 2k$, где $k$ — целое число.

Возведём это чётное число $n$ в квадрат:

$n^2 = (2k)^2 = 4k^2$

Полученное выражение можно переписать, выделив множитель 2:

$n^2 = 2 \cdot (2k^2)$

Поскольку $k$ — целое число, то $k^2$ также является целым числом, и, следовательно, выражение в скобках $2k^2$ тоже является целым числом. Обозначим $m = 2k^2$.

Тогда $n^2 = 2m$. Любое число, которое можно представить в виде $2m$, где $m$ — целое, является чётным. Таким образом, квадрат чётного числа всегда является чётным числом. Что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.

б) квадрат нечётного числа есть число нечётное.

По определению, нечётное число — это целое число, которое при делении на 2 даёт в остатке 1. Любое нечётное число $n$ можно представить в виде формулы $n = 2k + 1$, где $k$ — целое число.

Возведём это нечётное число $n$ в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$n^2 = (2k + 1)^2 = (2k)^2 + 2 \cdot 2k \cdot 1 + 1^2 = 4k^2 + 4k + 1$

Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем за скобки общий множитель 2:

$n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$

Поскольку $k$ — целое число, то выражение в скобках $(2k^2 + 2k)$ также является целым числом. Обозначим $p = 2k^2 + 2k$.

Тогда $n^2 = 2p + 1$. Любое число, которое можно представить в виде $2p + 1$, где $p$ — целое, по определению является нечётным. Таким образом, квадрат нечётного числа всегда является нечётным числом. Что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.

275. Запишите без знака модуля выражение:

а) $|a|$, где $a > 0$;

б) $|c|$, где $c < 0$;

в) $|2b|$, где $b < 0$.

а) По определению, модуль (абсолютная величина) числа $x$ равен самому числу, если это число неотрицательное, и числу, ему противоположному, если это число отрицательное. Это можно записать в виде формулы:
$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
В данном случае дано выражение $|a|$, где по условию $a > 0$. Так как $a$ является положительным числом, то, согласно определению, модуль этого числа равен самому числу.
$|a| = a$.
Ответ: $a$

б) Дано выражение $|c|$, где по условию $c < 0$. Так как $c$ является отрицательным числом, то для раскрытия модуля мы должны взять число, противоположное $c$.
Противоположным числу $c$ является число $-c$.
Следовательно, $|c| = -c$.
Ответ: $-c$

в) Дано выражение $|2b|$, где по условию $b < 0$. Для того чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак выражения, находящегося под знаком модуля, то есть $2b$.
Поскольку $b$ — отрицательное число ($b < 0$), а $2$ — положительное число, их произведение $2b$ будет отрицательным числом ($2b < 0$).
Так как выражение под знаком модуля отрицательно, для раскрытия модуля мы должны взять это выражение с противоположным знаком.
$|2b| = -(2b) = -2b$.
Ответ: $-2b$

268. Сравните рациональные числа:

а) 0,013 и 0,1004;

б) -24 и 0,003;

в) -3,24 и -3,42;

г) $ \frac{3}{8} $ и 0,375;

д) -1,174 и $ -1\frac{7}{40} $;

е) $ \frac{10}{11} $ и $ \frac{11}{12} $;

ж) -2,005 и -2,04;

з) $ -1\frac{3}{4} $ и -1,75;

и) 0,437 и $ \frac{7}{16} $;

к) $ -\frac{1}{8} $ и -0,13.

а) Сравниваем два положительных десятичных числа: $0,013$ и $0,1004$. Для сравнения десятичных дробей сравниваем их поразрядно, начиная слева. Целые части обоих чисел равны $0$. Переходим к дробной части. Цифра в разряде десятых у числа $0,013$ равна $0$, а у числа $0,1004$ равна $1$. Так как $0 < 1$, то и все число $0,013$ меньше, чем $0,1004$.

Ответ: $0,013 < 0,1004$.

б) Сравниваем числа $-24$ и $0,003$. Одно число отрицательное, а другое положительное. Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа.

Ответ: $-24 < 0,003$.

в) Сравниваем два отрицательных числа: $-3,24$ и $-3,42$. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Найдем модули чисел: $|-3,24| = 3,24$ и $|-3,42| = 3,42$. Сравним модули: $3,24$ и $3,42$. Целые части равны $3$. Цифры в разряде десятых: $2$ у первого числа и $4$ у второго. Так как $2 < 4$, то $3,24 < 3,42$. Поскольку мы сравниваем отрицательные числа, знак неравенства меняется на противоположный.

Ответ: $-3,24 > -3,42$.

г) Сравниваем дробь $\frac{3}{8}$ и десятичное число $0,375$. Для сравнения приведем их к одному виду. Переведем обыкновенную дробь $\frac{3}{8}$ в десятичную, разделив числитель на знаменатель: $3 \div 8 = 0,375$. Теперь сравниваем $0,375$ и $0,375$. Эти числа равны.

Ответ: $\frac{3}{8} = 0,375$.

д) Сравниваем два отрицательных числа: $-1,174$ и $-1\frac{7}{40}$. Переведем смешанную дробь в десятичную. Дробная часть $\frac{7}{40}$ равна $7 \div 40 = 0,175$. Значит, $-1\frac{7}{40} = -1,175$. Теперь сравним $-1,174$ и $-1,175$. Сравним их модули: $1,174$ и $1,175$. Поразрядное сравнение показывает, что в разряде тысячных $4 < 5$, следовательно $1,174 < 1,175$. Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный.

Ответ: $-1,174 > -1\frac{7}{40}$.

е) Сравниваем две обыкновенные дроби: $\frac{10}{11}$ и $\frac{11}{12}$. Чтобы их сравнить, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $11$ и $12$ равен $11 \times 12 = 132$.
$\frac{10}{11} = \frac{10 \times 12}{11 \times 12} = \frac{120}{132}$
$\frac{11}{12} = \frac{11 \times 11}{12 \times 11} = \frac{121}{132}$
Теперь сравниваем дроби с одинаковыми знаменателями: $\frac{120}{132}$ и $\frac{121}{132}$. Так как $120 < 121$, то и $\frac{120}{132} < \frac{121}{132}$.

Ответ: $\frac{10}{11} < \frac{11}{12}$.

ж) Сравниваем два отрицательных десятичных числа: $-2,005$ и $-2,04$. Сравним их модули: $2,005$ и $2,04$. Для удобства сравнения уравняем количество знаков после запятой, дописав ноль: $2,04 = 2,040$. Теперь сравним $2,005$ и $2,040$. Целые части равны. Разряд десятых тоже равен ($0$). В разряде сотых у первого числа $0$, у второго $4$. Так как $0 < 4$, то $2,005 < 2,040$. Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный.

Ответ: $-2,005 > -2,04$.

з) Сравниваем $-1\frac{3}{4}$ и $-1,75$. Переведем смешанную дробь в десятичную. Дробная часть $\frac{3}{4}$ равна $3 \div 4 = 0,75$. Таким образом, $-1\frac{3}{4} = -1,75$. Сравниваем $-1,75$ и $-1,75$. Числа равны.

Ответ: $-1\frac{3}{4} = -1,75$.

и) Сравниваем $0,437$ и $\frac{7}{16}$. Переведем обыкновенную дробь в десятичную: $7 \div 16 = 0,4375$. Теперь сравним $0,437$ и $0,4375$. Уравняем количество знаков после запятой: $0,437 = 0,4370$. Сравниваем $0,4370$ и $0,4375$. Так как $4370 < 4375$, то $0,4370 < 0,4375$.

Ответ: $0,437 < \frac{7}{16}$.

к) Сравниваем два отрицательных числа: $-\frac{1}{8}$ и $-0,13$. Переведем дробь $-\frac{1}{8}$ в десятичную. $1 \div 8 = 0,125$, следовательно $-\frac{1}{8} = -0,125$. Теперь сравним $-0,125$ и $-0,13$. Сравним их модули: $0,125$ и $0,13$. Уравняем число знаков после запятой: $0,13 = 0,130$. Сравниваем $0,125$ и $0,130$. Так как $125 < 130$, то $0,125 < 0,130$. Поскольку исходные числа отрицательные, знак неравенства меняется на противоположный.

Ответ: $-\frac{1}{8} > -0,13$.

270. Укажите несколько чисел, заключённых между:

а) 10 и 10,1;

б) -0,001 и 0;

в) -1001 и -1000;

г) $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{3}$.

а) Чтобы найти числа, заключённые между 10 и 10,1, можно увеличить количество знаков после запятой у данных чисел. Представим 10 как 10,00 и 10,1 как 10,10. Теперь очевидно, что любое число $x$, для которого выполняется неравенство $10,00 < x < 10,10$, будет находиться в заданном интервале. Например, можно взять числа 10,01, 10,05 и 10,09.
Ответ: 10,01; 10,05; 10,09.

б) Требуется найти числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-0,001 < x < 0$. Это отрицательные числа, которые по модулю меньше, чем 0,001. Например, если мы возьмём число с большим количеством знаков после запятой, такое как -0,0005, то оно будет удовлетворять условию, так как $-0,001 < -0,0005$ и $-0,0005 < 0$. Другими примерами могут служить -0,0002 и -0,0008.
Ответ: -0,0002; -0,0005; -0,0008.

в) Искомые числа $x$ должны удовлетворять строгому неравенству $-1001 < x < -1000$. Это могут быть любые десятичные дроби в этом интервале. Например, число -1000,5 больше, чем -1001, и меньше, чем -1000. Аналогично можно выбрать и другие числа в этом промежутке.
Ответ: -1000,1; -1000,5; -1000,9.

г) Чтобы найти числа между дробями $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{3}$, приведём их к общему знаменателю, который больше исходного. Например, выберем в качестве общего знаменателя 6. Тогда получим: $\frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}$
Между дробями $\frac{2}{6}$ и $\frac{4}{6}$ находится дробь $\frac{3}{6}$, которая после сокращения равна $\frac{1}{2}$.
Чтобы найти больше чисел, выберем знаменатель побольше, например 12. Тогда: $\frac{1}{3} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$
Между $\frac{4}{12}$ и $\frac{8}{12}$ находятся дроби $\frac{5}{12}$, $\frac{6}{12}$ (что равно $\frac{1}{2}$) и $\frac{7}{12}$.
Ответ: $\frac{5}{12}$; $\frac{1}{2}$; $\frac{7}{12}$.

272. Упростите выражение:

а) $ \frac{a}{a-b} + \frac{3a}{a+b} - \frac{2ab}{a^2-b^2}; $

б) $ (-\frac{1}{x}) \cdot \frac{1-x}{1+x} \cdot \frac{x}{x^2-1}. $

а) Чтобы упростить выражение $\frac{a}{a-b} + \frac{3a}{a+b} - \frac{2ab}{a^2-b^2}$, приведем все дроби к общему знаменателю.
Знаменатель третьей дроби $a^2-b^2$ можно разложить по формуле разности квадратов: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
Таким образом, общий знаменатель для всех трех дробей — это $(a-b)(a+b)$.
Приведем первую дробь к общему знаменателю, домножив числитель и знаменатель на $(a+b)$:
$\frac{a}{a-b} = \frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+ab}{a^2-b^2}$.
Приведем вторую дробь к общему знаменателю, домножив числитель и знаменатель на $(a-b)$:
$\frac{3a}{a+b} = \frac{3a(a-b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{3a^2-3ab}{a^2-b^2}$.
Теперь выполним сложение и вычитание дробей:
$\frac{a^2+ab}{a^2-b^2} + \frac{3a^2-3ab}{a^2-b^2} - \frac{2ab}{a^2-b^2} = \frac{(a^2+ab) + (3a^2-3ab) - 2ab}{a^2-b^2}$.
Упростим числитель, приведя подобные слагаемые:
$a^2+ab+3a^2-3ab-2ab = (a^2+3a^2) + (ab-3ab-2ab) = 4a^2 - 4ab$.
Получаем дробь: $\frac{4a^2-4ab}{a^2-b^2}$.
Вынесем в числителе общий множитель $4a$ за скобки:
$\frac{4a(a-b)}{(a-b)(a+b)}$.
Сократим общий множитель $(a-b)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{4a\cancel{(a-b)}}{\cancel{(a-b)}(a+b)} = \frac{4a}{a+b}$.
Ответ: $\frac{4a}{a+b}$.

б) Рассмотрим выражение $(1 - \frac{1}{x}) \cdot \frac{1-x}{1+x} \cdot \frac{x}{x^2-1}$.
Сначала упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $x$:
$1 - \frac{1}{x} = \frac{x}{x} - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$.
Теперь наше выражение выглядит так: $\frac{x-1}{x} \cdot \frac{1-x}{1+x} \cdot \frac{x}{x^2-1}$.
Разложим на множители знаменатель третьей дроби по формуле разности квадратов: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.
Также преобразуем числитель второй дроби: $1-x = -(x-1)$.
Подставим разложенные выражения обратно в произведение:
$\frac{x-1}{x} \cdot \frac{-(x-1)}{x+1} \cdot \frac{x}{(x-1)(x+1)}$.
Запишем все под одной дробной чертой:
$\frac{(x-1) \cdot (-(x-1)) \cdot x}{x \cdot (x+1) \cdot (x-1)(x+1)}$.
Теперь сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Сокращаем $x$ и один из множителей $(x-1)$:
$\frac{\cancel{(x-1)} \cdot (-(x-1)) \cdot \cancel{x}}{\cancel{x} \cdot (x+1) \cdot \cancel{(x-1)}(x+1)} = \frac{-(x-1)}{(x+1)(x+1)}$.
Упростим полученное выражение:
$\frac{-(x-1)}{(x+1)^2} = \frac{-x+1}{(x+1)^2} = \frac{1-x}{(x+1)^2}$.
Ответ: $\frac{1-x}{(x+1)^2}$.

274. Найдите:

a) $|x|$, если $x = 10; 0,3; 0; -2,7; -9;$

б) $x$, если $|x| = 6; 3,2; 0.$

а)

Модуль (или абсолютная величина) числа — это расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой. Модуль неотрицательного числа равен самому этому числу, а модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу. Формальное определение модуля:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Применим это правило для каждого из заданных значений $x$:

Если $x = 10$, то $|x| = |10| = 10$, так как $10 \ge 0$.

Если $x = 0,3$, то $|x| = |0,3| = 0,3$, так как $0,3 \ge 0$.

Если $x = 0$, то $|x| = |0| = 0$.

Если $x = -2,7$, то $|x| = |-2,7| = -(-2,7) = 2,7$, так как $-2,7 < 0$.

Если $x = -9$, то $|x| = |-9| = -(-9) = 9$, так как $-9 < 0$.

Ответ: $10; 0,3; 0; 2,7; 9$.

б)

Здесь необходимо найти число $x$ по известному значению его модуля. Уравнение вида $|x| = a$ решается следующим образом:

1. Если $a > 0$, то уравнение имеет два корня: $x = a$ и $x = -a$. Это связано с тем, что две противоположные точки на числовой прямой находятся на одинаковом расстоянии от нуля.

2. Если $a = 0$, то уравнение имеет один корень: $x = 0$. Только ноль находится на нулевом расстоянии от самого себя.

3. Если $a < 0$, то уравнение не имеет корней, так как модуль числа (расстояние) не может быть отрицательным.

Применим эти правила для каждого из заданных значений $|x|$:

Если $|x| = 6$, то, так как $6 > 0$, уравнение имеет два решения: $x = 6$ и $x = -6$.

Если $|x| = 3,2$, то, так как $3,2 > 0$, уравнение имеет два решения: $x = 3,2$ и $x = -3,2$.

Если $|x| = 0$, то уравнение имеет одно решение: $x = 0$.

Ответ: если $|x|=6$, то $x = \pm 6$; если $|x|=3,2$, то $x = \pm 3,2$; если $|x|=0$, то $x=0$.